8. 유한체(2)

8. 유한체(2)

$F$를 표수가 $p$인 체라고 하자. 그러면 임의의 $\alpha,\,\beta\in F$와 $n\in\mathbb{Z}^{+}$에 대하여 $(\alpha+\beta)^{p^{n}}=\alpha^{p^{n}}+\beta^{p^{n}}$이다.

$\alpha,\,\beta\in F$라 하자. $F$의 표수가 $p$이므로 $$\begin{align*}(\alpha+\beta)^{p}&=\alpha^{p}+(p\cdot1)\alpha^{p-1}\beta+\left(\frac{p(p-1)}{2}\cdot1\right)\alpha^{p-2}\beta^{2}+\cdots+(p\cdot1)\alpha\beta^{p-1}+\beta^{p}\\&=\alpha^{p}+0\cdot\alpha^{p-1}\beta+0\cdot\alpha^{p-2}\beta^{2}+\cdots+0\cdot\alpha\beta^{p-1}+\beta^{p}\\&=\alpha^{p}+\beta^{p}\end{align*}$$ 이고 수학적 귀납법을 사용하여 $(\alpha+\beta)^{p^{(n-1)}}=\alpha^{p^{(n-1)}}+\beta^{p^{(n-1)}}$이라 하자. 그러면 $$(\alpha+\beta)^{p^{n}}=\left\{(\alpha+\beta)^{p^{(n-1)}}\right\}^{p}=\left\{\alpha^{p^{(n-1)}}+\beta^{p^{(n-1)}}\right\}^{p}=\alpha^{p^{n}}+\beta^{p^{n}}$$ 이다.(QED)

소수 $p$에 대하여 $p^{n}$개의 원소를 갖는 유한체 $\text{GF}(p^{n})$가 존재한다.

$\overline{\mathbb{Z}_{p}}$를 $\mathbb{Z}_{p}$의 대수적 닫힘이라 하고 $K=\{\alpha\in\overline{\mathbb{Z}_{p}}\,|\,\alpha^{p^{n}}-\alpha=0\}$, $\alpha,\,\beta\in K$라 하자. 그러면 앞의 결과에 의해 $\alpha+\beta\in K$이고 $(\alpha\beta)^{p^{n}}=\alpha^{p^{n}}\beta^{p^{n}}=\alpha\beta$이므로 $(\alpha\beta)^{p^{n}}-\alpha\beta=0$이고 $\alpha\beta\in K$이다. $\alpha^{p^{n}}=\alpha$이기 때문에 $(-\alpha)^{p^{n}}=(-1)^{p^{n}}\alpha^{p^{n}}=(-1)^{p^{n}}\alpha$이고

$p$가 홀수이면, $(-1)^{p^{n}}=-1$, $p=2$이면, $(-1)^{p^{n}}=1=-1\,(\because\,\mathbb{Z}_{p}=\mathbb{Z}_{2})$이다. 그러면 $(-\alpha)^{p^{n}}=-\alpha$이고 $(-\alpha)^{p^{n}}-(-\alpha)=0$이 되어 $-\alpha\in K$이다.

$0$과 $1$은 $x^{p^{n}}-x$의 근이다. $\alpha(\neq0)\in K$에 대하여 $\displaystyle\left(\frac{1}{\alpha}\right)^{p^{n}}=\frac{1}{\alpha}$이고 $\displaystyle\frac{1}{\alpha}\in K$이다. 따라서 $K$는 $\mathbb{Z}_{p}\subset K$가 되게 하는 $\overline{\mathbb{Z}_{p}}$의 부분체이고 $K$는 $p^{n}$개의 원소를 갖는 체이다.

$\text{GF}(p^{n})$을 위수가 $p^{n}$인 갈루아 체(Galois field)라고 한다.

$F$를 임의의 유한체라고 하자. 그러면 임의의 $n\in\mathbb{Z}^{+}$에 대하여 차수가 $n$인 기약다항식이 $F[x]$에 존재한다.

$F$를 $q=p^{r}$개의 원소를 갖는 표수가 $p$인 체라고 하자. 앞의 결과에 의해 체 $K\leq\overline{F}$가 존재하여 $\mathbb{Z}_{p}\subset K$이고 $K=\{\alpha\in\overline{F}\,|\,\alpha^{p^{rn}}-\alpha=0\}$이므로 $F$의 모든 원소들은 $x^{p^{r}}-x$의 근이다.

$p^{rs}=p^{r}p^{r(s-1)}$이고 임의의 $\alpha\in F$에 대하여 $\alpha^{p^{r}}=\alpha$이므로 $\alpha^{p^{rn}}=\alpha^{p^{r}p^{r(n-1)}}=\left(\alpha^{p^{r}}\right)^{p^{r(n-1)}}=\alpha^{p^{r(n-1)}}$이고 이 과정을 반복하면 $$\alpha^{p^{rn}}=\alpha^{p^{r(n-1)}}=\alpha^{p^{r(n-2)}}=\cdots=\alpha^{p^{r}}=\alpha$$ 이므로 $F\leq K$이다.

$F$가 유한체이기 때문에 $K$는 $F$의 단순 확대체이고 적당한 $\beta\in K$에 대하여 $K=F(\beta)$이다. $[K\,:\,F]=n$이므로 $\text{deg}(\beta,\,F)=n$이고 $\text{irr}(\beta,\,F)=p(x)$가 존재하여 $\text{deg}p(x)=n$이다.(QED)

$p$를 소수, $n\in\mathbb{Z}^{+}$라 하자. $E$와 $E'$이 위수가 $p^{n}$인 체이면, $E$와 $E'$은 동형이다.

$E$와 $E'$을 $\mathbb{Z}_{p}$의 확대체라고 하면, $E$는 $\mathbb{Z}_{p}$의 단순 확대체이므로 차수가 $n$인 기약다항식 $f(x)\in F[x]$가 존재하여 $E\simeq\mathbb{Z}_{p}[x]/\langle f(x)\rangle$가 성립한다.

$E$의 모든 원소들은 $x^{p^{n}}-x$의 근이므로 $f(x)$는 $\mathbb{Z}_{p}[x]$에서 $x^{p^{n}}-x$의 인수이다.

$E'$의 모든 원소 또한 $x^{p^{n}}-x$의 근이므로 $E'$은 $\mathbb{Z}_{p}[x]$에서의 기약다항식 $f(x)$의 근들을 포함한다. 

$|E'|=p^{n}$이므로 $E'\simeq\mathbb{Z}_{p}[x]/\langle f(x)\rangle$이고 따라서 $E\simeq E'$이다.(QED)

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edtion, Fraleigh, Addison Wesley