30. 이상적인 변압기(2)

30. 이상적인 변압기(2)

이 회로는 1, 2차 측 단자의 왼쪽, 오른쪽을 테브난 등가회로로 대치한 회로이다. 주파수는 $\omega\text{rad/s}$

변압기를 포함하지 않는 등가회로를 얻기 위해 테브난 또는 노턴 정리를 이용할 수 있다.

2차측 단자의 왼쪽회로에 대한 테브난 등가회로를 구하는 과정:

1. 2차측을 개방: $\mathbf{I}_{2}=0\text{A}\,\Rightarrow\,\mathbf{I}_{1}=0\text{A}\,(L_{1}=\infty)$

2. $\mathbf{Z}_{g1}$에 전압이 걸리지 않음: $\mathbf{V}_{1}=\mathbf{V}_{s1},\,\mathbf{V}_{2oc}=a\mathbf{V}_{s1}\,(\mathbf{V}_{2}=a\mathbf{V}_{1},\,\mathbf{V}_{2}=\mathbf{V}_{2oc})$.

3. 테브난 임피던스: $\mathbf{V}_{s1}=0\text{V}$로 하고 권선비의 제곱($a^{2}$)을 이용하여 구한다.

2차측 단자에서 바라보기 때문에 권선비의 역수를 이용하는데 주의해야 한다($\mathbf{Z}_{Th2}=\mathbf{Z}_{g1}a^{2}$).

검산: 2차측의 단락회로전류 $\mathbf{I}_{2sc}$를 구한다. 2차측을 단락하면 1차측 전원에서 본 임피던스는 $\mathbf{Z}_{g1}$.

$\displaystyle\mathbf{I}_{1}=\frac{\mathbf{V}_{s1}}{\mathbf{Z}_{g1}},\,\mathbf{I}_{2sc}=\frac{\mathbf{V}_{s1}}{a\mathbf{Z}_{g1}}\left(=\frac{\mathbf{V}_{2oc}}{a^{2}\mathbf{Z}_{g1}}\right)\,\Rightarrow\,\frac{\mathbf{V}_{2oc}}{\mathbf{I}_{2sc}}=a^{2}\mathbf{Z}_{g1}=\mathbf{Z}_{Th2}\left(\mathbf{I}_{2sc}=\frac{1}{a}\mathbf{I}_{1}\right)$

←위 회로의 2차 단자의 왼쪽에 대한 테브난 등가회로

$\displaystyle\mathbf{V}_{Th2}=a\mathbf{V}_{s1},\,\mathbf{Z}_{Th2}=a^{2}\mathbf{Z}_{g1},\,\mathbf{I}_{N2}=\frac{\mathbf{V}_{Th2}}{\mathbf{Z}_{Th2}}=\frac{1}{a}\mathbf{I}_{1}$.

*권선의 감기는 방향이 반대이면 $-a$의 권선비를 사용한다.

↑1차측의 두 단자와 2차측의 두 단자에 연결된 회로망을 테브난 등가회로로 바꿀 수 있을때만 가능하다.

(변압기의 1차측의 두 선을 잘랐을 때, 회로는 두 개의 독립된 회로로 나뉘어야 한다.(1, 2차 측을 연결하는 어떠한 소자도 있으면 안된다))

2차측 회로의 비슷한 해석방법을 이용하여 1차측 단자의 오른쪽에 대한 테브난 등가회로를 구하면

1. 1차측을 개방: $\mathbf{I}_{1}=0\text{A},\,\Rightarrow\,\mathbf{I}_{2}=0\text{A}$

2. $\mathbf{Z}_{g2}$에 전압이 걸리지 않음: $\displaystyle\mathbf{V}_{s2}=\mathbf{V}_{2},\,\mathbf{V}_{1oc}=\mathbf{V}_{1}=\frac{1}{a}\mathbf{V}_{2}=\frac{1}{a}\mathbf{V}_{s2}$.

3. 테브난 임피던스: $\mathbf{V}_{s2}=0\text{V}$로 하고 권선비의 제곱 ($a^{2}$)을 이용하여 구한다. $\displaystyle\left(\mathbf{Z}_{Th1}=\frac{1}{a^{2}}\mathbf{Z}_{g2}\right)$.

검산(단락회로 이용): $\displaystyle\mathbf{I}_{2}=\frac{\mathbf{V}_{s2}}{\mathbf{Z}_{g2}},\,\mathbf{I}_{1sc}=\frac{a\mathbf{V}_{s2}}{1/a^{2}\mathbf{Z}_{g2}}\left(=\frac{\mathbf{V}_{1oc}}{1/a^{2}\mathbf{Z}_{g2}}\right)\,\Rightarrow\,\frac{\mathbf{V}_{1oc}}{\mathbf{I}_{1sc}}=\frac{1}{a^{2}}\mathbf{Z}_{g2}=\mathbf{Z}_{Th1}\,(\mathbf{I}_{1sc}=a\mathbf{I}_{2})$

$\displaystyle\mathbf{V}_{Th1}=\frac{1}{a}\mathbf{V}_{s2},\,\mathbf{Z}_{Th1}=\frac{1}{a^{2}}\mathbf{Z}_{g2},\,\mathbf{I}_{N1}=\frac{\mathbf{V}_{Th2}}{\mathbf{Z}_{Th2}}=a\mathbf{I}_{2}$.

점의 위치를 고려하여 $a=-10$이라고 할 수 있다. 

2차측의 왼쪽을 테브난 등가회로로 교체하면

$\mathbf{V}_{Th2}=a\mathbf{V}_{s1}=(-10)\times50=-500\text{Vrms}$

$\mathbf{Z}_{Th2}=a^{2}\mathbf{Z}_{g1}=(-10)^{2}\times100=10\text{k}\Omega$

1차측의 오른쪽을 테브난 등가회로로 교체하면

$\mathbf{V}_{Th1}=a\mathbf{V}_{s2}=0\text{V}$

$\displaystyle\mathbf{Z}_{Th1}=\frac{1}{a^{2}}\mathbf{Z}_{g2}=100\Omega$

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill