7. 유한체(1)

7. 유한체(1)

소수 $p$와 양의 정수 $n$에 대하여 위수가 $p^{n}$인 유한체는 하나만 존재함이 알려져있다. 이러한 체를 $\text{GF}(p^{n})$으로 표현하고 위수가 $p^{n}$인 갈루아 체(Galois Field)라고 한다.

$E$를 체 $F$의 차수가 $n$인 유한 확대체라고 하자. $F$가 $q$개의 원소를 가지면, $E$는 $q^{n}$개의 원소를 가진다.

$\{\alpha_{1},\,\cdots,\,\alpha_{n}\}$을 $F-$벡터공간의 기저라 하자. 그러면 임의의 $\beta\in E$에 대하여 $\beta$를 $b_{i}\in F$에 대하여 $\beta=b_{1}\alpha_{1}+\cdots+b_{n}\alpha_{n}$의 형태로 나타낼 수 있다. $|F|=q$이기 때문에 $|E|=q^{n}$이다.(QED)

$E$를 표수가 소수 $p$인 유한체라 하자. 그러면 적당한 양의 정수 $n$에 대하여 $E$는 $p^{n}$개의 원소들을 갖는다.

표수가 소수 $p$인 모든 유한체 $E$는 $\mathbb{Z}_{p}$와 동형인 체의 유한 확대체이고 앞의 결과로부터 성립한다.

$E$를 $\mathbb{Z}_{p}$의 대수적 닫힘 $\overline{\mathbb{Z}_{p}}$에 포함되는 원소의 개수가 $p^{n}$인 체라 하자. 그러면 $E$는 $x^{p^{n}}-x\in\mathbb{Z}_{p}[x]$의 $\overline{\mathbb{Z}_{p}}$에서의 해들의 집합이다.

$E^{*}=E-\{0\}$는 체의 곱셈에 대해서 위수가 $p^{n}-1$인 군이다. 그러면 임의의 $\alpha\in E$에 대하여 $\alpha$의 위수는 $p^{n}-1$의 약수이고 $\alpha^{p^{n}-1}=1$, 즉 $\alpha^{p^{n}}=\alpha$이다. 그러므로 $E$의 모든 원소들은 $x^{p^{n}}-x$의 근이고, 근의 개수는 최대 $p^{n}$이므로 $$E=\{\alpha\in\overline{\mathbb{Z}_{p}}\,|\,\alpha^{p^{n}}-\alpha=0\}$$ 이다.(QED)

$F$를 체라 하고 $\alpha\in F$라 하자. $\alpha^{n}=1$이면, $\alpha$를 단위원의 $n$제곱근($n-$th root of unity)이라 하고 $\alpha^{n}=1$이고 $\alpha^{m}\neq1\,(0<m<n)$이면, $\alpha$를 단위원의 원시 $n$제곱근(primitive $n-$th root of unity)이라 한다.

앞의 정리의 결과로부터 임의의 $\alpha\in E^{*}$는 단위원의 $p^{n}-1$제곱근이다.

유한체에서 영이 아닌 원소들의 곱셈군은 순환군이다. 그러면 $F$가 유한체일 때, $(F^{*},\,\cdot)$가 순환군이라고 할 수 있다.

유한체 $F$의 유한 확대체는 단순 확대체이다.

$\alpha$를 순환군 $(E^{*},\,\cdot)$의 생성원이라 하자. 그러면 $E=F(\alpha)$이고 $E$는 $F$의 단순 확대체이다.(QED)

유한체 $\mathbb{Z}_{11}$에 대하여 $(\mathbb{Z}_{11}^{*},\,\cdot)=\{1,\,2,\,\cdots,\,10\}$은 순환군이다.

$2^{10}=1$이고 $2^{k}\neq1\,(0<k<10)$이므로 $2$는 $\mathbb{Z}_{11}^{*}$의 순환군이고 $\mathbb{Z}_{11}$에서 원시$10$제곱근이다.

$2^{n}$이 $\mathbb{Z}_{11}^{*}$의 생성원일 필요충분조건은 $\text{gcd}(n,\,10)=1$이므로 $2^{1}=2$, $2^{3}=8$, $2^{7}=7$, $2^{9}=6$은 $\mathbb{Z}_{11}^{*}$의 생성원이고 $\mathbb{Z}_{11}$에서 원시 $10$제곱근이며 또한 $\mathbb{Z}_{11}$에서의 단위원의 원시 $10$제곱근들이다. 

$\mathbb{Z}_{11}$에서의 단위원의 원시 $5$제곱근들은 $2^{m}\,(\text{gcd}(m,\,10)=2)$의 형태로 나타난다($2^{2}=4$, $2^{4}=5$, $2^{6}=9$, $2^{8}=3$).

단위원($1$)의 $\mathbb{Z}_{11}$에서의 원시 제곱근은 $2^{5}=10=-1$뿐이다.  

$F$가 소수 표수 $p$를 갖는 체이고 $\overline{F}$를 $F$의 대수적 닫힘이라 하자. 그러면 $x^{p^{n}}-x$는 $\overline{F}$에서 $p^{n}$개의 서로 다른 근들을 갖는다.

$\overline{F}$는 대수적으로 닫혀있으므로 $x^{p^{n}}-x$는 $\overline{F}$에서 $x-\alpha$의 곱으로 인수분해 된다. $0$은 $x^{p^{n}}-x$의 중복도가 $1$인 근이다. $\alpha(\neq0)$이 $x^{p^{n}}-x$의 근이면, $\alpha$는 $f(x)=x^{p^{n}-1}-1$의 근이고($\alpha^{p^{n}-1}=1$), $x-\alpha$는 $f(x)\in\overline{F}[x]$의 한 인수이다. $$g(x)=\frac{f(x)}{x-\alpha}=x^{p^{n}-2}+\alpha x^{p^{n}-3}+\alpha^{2}x^{p^{n}-4}+\cdots+\alpha^{p^{n}-3}x+\alpha^{p^{n}-2}$$ 라 하면 $g(\alpha)=\alpha^{p^{n}-2}+\cdots+\alpha^{p^{n}-2}=(p^{n}-1)\alpha^{p^{n}-2}$이고 $\displaystyle\alpha^{p^{n}-2}=\frac{\alpha^{p^{n}-1}}{\alpha}=\frac{1}{\alpha}$이기 때문에 $$g(\alpha)=(p^{n}-1)\frac{1}{\alpha}=\left[(p^{n}-1)\cdot1\right]\frac{1}{\alpha}=(p^{n}\cdot1)\frac{1}{\alpha}-1\cdot\frac{1}{\alpha}=-\frac{1}{\alpha}\neq0$$ ($F$의 표수가 $p$이기 때문) 이고 $g(\alpha)\neq0$이므로 $\alpha$는 $f(x)$의 중복도가 $1$인 근이다. 이 사실로부터 $\overline{F}[x]$에서 $x^{p^{n}}-x$의 1차 인수들은 더이상 인수분해되지 않으므로 $x^{p^{n}}-x$는 $\overline{F}$에서 서로 다른 근들을 갖는다.(QED)

참고자료:  

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley