35. 2포트 회로망 기본

35. 2포트 회로망 기본

신호가 회로망으로 들어가기도 하고 나오기도 하는 단자 쌍을 포트라고 한다.

위의 회로망은 1포트 회로망이다.($i_{a}=i_{b}$)

이 회로망은 2포트 회로망이다.($i_{a}=i_{b},\,i_{c}=i_{d}$)

전원과 부하는 어느 한 포트의 두 단자의 양단에 연결되어야 한다(2포트에서 a, c, b, d에 연결될 수 없다)

어느 수동 회로망의 루프방정식은 다음과 같다.

$$\mathbf{Z}_{11}\mathbf{I}_{1}+\mathbf{Z}_{2}\mathbf{I}_{2}+\cdots+\mathbf{Z}_{1N}\mathbf{I}_{N}=\mathbf{V}_{1}\\ \mathbf{Z}_{21}\mathbf{I}_{1}+\mathbf{Z}_{22}\mathbf{I}_{2}+\cdots+\mathbf{Z}_{2N}\mathbf{I}_{N}=\mathbf{V}_{2}\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ \mathbf{Z}_{N1}\mathbf{I}_{1}+\mathbf{Z}_{N2}\mathbf{I}_{2}+\cdots+\mathbf{Z}_{NN}\mathbf{I}_{N}=\mathbf{V}_{N}$$

$\displaystyle\mathbf{I}_{1}=\frac{\mathbf{V}_{11}\Delta_{11}}{\Delta_{\mathbf{Z}}}$, $\displaystyle\mathbf{Z}_{\text{in}}=\frac{\mathbf{V}_{1}}{\mathbf{I}_{1}}=\frac{\Delta_{\mathbf{Z}}}{\Delta_{11}}$, $\displaystyle\Delta_{\mathbf{Z}}=\det\begin{pmatrix}\mathbf{Z}_{11}&\mathbf{Z}_{12}&\cdots&\mathbf{Z}_{1N}\\ \mathbf{Z}_{21}&\mathbf{Z}_{22}&\cdots&\mathbf{Z}_{2N}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \mathbf{Z}_{N1}&\mathbf{Z}_{N2}&\cdots&\mathbf{Z}_{NN}\end{pmatrix}$, $\displaystyle\Delta_{11}=\det\begin{pmatrix}\mathbf{Z}_{22}&\cdots&\mathbf{Z}_{2N}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \mathbf{Z}_{N2}&\cdots&\mathbf{Z}_{NN}\end{pmatrix}$

(※$\Delta_{ij}$는 $i$행 $j$열을 제거한 행렬의 행렬식)

이 회로의 메쉬방정식은

$\mathbf{V}_{1}=10(\mathbf{I}_{1}-\mathbf{I}_{2})$

$0=10(\mathbf{I}_{2}-\mathbf{I}_{1})+5\mathbf{I}_{2}+2(\mathbf{I}_{2}-\mathbf{I}_{3})-5\mathbf{I}_{4}$

$0=2(\mathbf{I}_{3}-\mathbf{I}_{2})+1(\mathbf{I}_{3}-\mathbf{I}_{4})+4\mathbf{I}_{3}$

$0=5(\mathbf{I}_{4}-\mathbf{I}_{2})+20\mathbf{I}_{4}+1(\mathbf{I}_{4}-\mathbf{I}_{3})$

이고 $\Delta_{\mathbf{Z}}=9680\Omega^{4}$, $\Delta_{11}=2778\Omega^{3}$, $\displaystyle\mathbf{Z}_{\text{in}}=\frac{\mathbf{V}_{1}}{\mathbf{I}_{1}}=\frac{\Delta_{Z}}{\Delta_{11}}=3.485\Omega$(입력 임피던스).

이 회로의 마디방정식은

$\mathbf{I}_{1}=0.1\mathbf{V}_{1}+0.2(\mathbf{V}_{1}-\mathbf{V}_{2})+0.05(\mathbf{V}_{1}-\mathbf{V}_{3})$

$0=0.2(\mathbf{V}_{2}-\mathbf{V}_{1})+(\mathbf{V}_{2}-\mathbf{V}_{3})+0.5\mathbf{V}_{2}$

$0=(\mathbf{V}_{3}-\mathbf{V}_{2})+0.25\mathbf{V}_{3}+0.05(\mathbf{V}_{3}-\mathbf{V}_{1})$이고

$\Delta_{\mathbf{Y}}=0.3473s^{3}$, $\Delta_{11}=1.21s^{2}$, $\displaystyle\mathbf{Y}_{\text{in}}=\frac{\Delta_{\mathbf{Y}}}{\Delta_{11}}=0.2870s$(입력 어드미턴스).

$\mathbf{I}_{1}=\mathbf{y}_{11}\mathbf{V}_{1}+\mathbf{y}_{12}\mathbf{V}_{2}$, $\mathbf{I}_{2}=\mathbf{y}_{21}\mathbf{V}_{1}+\mathbf{y}_{22}\mathbf{V}_{2}$

여기서 $\mathbf{y}$를 어드미턴스 정수라고 하고 단위는 S(지멘스) 또는 A/V이다.

$\mathbf{I}=\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{1}\\ \mathbf{I}_{2}\end{pmatrix}$, $\mathbf{y}=\begin{pmatrix}\mathbf{y}_{11}&\mathbf{y}_{12}\\ \mathbf{y}_{21}&\mathbf{y}_{22}\end{pmatrix}$, $\mathbf{V}=\begin{pmatrix}\mathbf{V}_{1}\\ \mathbf{V}_{2}\end{pmatrix}$라고 하면 $\mathbf{I}=\mathbf{yV}$이고 $\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{1}\\ \mathbf{I}_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathbf{y}_{11}\mathbf{V}_{1}+\mathbf{y}_{12}\mathbf{V}_{2}\\ \mathbf{y}_{21}\mathbf{V}_{1}+\mathbf{y}_{22}\mathbf{V}_{2}\end{pmatrix}$.

$\displaystyle\mathbf{y}_{11}=\frac{\mathbf{I}_{1}}{\mathbf{V}_{1}}_{\mathbf{V}_{2}=0}$(출력단자의 단락): 단락회로 입력 어드미턴스.

$\displaystyle\mathbf{y}_{21}=\frac{\mathbf{I}_{2}}{\mathbf{V}_{1}}_{\mathbf{V}_{2}=0}$(출력단자의 단락): 단락회로 전달 어드미턴스.

$\displaystyle\mathbf{y}_{22}=\frac{\mathbf{I}_{2}}{\mathbf{V}_{2}}_{\mathbf{V}_{1}=0}$(입력단자의 단락): 단락회로 출력 어드미턴스.

$\displaystyle\mathbf{y}_{12}=\frac{\mathbf{I}_{1}}{\mathbf{V}_{2}}_{\mathbf{V}_{1}=0}$(입력단자의 단락): 단락회로 전달 어드미턴스.

(1) $\mathbf{V}_{1}=1\text{V},\,\mathbf{V}_{2}=0\text{V}$($\mathbf{V}_{2}$단락)이면 $\mathbf{y}_{11}=\mathbf{I}_{1},\,\mathbf{y}_{21}=\mathbf{I}_{2}$이고 $\displaystyle\mathbf{I}_{1}=\frac{1\text{V}}{5\Omega}+\frac{1\text{V}}{10\Omega}=0.3\text{A}$, $\displaystyle\mathbf{I}_{2}=-\frac{1\text{V}}{10\Omega}=-0.1\text{A}$, $\mathbf{y}_{11}=0.3\text{s},\,\mathbf{y}_{21}=-0.1\text{s}$

(2) $\mathbf{V}_{2}=1\text{V},\,\mathbf{V}_{1}=0\text{V}$($\mathbf{V}_{1}$단락)이면 $\mathbf{y}_{22}=\mathbf{I}_{2}$, $\mathbf{y}_{12}=\mathbf{I}_{1}$이고 $\displaystyle\mathbf{I}_{2}=\frac{1\text{V}}{10\Omega}+\frac{1\text{V}}{20\Omega}=0.15\text{A}$, $\displaystyle\mathbf{I}_{1}=-\frac{1\text{V}}{10\Omega}=-0.1\text{A}$, $\mathbf{y}_{11}=0.15\text{s},\,y_{21}=-0.1\text{s}$

그러면 $\mathbf{I}_{1}=0.3\text{V}_{1}-0.1\text{V}_{2}$, $\mathbf{I}_{2}=-0.1\text{V}_{1}+0.15\text{V}_{2}$이고 $\mathbf{y}=\begin{pmatrix}0.3&-0.1\\-0.1&0.15\end{pmatrix}$.

  

$15=\mathbf{I}_{1}+0.1\mathbf{V}_{1}$, $\mathbf{I}_{2}=-0.25\mathbf{V}_{2}$,

$15-0.1\mathbf{V}_{1}=0.3\mathbf{V}_{1}-0.1\mathbf{V}_{2}$, $-0.25\mathbf{V}_{2}=-0.1\mathbf{V}_{1}+0.25\mathbf{V}_{2}$, $15=0.4\mathbf{V}_{1}-0.1\mathbf{V}_{2}$, $0=-0.1\mathbf{V}_{1}+0.4\mathbf{V}_{2}$

$\mathbf{V}_{1}=40\text{V}$, $\mathbf{V}_{2}=10\text{V}$, $\mathbf{I}_{1}=11\text{A}$, $\mathbf{I}_{2}=-2.5\text{A}$.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill