27. BJT 고주파 응답

27. BJT 고주파 응답

위의 회로는 기생 커패시터를 고려한 전압분배기 회로이다. 이 회로에서 점선으로 표시된 $C_{be}$, $C_{bc}$, $C_{ce}$는 전극간 커패시터이고, $C_{W_{i}}$와 $C_{W_{o}}$는 배선 커패시터이다. 보통 $C_{be}>C_{bc}>C_{ce}$이고 이미터와 콜렉터는 직접 접촉하지 않기 때문에 $C_{ce}$를 무시할 수 있다.

이 회로는 기생 커패시터를 고려한 BJT회로의 고주파 교류 등가모델이다. 이 회로에서 $R_{i}=\beta r_{e}$,

$C_{i}=C_{M_{i}}+C_{be}+C_{W_{i}}\,(C_{M_{i}}=(1+|A_{v}|)C_{bc})$, $C_{o}=C_{M_{o}}+C_{ce}+C_{W_{o}}\,(C_{M_{o}}\simeq C_{bc})$이고 원래 회로에 있던 $C_{s}$, $C_{C}$, $C_{E}$는 단락되었다.

위의 두 회로는 각각 고주파 교류 등가모델에서 $C_{i}$, $C_{o}$에 대한 테브난 등가회로를 나타낸 것이다.

왼쪽 회로는 입력회로로 입력회로에서 차단주파수는 $\displaystyle f_{H_{i}}=\frac{1}{2\pi R_{Thi}C_{i}},\,R_{Thi}=R_{s}||R_{1}||R_{2}||R_{i}$이고,

오른쪽 회로는 출력회로로 출력회로에서 차단주파수는 $\displaystyle f_{H_{o}}=\frac{1}{2\pi R_{Tho}C_{o}},\,R_{Tho}=R_{C}||R_{L}||r_{o}$이다.

주파수에 따른 $h_{fe}(\beta)$의 변화는 $\displaystyle h_{fe}=\frac{h_{fe_{\text{mid}}}}{1+j\frac{f}{f_{\beta}}}$로 정의된다.

($\beta$가 아닌 $h_{fe}$를 사용하는 이유는 제조업체에서 규격서 등을 만들 때 하이브리드 파라미터를 사용하지 않기 때문이다.)

$f_{\beta}$는 고주파 하이브리드 $\pi$모델 또는 Giacoletto 모델에서 제공하는 파라미터(변수)들에 의해 결정된다.

위의 회로는 Giacoletto 모델로 $r_{b}$는 베이스 접촉저항(외부 단자 금속과 베이스 사이에 존재하는 저항)과 베이스 자체저항(외부 단자가 접촉된 베이스에서 트랜지스터 내부의 베이스 접합부까지 존재하는 저항) 및 베이스 영역저항(활성 베이스 영역 안의 실제 저항)을 모두 포함한 값이고 $r_{\pi}$, $r_{o}$, $r_{u}$는 트랜지스터가 활성영역에서 작동할 때 첨자로 표시된 단자 사이의 저항값이다.

커패시터 $C_{bc}$는 전이 커패시터이고 $C_{be}$는 활성 커패시터이다.

여기서 $g_{m}V_{\pi}=g_{m}r_{\pi}I'_{b}=h_{fe_{\text{mid}}}I'_{b}$이다.($\displaystyle g_{m}=\frac{1}{r_{e}}=\frac{h_{fe}}{h_{ie}}$, $\displaystyle h_{fe}=\frac{h_{ie}}{r_{e}}=g_{m}h_{ie}=g_{m}r_{\pi}$)

위 회로에서 $I_{c}=g_{m}V_{\pi}$, $\displaystyle V_{\pi}=\frac{I_{b}}{\frac{1}{r_{\pi}}+j\omega(C_{\pi}+C_{u})}$이므로 $$A_{i}=\frac{I_{c}}{I_{b}}=\frac{g_{m}}{\frac{1}{r_{\pi}}+j\omega(C_{\pi}+C_{u})}=\frac{g_{m}r_{\pi}}{1+jr_{\pi}\omega(C_{\pi}+C_{u})}=\frac{h_{fe}}{1+j\frac{f}{f_{\beta}}}$$ 이고 $$f_{\beta}=\frac{1}{2\pi}r_{\pi}(C_{\pi}+C_{u})=\frac{1}{2\pi(C_{\pi}+C_{u})r_{e}h_{fe_{\text{mid}}}}=\frac{1}{2\pi(C_{\pi}+C_{u})r_{e}\beta_{\text{mid}}}$$ 이다($f_{\beta}$는 $\displaystyle r_{e}=\frac{26\text{mV}}{I_{E}}$에 의해서 결정된다).

$\displaystyle|A_{i}|=\frac{h_{fe}}{\sqrt{1+\left(\frac{f}{f_{\beta}}\right)^{2}}}$이고 $f=f_{\beta}$에서 $\displaystyle|A_{i}|=\frac{h_{fe}}{\sqrt{2}}$, $f=0$에서 $|A_{i}|=h_{fe}$이다($h_{fe}$의 정의와 일치).

공통 베이스는 $C_{ec}\simeq0$이므로 밀러 커패시터의 영향이 거의 없어서 공통 이미터보다 고주파 특성이 좋다. 공통 베이스 구조의 상위 차단 주파수는 $f_{\alpha}$이고 $f_{\beta}=f_{\alpha}(1-\alpha)$이다.

(참고: 선형 수평축)

(참고: 로그 수평축)

$|A_{v}|=1$이 되는 주파수를 단위 이득 주파수 $f_{T}$라고 한다. $\displaystyle\frac{h_{fe}^{2}}{1+\left(\frac{f}{f_{\beta}}\right)^{2}}=1$이므로 $\displaystyle h_{fe}^{2}=1+\left(\frac{f}{f_{\beta}}\right)^{2}\simeq\left(\frac{f}{f_{\beta}}\right)^{2}$이고 $\displaystyle f_{T}=h_{fe}f_{\beta}=\frac{1}{2\pi r_{e}(C_{\pi}+C_{u})}$이다. 이때 $f_{T}$는 이득 대역폭 곱이라고 한다.($\simeq \beta f_{\beta}$)

기생 커패시터를 고려한 BJT회로에서 $R_{s}=1\text{k}\Omega$, $R_{1}=40\text{k}\Omega$, $R_{2}=10\text{k}\Omega$, $R_{E}=2\text{k}\Omega$, $R_{C}=4\text{k}\Omega$, $R_{L}=2.2\text{k}\Omega$

$C_{s}=10\mu\text{F}$, $C_{C}=1\mu\text{F}$, $C_{E}=20\mu\text{F}$, $\beta=100$, $r_{o}=\infty\Omega$, $V_{CC}=20\text{V}$,

$C_{\pi}(C_{be})=36\text{pF}$, $C_{u}(C_{bc})=4\text{pF}$, $C_{ce}=1\text{pF}$, $C_{W_{i}}=6\text{pF}$, $C_{W_{o}}=8\text{pF}$이다.

$R_{i}=R_{1}||R_{2}||\beta r_{e}=40\text{k}\Omega||10\text{k}\Omega||1.576\text{k}\Omega=1.32\text{k}\Omega$, $A_{v_{\text{mid}}}=-90$이므로 $$\begin{align*}R_{Thi}&=R_{s}||R_{1}||R_{2}||R_{i}=1\text{k}\Omega||40\text{k}\Omega||10\text{k}\Omega||1.32\text{k}\Omega=0.531\text{k}\Omega\\C_{i}&=C_{W_{i}}+C_{be}+(1+|A_{v}|)C_{bc}=6\text{pF}+36\text{pF}+(1+|-90|)(4\text{pF})=406\text{pF}\\ f_{H_{i}}&=\frac{1}{2\pi R_{Thi}C_{i}}=\frac{1}{2\pi(0.531\text{k}\Omega)(406\text{pF})}=738.24\text{kHz}\\R_{Tho}&=R_{C}||R_{L}=4\text{k}\Omega||2.2\text{k}\Omega=1.419\text{k}\Omega\\C_{o}&=C_{W_{o}}+C_{ce}+C_{M_{o}}=8\text{pF}+1\text{pF}+\left(1-\frac{1}{-90}\right)(4\text{pF})=13.04\text{pF}\\ f_{H_{o}}&=\frac{1}{2\pi R_{Tho}C_{o}}=\frac{1}{2\pi(1.419\text{k}\Omega)(13.04\text{pF})}=8.6\text{MHz}\end{align*}$$ 이다.

$$\begin{align*}f_{\beta}&=\frac{1}{2\pi\beta_{\text{mid}}r_{e}(C_{be}+C_{bc})}=\frac{1}{2\pi(100)(15.76\Omega)(36\text{pF}+4\text{pF})}=2.52\text{MHz}\\ f_{T}&=\beta_{\text{mid}}f_{\beta}=100(2.52\text{MHz})=252\text{MHz}\end{align*}$$ 이고

$f_{L_{s}}=6.86\text{Hz}$, $f_{L_{c}}=25.68\text{Hz}$, $f_{L_{E}}=327\text{Hz}$(여기 참고(클릭))이므로 앞에서 구한 주파수들을 이용하여 저주파 영역과 고주파 영역의 주파수 응답을 그리면 다음과 같다.

  

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson