8. 유한체(2)

8. 유한체(2)

\(F\)를 표수가 \(p\)인 체라고 하자. 그러면 임의의 \(\alpha,\,\beta\in F\)와 \(n\in\mathbb{Z}^{+}\)에 대하여 \((\alpha+\beta)^{p^{n}}=\alpha^{p^{n}}+\beta^{p^{n}}\)이다.

\(\alpha,\,\beta\in F\)라 하자. \(F\)의 표수가 \(p\)이므로$$\begin{align*}(\alpha+\beta)^{p}&=\alpha^{p}+(p\cdot1)\alpha^{p-1}\beta+\left(\frac{p(p-1)}{2}\cdot1\right)\alpha^{p-2}\beta^{2}+\cdots+(p\cdot1)\alpha\beta^{p-1}+\beta^{p}\\&=\alpha^{p}+0\cdot\alpha^{p-1}\beta+0\cdot\alpha^{p-2}\beta^{2}+\cdots+0\cdot\alpha\beta^{p-1}+\beta^{p}\\&=\alpha^{p}+\beta^{p}\end{align*}$$이고 수학적 귀납법을 사용하여 \((\alpha+\beta)^{p^{(n-1)}}=\alpha^{p^{(n-1)}}+\beta^{p^{(n-1)}}\)이라 하자. 그러면$$(\alpha+\beta)^{p^{n}}=\left\{(\alpha+\beta)^{p^{(n-1)}}\right\}^{p}=\left\{\alpha^{p^{(n-1)}}+\beta^{p^{(n-1)}}\right\}^{p}=\alpha^{p^{n}}+\beta^{p^{n}}$$이다.(QED)

소수 \(p\)에 대하여 \(p^{n}\)개의 원소를 갖는 유한체 \(\text{GF}(p^{n})\)가 존재한다.

\(\overline{\mathbb{Z}_{p}}\)를 \(\mathbb{Z}_{p}\)의 대수적 닫힘이라 하고 \(K=\{\alpha\in\overline{\mathbb{Z}_{p}}\,|\,\alpha^{p^{n}}-\alpha=0\}\), \(\alpha,\,\beta\in K\)라 하자. 그러면 앞의 결과에 의해 \(\alpha+\beta\in K\)이고 \((\alpha\beta)^{p^{n}}=\alpha^{p^{n}}\beta^{p^{n}}=\alpha\beta\)이므로 \((\alpha\beta)^{p^{n}}-\alpha\beta=0\)이고 \(\alpha\beta\in K\)이다. \(\alpha^{p^{n}}=\alpha\)이기 때문에 \((-\alpha)^{p^{n}}=(-1)^{p^{n}}\alpha^{p^{n}}=(-1)^{p^{n}}\alpha\)이고

\(p\)가 홀수이면, \((-1)^{p^{n}}=-1\), \(p=2\)이면, \((-1)^{p^{n}}=1=-1\,(\because\,\mathbb{Z}_{p}=\mathbb{Z}_{2})\)이다. 그러면 \((-\alpha)^{p^{n}}=-\alpha\)이고 \((-\alpha)^{p^{n}}-(-\alpha)=0\)이 되어 \(-\alpha\in K\)이다.

\(0\)과 \(1\)은 \(x^{p^{n}}-x\)의 근이다. \(\alpha(\neq0)\in K\)에 대하여 \(\displaystyle\left(\frac{1}{\alpha}\right)^{p^{n}}=\frac{1}{\alpha}\)이고 \(\displaystyle\frac{1}{\alpha}\in K\)이다. 따라서 \(K\)는 \(\mathbb{Z}_{p}\subset K\)가 되게 하는 \(\overline{\mathbb{Z}_{p}}\)의 부분체이고 \(K\)는 \(p^{n}\)개의 원소를 갖는 체이다.

\(\text{GF}(p^{n})\)을 위수가 \(p^{n}\)인 갈루아 체(Galois field)라고 한다.

\(F\)를 임의의 유한체라고 하자. 그러면 임의의 \(n\in\mathbb{Z}^{+}\)에 대하여 차수가 \(n\)인 기약다항식이 \(F[x]\)에 존재한다.

\(F\)를 \(q=p^{r}\)개의 원소를 갖는 표수가 \(p\)인 체라고 하자. 앞의 결과에 의해 체 \(K\leq\overline{F}\)가 존재하여 \(\mathbb{Z}_{p}\subset K\)이고 \(K=\{\alpha\in\overline{F}\,|\,\alpha^{p^{rn}}-\alpha=0\}\)이므로 \(F\)의 모든 원소들은 \(x^{p^{r}}-x\)의 근이다.

\(p^{rs}=p^{r}p^{r(s-1)}\)이고 임의의 \(\alpha\in F\)에 대하여 \(\alpha^{p^{r}}=\alpha\)이므로 \(\alpha^{p^{rn}}=\alpha^{p^{r}p^{r(n-1)}}=\left(\alpha^{p^{r}}\right)^{p^{r(n-1)}}=\alpha^{p^{r(n-1)}}\)이고 이 과정을 반복하면$$\alpha^{p^{rn}}=\alpha^{p^{r(n-1)}}=\alpha^{p^{r(n-2)}}=\cdots=\alpha^{p^{r}}=\alpha$$이므로 \(F\leq K\)이다.

\(F\)가 유한체이기 때문에 \(K\)는 \(F\)의 단순 확대체이고 적당한 \(\beta\in K\)에 대하여 \(K=F(\beta)\)이다. \([K\,:\,F]=n\)이므로 \(\text{deg}(\beta,\,F)=n\)이고 \(\text{irr}(\beta,\,F)=p(x)\)가 존재하여 \(\text{deg}p(x)=n\)이다.(QED)

\(p\)를 소수, \(n\in\mathbb{Z}^{+}\)라 하자. \(E\)와 \(E'\)이 위수가 \(p^{n}\)인 체이면, \(E\)와 \(E'\)은 동형이다.

\(E\)와 \(E'\)을 \(\mathbb{Z}_{p}\)의 확대체라고 하면, \(E\)는 \(\mathbb{Z}_{p}\)의 단순 확대체이므로 차수가 \(n\)인 기약다항식 \(f(x)\in F[x]\)가 존재하여 \(E\simeq\mathbb{Z}_{p}[x]/\langle f(x)\rangle\)가 성립한다.

\(E\)의 모든 원소들은 \(x^{p^{n}}-x\)의 근이므로 \(f(x)\)는 \(\mathbb{Z}_{p}[x]\)에서 \(x^{p^{n}}-x\)의 인수이다.

\(E'\)의 모든 원소 또한 \(x^{p^{n}}-x\)의 근이므로 \(E'\)은 \(\mathbb{Z}_{p}[x]\)에서의 기약다항식 \(f(x)\)의 근들을 포함한다. 

\(|E'|=p^{n}\)이므로 \(E'\simeq\mathbb{Z}_{p}[x]/\langle f(x)\rangle\)이고 따라서 \(E\simeq E'\)이다.(QED)

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edtion, Fraleigh, Addison Wesley