23. 저주파 해석

23. 저주파 해석

위의 회로는 RC직렬회로이고 \(\displaystyle X_{C}=\frac{1}{2\pi fC}\)이다. 저주파에서 \(X_{C}\simeq\infty\)이므로 \(V_{o}=0\)이고 고주파에서 \(X_{C}\simeq0\)이므로 \(V_{o}=V_{i}\)이다.$$A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{R}{\frac{1}{\mathbf{s}C}+R}=\frac{\mathbf{s}RC}{1+\mathbf{s}RC}=\frac{\mathbf{s}}{\mathbf{s}+\frac{1}{RC}}$$는 이 회로의 전달함수이고 \(\displaystyle\omega_{c}=\frac{1}{RC}\)는 차단 각주파수, \(\displaystyle f_{c}=\frac{1}{2\pi RC}\)는 차단주파수다.

위 회로에서 \(\displaystyle V_{o}=\frac{R}{R-jX_{C}}V_{i}\)이고 크기가 \(\displaystyle V_{o}\frac{R}{\sqrt{R^{2}+X_{C}^{2}}}V_{i}\)이므로 \(\displaystyle\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{X_{C}}{R}\right)^{2}}}\)이고 여기서 \(X_{C}=R\)일 때 \(\displaystyle V_{o}=\frac{1}{\sqrt{2}}V_{i}\)이고 \(\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=0.707\), \(\displaystyle G_{v}=20\log A_{v}=-3\text{dB}\)이다. \(X_{C}=R\)일 때 \(\displaystyle A_{v}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)이므로 하위 차단주파수는 \(\displaystyle\frac{1}{2\pi fC}=R\)을 만족하고 \(\displaystyle f_{L}=\frac{1}{2\pi RC}\)이다. 이때 \(\displaystyle A_{v}=\frac{1}{1-j\frac{f_{L}}{f}}\)이고 크기는 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{f_{L}}{f}\right)^{2}}}\), 위상은 \(\displaystyle\tan^{-1}\left(\frac{f_{L}}{f}\right)\)이므로 \(\displaystyle A_{v}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{f_{L}}{f}\right)^{2}}}\angle\tan^{-1}\left(\frac{f_{L}}{f}\right)\)이다.

\(f=0\)일 때 \(A_{v}=0\), \(f=\infty\)일 때 \(A_{v}=1\)이고 \(f=f_{L}\)일 때 \(\displaystyle A_{v}=\frac{1}{\sqrt{2}}=0.707(-3\text{dB})\)이다.  

\(\displaystyle A_{v}|_{\text{dB}}=20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{f_{L}}{f}\right)^{2}}}=-10\log_{10}\left\{1+\left(\frac{f_{L}}{f}\right)^{2}\right\}\)이고 \(f\ll f_{L}\)일 때 \(\displaystyle A_{v}|_{\text{dB}}=-20\log_{10}\frac{f_{L}}{f}\), \(f\gg f_{L}\)일 때 \(A_{v}|_{\text{dB}}=-10\log_{10}1=0\text{dB}\).

\(\displaystyle f=\frac{f_{L}}{2}\)일 때, \(\displaystyle\frac{f_{L}}{f}=2\)이고 \(-20\log_{10}2=-6\text{dB}\)(\(-6\text{dB/octave}\))

\(\displaystyle f=\frac{f_{L}}{10}\)일 때, \(\displaystyle\frac{f_{L}}{f}=10\)이고 \(-20\log_{10}10=-20\text{dB}\)(\(-20\text{dB/decade}\))

앞의 전달함수에 대한 보드선도는 위와 같고 \(f=f_{L}\)에서 \(-3\text{dB}\), \(f\ll f_{L}\) 또는 \(f\gg f_{L}\)에서는 정확(\(0\text{dB}\), \(-20\text{dB/decade}\)직선), \(f_{L}\)주변은 부정확하다.

주파수 응답곡선에서 수평축은 주파수의 범위가 넓기 때문에 로그 축으로, 수직축은 정규화(\(\displaystyle\frac{A_{v}}{A_{v_{\text{mid}}}}\))또는 \(\text{dB}\)(\(\displaystyle20\log\left|\frac{A_{v}}{A_{v_{\text{mid}}}}\right|\))크기로 표시한다.

통과대역에서는 \(20\log_{10}1=0\text{dB}\), 차단주파수는 \(\displaystyle20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{2}}=-3\text{dB}\)이다.

위상각은 \(\displaystyle\theta=\tan^{-1}\left(\frac{f_{L}}{f}\right)\)이고, \(f\ll f_{L}\)일 때 \(\theta=90^{\circ}\), \(f=f_{L}\)일 때 \(\theta=45^{\circ}\), \(f\gg f_{L}\)일 때 \(\theta=0^{\circ}\)이다. 

(아래그림 참고)

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson