7. 유한체(1)

7. 유한체(1)

소수 \(p\)와 양의 정수 \(n\)에 대하여 위수가 \(p^{n}\)인 유한체는 하나만 존재함이 알려져있다. 이러한 체를 \(\text{GF}(p^{n})\)으로 표현하고 위수가 \(p^{n}\)인 갈루아 체(Galois Field)라고 한다.

\(E\)를 체 \(F\)의 차수가 \(n\)인 유한 확대체라고 하자. \(F\)가 \(q\)개의 원소를 가지면, \(E\)는 \(q^{n}\)개의 원소를 가진다.

\(\{\alpha_{1},\,\cdots,\,\alpha_{n}\}\)을 \(F-\)벡터공간의 기저라 하자. 그러면 임의의 \(\beta\in E\)에 대하여 \(\beta\)를 \(b_{i}\in F\)에 대하여 \(\beta=b_{1}\alpha_{1}+\cdots+b_{n}\alpha_{n}\)의 형태로 나타낼 수 있다. \(|F|=q\)이기 때문에 \(|E|=q^{n}\)이다.(QED)

\(E\)를 표수가 소수 \(p\)인 유한체라 하자. 그러면 적당한 양의 정수 \(n\)에 대하여 \(E\)는 \(p^{n}\)개의 원소들을 갖는다.

표수가 소수 \(p\)인 모든 유한체 \(E\)는 \(\mathbb{Z}_{p}\)와 동형인 체의 유한 확대체이고 앞의 결과로부터 성립한다.

\(E\)를 \(\mathbb{Z}_{p}\)의 대수적 닫힘 \(\overline{\mathbb{Z}_{p}}\)에 포함되는 원소의 개수가 \(p^{n}\)인 체라 하자. 그러면 \(E\)는 \(x^{p^{n}}-x\in\mathbb{Z}_{p}[x]\)의 \(\overline{\mathbb{Z}_{p}}\)에서의 해들의 집합이다.

\(E^{*}=E-\{0\}\)는 체의 곱셈에 대해서 위수가 \(p^{n}-1\)인 군이다. 그러면 임의의 \(\alpha\in E\)에 대하여 \(\alpha\)의 위수는 \(p^{n}-1\)의 약수이고 \(\alpha^{p^{n}-1}=1\), 즉 \(\alpha^{p^{n}}=\alpha\)이다. 그러므로 \(E\)의 모든 원소들은 \(x^{p^{n}}-x\)의 근이고, 근의 개수는 최대 \(p^{n}\)이므로$$E=\{\alpha\in\overline{\mathbb{Z}_{p}}\,|\,\alpha^{p^{n}}-\alpha=0\}$$이다.(QED)

\(F\)를 체라 하고 \(\alpha\in F\)라 하자. \(\alpha^{n}=1\)이면, \(\alpha\)를 단위원의 \(n\)제곱근(\(n-\)th root of unity)이라 하고 \(\alpha^{n}=1\)이고 \(\alpha^{m}\neq1\,(0<m<n)\)이면, \(\alpha\)를 단위원의 원시 \(n\)제곱근(primitive \(n-\)th root of unity)이라 한다.

앞의 정리의 결과로부터 임의의 \(\alpha\in E^{*}\)는 단위원의 \(p^{n}-1\)제곱근이다.

유한체에서 영이 아닌 원소들의 곱셈군은 순환군이다. 그러면 \(F\)가 유한체일 때, \((F^{*},\,\cdot)\)가 순환군이라고 할 수 있다.

유한체 \(F\)의 유한 확대체는 단순 확대체이다.

\(\alpha\)를 순환군 \((E^{*},\,\cdot)\)의 생성원이라 하자. 그러면 \(E=F(\alpha)\)이고 \(E\)는 \(F\)의 단순 확대체이다.(QED)

유한체 \(\mathbb{Z}_{11}\)에 대하여 \((\mathbb{Z}_{11}^{*},\,\cdot)=\{1,\,2,\,\cdots,\,10\}\)은 순환군이다.

\(2^{10}=1\)이고 \(2^{k}\neq1\,(0<k<10)\)이므로 \(2\)는 \(\mathbb{Z}_{11}^{*}\)의 순환군이고 \(\mathbb{Z}_{11}\)에서 원시\(10\)제곱근이다.

\(2^{n}\)이 \(\mathbb{Z}_{11}^{*}\)의 생성원일 필요충분조건은 \(\text{gcd}(n,\,10)=1\)이므로 \(2^{1}=2\), \(2^{3}=8\), \(2^{7}=7\), \(2^{9}=6\)은 \(\mathbb{Z}_{11}^{*}\)의 생성원이고 \(\mathbb{Z}_{11}\)에서 원시 \(10\)제곱근이며 또한 \(\mathbb{Z}_{11}\)에서의 단위원의 원시 \(10\)제곱근들이다. 

\(\mathbb{Z}_{11}\)에서의 단위원의 원시 \(5\)제곱근들은 \(2^{m}\,(\text{gcd}(m,\,10)=2)\)의 형태로 나타난다(\(2^{2}=4\), \(2^{4}=5\), \(2^{6}=9\), \(2^{8}=3\)).

단위원(\(1\))의 \(\mathbb{Z}_{11}\)에서의 원시 제곱근은 \(2^{5}=10=-1\)뿐이다.  

\(F\)가 소수 표수 \(p\)를 갖는 체이고 \(\overline{F}\)를 \(F\)의 대수적 닫힘이라 하자. 그러면 \(x^{p^{n}}-x\)는 \(\overline{F}\)에서 \(p^{n}\)개의 서로 다른 근들을 갖는다.

\(\overline{F}\)는 대수적으로 닫혀있으므로 \(x^{p^{n}}-x\)는 \(\overline{F}\)에서 \(x-\alpha\)의 곱으로 인수분해 된다. \(0\)은 \(x^{p^{n}}-x\)의 중복도가 \(1\)인 근이다. \(\alpha(\neq0)\)이 \(x^{p^{n}}-x\)의 근이면, \(\alpha\)는 \(f(x)=x^{p^{n}-1}-1\)의 근이고(\(\alpha^{p^{n}-1}=1\)), \(x-\alpha\)는 \(f(x)\in\overline{F}[x]\)의 한 인수이다.$$g(x)=\frac{f(x)}{x-\alpha}=x^{p^{n}-2}+\alpha x^{p^{n}-3}+\alpha^{2}x^{p^{n}-4}+\cdots+\alpha^{p^{n}-3}x+\alpha^{p^{n}-2}$$라 하면 \(g(\alpha)=\alpha^{p^{n}-2}+\cdots+\alpha^{p^{n}-2}=(p^{n}-1)\alpha^{p^{n}-2}\)이고 \(\displaystyle\alpha^{p^{n}-2}=\frac{\alpha^{p^{n}-1}}{\alpha}=\frac{1}{\alpha}\)이기 때문에$$g(\alpha)=(p^{n}-1)\frac{1}{\alpha}=\left[(p^{n}-1)\cdot1\right]\frac{1}{\alpha}=(p^{n}\cdot1)\frac{1}{\alpha}-1\cdot\frac{1}{\alpha}=-\frac{1}{\alpha}\neq0$$(\(F\)의 표수가 \(p\)이기 때문) 이고 \(g(\alpha)\neq0\)이므로 \(\alpha\)는 \(f(x)\)의 중복도가 \(1\)인 근이다. 이 사실로부터 \(\overline{F}[x]\)에서 \(x^{p^{n}}-x\)의 1차 인수들은 더이상 인수분해되지 않으므로 \(x^{p^{n}}-x\)는 \(\overline{F}\)에서 서로 다른 근들을 갖는다.(QED)

참고자료:  

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley