23. 저주파 해석

23. 저주파 해석

위의 회로는 RC직렬회로이고 $\displaystyle X_{C}=\frac{1}{2\pi fC}$이다. 저주파에서 $X_{C}\simeq\infty$이므로 $V_{o}=0$이고 고주파에서 $X_{C}\simeq0$이므로 $V_{o}=V_{i}$이다. $$A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{R}{\frac{1}{\mathbf{s}C}+R}=\frac{\mathbf{s}RC}{1+\mathbf{s}RC}=\frac{\mathbf{s}}{\mathbf{s}+\frac{1}{RC}}$$ 는 이 회로의 전달함수이고 $\displaystyle\omega_{c}=\frac{1}{RC}$는 차단 각주파수, $\displaystyle f_{c}=\frac{1}{2\pi RC}$는 차단주파수다.

위 회로에서 $\displaystyle V_{o}=\frac{R}{R-jX_{C}}V_{i}$이고 크기가 $\displaystyle V_{o}\frac{R}{\sqrt{R^{2}+X_{C}^{2}}}V_{i}$이므로 $\displaystyle\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{X_{C}}{R}\right)^{2}}}$이고 여기서 $X_{C}=R$일 때 $\displaystyle V_{o}=\frac{1}{\sqrt{2}}V_{i}$이고 $\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=0.707$, $\displaystyle G_{v}=20\log A_{v}=-3\text{dB}$이다. $X_{C}=R$일 때 $\displaystyle A_{v}=\frac{1}{\sqrt{2}}$이므로 하위 차단주파수는 $\displaystyle\frac{1}{2\pi fC}=R$을 만족하고 $\displaystyle f_{L}=\frac{1}{2\pi RC}$이다. 이때 $\displaystyle A_{v}=\frac{1}{1-j\frac{f_{L}}{f}}$이고 크기는 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{f_{L}}{f}\right)^{2}}}$, 위상은 $\displaystyle\tan^{-1}\left(\frac{f_{L}}{f}\right)$이므로 $\displaystyle A_{v}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{f_{L}}{f}\right)^{2}}}\angle\tan^{-1}\left(\frac{f_{L}}{f}\right)$이다.

$f=0$일 때 $A_{v}=0$, $f=\infty$일 때 $A_{v}=1$이고 $f=f_{L}$일 때 $\displaystyle A_{v}=\frac{1}{\sqrt{2}}=0.707(-3\text{dB})$이다.  

$\displaystyle A_{v}|_{\text{dB}}=20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{f_{L}}{f}\right)^{2}}}=-10\log_{10}\left\{1+\left(\frac{f_{L}}{f}\right)^{2}\right\}$이고 $f\ll f_{L}$일 때 $\displaystyle A_{v}|_{\text{dB}}=-20\log_{10}\frac{f_{L}}{f}$, $f\gg f_{L}$일 때 $A_{v}|_{\text{dB}}=-10\log_{10}1=0\text{dB}$.

$\displaystyle f=\frac{f_{L}}{2}$일 때, $\displaystyle\frac{f_{L}}{f}=2$이고 $-20\log_{10}2=-6\text{dB}$($-6\text{dB/octave}$)

$\displaystyle f=\frac{f_{L}}{10}$일 때, $\displaystyle\frac{f_{L}}{f}=10$이고 $-20\log_{10}10=-20\text{dB}$($-20\text{dB/decade}$)

앞의 전달함수에 대한 보드선도는 위와 같고 $f=f_{L}$에서 $-3\text{dB}$, $f\ll f_{L}$ 또는 $f\gg f_{L}$에서는 정확($0\text{dB}$, $-20\text{dB/decade}$직선), $f_{L}$주변은 부정확하다.

주파수 응답곡선에서 수평축은 주파수의 범위가 넓기 때문에 로그 축으로, 수직축은 정규화($\displaystyle\frac{A_{v}}{A_{v_{\text{mid}}}}$)또는 $\text{dB}$($\displaystyle20\log\left|\frac{A_{v}}{A_{v_{\text{mid}}}}\right|$)크기로 표시한다.

통과대역에서는 $20\log_{10}1=0\text{dB}$, 차단주파수는 $\displaystyle20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{2}}=-3\text{dB}$이다.

위상각은 $\displaystyle\theta=\tan^{-1}\left(\frac{f_{L}}{f}\right)$이고, $f\ll f_{L}$일 때 $\theta=90^{\circ}$, $f=f_{L}$일 때 $\theta=45^{\circ}$, $f\gg f_{L}$일 때 $\theta=0^{\circ}$이다. 

(아래그림 참고)

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson