9. 자기동형사상

9. 자기동형사상

앞에서 체 $F$와 그 확대체 $E$에 대하여 $$\overline{F}_{E}=\{\alpha\in E\,|\,\alpha\,\text{는}\,F\,\text{위에서 대수적 원소}\}$$ 는 $E$의 부분체이고, 이 체를 $E$에서 $F$의 대수적 닫힘(algebraic closure), $F[x]$의 상수가 아닌 모든 다항식이 $F$에 해를 갖는 성질을 만족하는 체 $F$를 대수적으로 닫힌 체(algebraically closed field)라고 했다. 

여기서부터 $F$의 대수적 닫힘 $\overline{F}$ 하나를 고정하고 $F$의 모든 대수적 확대체와 $F$ 위에서 대수적인 모든 원소는 $\overline{F}$에 포함된다고 가정한다. 

체 $E$를 체 $F$의 확대체라 하자. $\alpha,\,\beta\in E$에 대하여 $\text{irr}(\alpha,\,F)=\text{irr}(\beta,\,F)$이면, $\alpha$와 $\beta$를 $F$위에서 켤레(conjugate)라고 한다.

앞에서의 정의는 켤레복소수에서 유래한 것이고, 성질도 켤레복소수와 비슷하다. 실근이 아닌 복소근을 갖는 실계수 2차다항식의 한 근이 복소수 $z=a+bi$이면, 그 켤레복소수 $\overline{z}=a-bi$도 그 다항식의 한 근이다. 

$F$를 체, $\alpha,\,\beta$를 $F$위에서 대수적, $\text{deg}(\alpha,\,F)=n$이라 하고 사상 $\psi_{\alpha,\,\beta}:F(\alpha)\,\rightarrow\,F(\beta)$를 $$\psi_{\alpha,\,\beta}(c_{0}+c_{1}\alpha+\cdots+c_{n-1}\alpha^{n-1})=c_{0}+c_{1}\beta+\cdots+c_{n-1}\beta^{n-1}\,(c_{i}\in F)$$ 로 정의하자. 그러면 $\psi_{\alpha,\,\beta}$가 동형사상일 필요충분조건은 $\alpha$와 $\beta$가 $F$위에서 켤레이다. 

증명: 

($\Rightarrow$): $\psi_{\alpha,\,\beta}:F(\alpha)\,\rightarrow\,F(\beta)$가 동형사상이라고 하자. $\text{irr}(\alpha,\,F)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}$라 하면 $a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n}=0$이므로 $$\psi_{\alpha,\,\beta}(a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n})=a_{0}+a_{1}\beta+\cdots+a_{n}\beta^{n}$$ 이고 따라서 $\text{irr}(\beta,\,F)$는 $\text{irr}(\alpha,\,F)$로 나눈다. $(\psi_{\alpha,\,\beta})^{-1}=\psi_{\beta,\,\alpha}$가 성립함은 분명하고, 이 $\psi_{\beta,\,\alpha}$를 같은 방법으로 이용하면 $\text{irr}(\alpha,\,F)$는 $\text{irr}(\beta,\,F)$를 나눈다. 이 두 다항식의 최고차항의 계수가 1이므로 $\text{irr}(\alpha,\,F)=\text{irr}(\beta,\,F)$이고 $\alpha$와 $\beta$는 $F$위에서 켤레이다.   

($\Leftarrow$): $\text{irr}(\alpha,\,F)=\text{irr}(\beta,\,F)=p(x)$라 하자. 그러면 대입 준동형사상 $\phi_{\alpha}:F[x]\,\rightarrow\,F(\alpha)$와 $\phi_{\beta}:F[x]\,\rightarrow\,F(\beta)$의 핵(kernel)은 $\langle p(x)\rangle$이다. 준동형사상의 기본정리를 $\phi_{\alpha}$에 적용하면 $F[x]/\langle p(x)\rangle$와 $\phi_{\alpha}[F[x]]=F(\alpha)$사이에 동형사상 $\psi_{\alpha}$가 존재하고 비슷하게 $F[x]/\langle p(x)\rangle$와 $\phi_{\beta}[F[x]]$사이에 동형사상 $\psi_{\beta}$가 존재한다. $\psi_{\alpha,\,\beta}=\psi_{\beta}(\psi_{\alpha})^{-1}$라 하자. 앞에서 다룬 사상들의 관계는 다음과 같고

점선은 이 사상에 의해 서로 대응하는 원소들이다. $\psi_{\alpha,\,\beta}$는 두 동형사상의 합성이므로 동형사상이다. $c_{0}+c_{1}\alpha+\cdots+c_{n-1}\alpha^{n-1}\in F(\alpha)$이면 $$\begin{align*}&\psi_{\alpha,\,\beta}(c_{0}+c_{1}\alpha+\cdots+c_{n-1}\alpha^{n-1})\\&=(\psi_{\beta}(\psi_{\alpha}))(c_{0}+c_{1}\alpha+\cdots+c_{n-1}\alpha^{n-1})\\&=\psi_{\beta}((c_{0}+c_{1}x+\cdots+\cdots+c_{n-1}x^{n-1})+\langle p(x)\rangle)\\&=c_{0}+c_{1}\beta+\cdots+c_{n-1}\beta^{n-1}\end{align*}$$ 이다. 

이 정리에서의 $\psi_{\alpha,\,\beta}$를 켤레 동형사상(conjugate isomorphism)이라고 한다. 

$f(x)\in\mathbb{R}[x]$이고 $f(a+bi)=0\,(a+bi\in\mathbb{C})$이면, $f(a-bi)=0$이다. 이것은 실계수 다항식의 복소수근은 켤레복소수의 쌍으로 나타남을 뜻한다. 

증명: $\mathbb{C}=\mathbb{R}(i)$이고 $$\text{irr}(i,\,\mathbb{R})=\text{irr}(-i,\,\mathbb{R})=x^{2}+1$$ 이므로 $i$와 $-i$는 $\mathbb{R}$위에서 켤레이다. 앞의 정리에 의해 사상 $\psi_{i,\,-i}:\mathbb{C}\,\rightarrow\,\mathbb{C}$는 $\psi_{i,\,-i}(a+bi)=a-bi$로 정의되는 켤레동형사상이다. 따라서 $a_{i}\in\mathbb{R}$이고 $$f(a+bi)=a_{0}+a_{1}(a+bi)+\cdots+a_{n}(a+bi)^{n}=0$$ 이면 $$\begin{align*}0&=\psi_{i,\,-i}(f(a+bi))\\&=a_{0}+a_{1}(a-bi)+\cdots+a_{n}(a-bi)^{n}\\&=f(a-bi)\end{align*}$$ 즉 $f(a-bi)=0$이다.  

$\text{irr}(\sqrt{2},\,\mathbb{Q})=x^{2}-2$의 근은 $\pm\sqrt{2}$이므로 $\sqrt{2}$와 $-\sqrt{2}$는 $\mathbb{Q}$위에서 켤레이다. 사상 $\psi_{\sqrt{2},\,-\sqrt{2}}:\mathbb{Q}(\sqrt{2})\,\rightarrow\,\mathbb{Q}(\sqrt{2})$는 $\psi_{\sqrt{2},\,-\sqrt{2}}(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}$로 정의되고 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$에서 자기 자신 위로의 동형사상이다. 

체의 자기동형사상(automorphism)은 한 체에서 같은 체 위로의 동형사상이다. 

$\sigma$가 $E$와 어떤 체 사이의 동형사상일 때 $\sigma(a)=a$인 $E$의 원소 $a$는 $\sigma$에 의해 고정된(left fixed)원소이다. $S$가 $E$의 동형사상들의 집합이고 $F$가 $E$의 부분체일 때 $S$의 모든 원소 $\sigma\in S$가 $F$의 모든 원소를 고정시키면 '$S$가 $F$를 고정한다'고 하고, $\{\sigma\}$가 $F$를 고정하면 '$\sigma$가 $F$를 고정한다'고 한다.

$E=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})$이라 하자. 사상 $\sigma:E\,\rightarrow\,E$를 $a,\,b,\,c,\,d\in\mathbb{Q}$에 대하여 $$\sigma(a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6})=a+b\sqrt{2}-c\sqrt{3}-d\sqrt{6}$$ 으로 정의하면 $\sigma$는 $E$의 자기동형사상이 되는데 그 이유는 $\sigma$는 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$를 고정하고 $E=(\mathbb{Q}(\sqrt{2}))(\sqrt{3})$이므로 $\sigma$는 켤레 동형사상 $\psi_{\sqrt{3},\,-\sqrt{3}}$이다. 

$\{\sigma_{i}\,|\,i\in I\}$를 체 $E$의 자기동형사상들의 집합이라 하자. 그러면 모든 $\sigma_{i}$에 의해 고정되는 $E$의 모든 원소들의 집합 $E_{\{\sigma_{i}\}}$는 $E$의 부분체이다. 

증명: 모든 $i\in I$에 대하여 $\sigma_{i}(a)=a$, $\sigma_{i}(b)=b$이면, 모든 $i\in I$에 대하여 $$\begin{align*}\sigma_{i}(a\pm b)&=\sigma_{i}(a)\pm\sigma_{i}(b)=a\pm b\\ \sigma_{i}(ab)&=\sigma_{i}(a)\sigma_{i}(b)=ab\end{align*}$$ 이고 $b\neq0$이면 $$\sigma_{i}\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{\sigma_{i}(a)}{\sigma_{i}(b)}=\frac{a}{b}$$ 이다. $\sigma_{i}$는 자기동형사상이므로 $\sigma_{i}(0)=0$이고 $\sigma_{i}(1)=1$이다. 따라서 모든 $i\in I$에 대하여 $0,\,1\in E_{\{\sigma_{i}\}}$이고 $E_{\{\sigma_{i}\}}$는 $E$의 부분체이다.   

위 정리의 $E_{\{\sigma_{i}\}}$를 $\{\sigma_{i}\,|\,i\in I\}$의 고정체(fixed field), $E_{\sigma}$를 $\sigma$의 고정체라고 한다. 

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$의 자기동형사상 $\psi_{\sqrt{2},\,-\sqrt{2}}$와 $a,\,b\in\mathbb{Q}$에 대하여 $$\psi_{\sqrt{2},\,-\sqrt{2}}(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}$$ 이고 $a-b\sqrt{2}=a+b\sqrt{2}$가 성립할 필요충분조건은 $b=0$이다. 따라서 $\psi_{\sqrt{2},\,-\sqrt{2}}$의 고정체는 $\mathbb{Q}$이다. 

체 $E$의 자기동형사상은 $E$에서 $E$로의 일대일 함수이므로 $E$의 치환이고 $\sigma,\,\tau$가 $E$의 자기동형사상이면 합성함수 $\sigma\circ\tau$도 자기동형사상이다. 함수의 합성은 교환법칙이 성립하고, $\sigma,\,\tau$는 역원을 가지므로 따라서 체 $E$의 모든 자기동형사상들의 집합은 함수의 합성 연산에 대해 군이다. 

체 $E$의 자기동형사상들의 군을 $\text{Aut}(E)$로 나타낸다.

$E$를 체, $F$를 $E$의 부분체라고 하자. $G(E/F)$가 $F$를 고정하는 $E$의 자기동형사상들의 집합이면 $G(E/F)$는 $\text{Aut}(E)$의 부분군이고 $F\leq E_{G(E/F)}$이다. 

증명: $\sigma,\,\tau\in G(E/F)$이고 $a\in F$라 하자. $$(\sigma\circ\tau)(a)=\sigma(\tau(a))=\sigma(a)=a$$ 이므로 $\sigma\circ\tau\in G(E/F)$이다. 분명히 항등사상은 $G(E/F)$의 원소이고 $\sigma(a)=a$이면 $\sigma^{-1}(a)=a$이므로 $\sigma\in G(E/F)$이면 $\sigma^{-1}\in G(E/F)$이다. 따라서 $G(E/F)$는 $\text{Aut}(E)$의 부분군이고, $F\leq E_{G(E/F)}$는 $G(E/F)$의 정의에 의해 분명하다. 

위 정리의 군 $G(E/F)$를 $F$를 고정한 $E$의 자기동형사상군(group of automorphism)  또는 간단히 $F$위의 $E$의 군이라고 한다. 

이때 $G(E/F)$에서 $E/F$는 잉여구조(quotient structure)가 아니고 $E$가 체 $F$의 확대체라는 뜻이다. 

유리수체 $\mathbb{Q}$의 자기동형사상은 항등사상뿐이므로 $\text{Aut}(\mathbb{Q})=\{I\}$($I$는 항등사상)이다. 

사상 $\sigma:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 $\mathbb{R}$의 자기동형사상이라 하자. $\sigma(1)=1$이고 모든 $u\in\mathbb{Q}$에 대하여 $\sigma(u)=u$, $x>0$에 대하여 $\sqrt{x}>0$, $\sigma(x)=\sigma((\sqrt{x})^{2})=\{\sigma(x)\}^{2}>0$이므로 $x_{1},\,x_{2}\in\mathbb{R}$에 대하여 $x_{1}>x_{2}$이면 $\sigma(x_{1})>\sigma(x_{2})$이다. 실수 $x$에 대하여 $\sigma(x)<x$이라고 하면 유리수의 조밀성에 의해 $u\in\mathbb{Q}$가 존재해서 $\sigma(x)<u<x$이고 $u=\sigma(u)<\sigma(x)$이므로 모순이다. 같은 방법으로 $x<\sigma(x)$가 성립하지 않으므로 모든 실수 $x$에 대하여 $\sigma(x)=x$이고 따라서 $\text{Aut}(\mathbb{R})=1$이다.     

체 $F$에 대하여 $\text{char}F=p$라 하자. 사상 $\sigma_{p}:F\,\rightarrow\,F$를 $a\in F$에 대해 $\sigma_{p}(a)=a^{p}$로 정의하면 $F$의 동형사상이고 $F_{\{\sigma_{p}\}}\leq\mathbb{Z}_{p}$이다.  

증명: $a,\,b\in F$에 대하여 $(a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}$이므로 $$\begin{align*}\sigma_{p}(a+b)&=(a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}=\sigma_{p}(a)+\sigma_{p}(b)\\ \sigma_{p}(ab)&=(ab)^{p}=a^{p}b^{p}=\sigma_{p}(a)\sigma_{p}(b)\end{align*}$$ 이고 $\sigma_{p}$는 준동형사상이다. $\sigma_{p}(a)=0$이면 $a^{p}=0$이므로 $a=0$이고 따라서 $\text{Ker}\sigma_{p}=\{0\}$이므로 $\sigma_{p}$는 일대일이다. $F$는 유한하므로 $\sigma_{p}$는 전사(onto)이고 따라서 $\sigma_{p}$는 $F$의 자기동형사상이다. 

$\text{char}F=p$이므로 소 체(prime field, $\mathbb{Z}_{p},\,\mathbb{Q}$를 소 체라고 한다) $\mathbb{Z}_{p}$가 $F$에 포함된다. 페르마 정리에 의해 $x^{p}-x$는 $F$에서 $p$개의 근을 갖고 그 근은 $\mathbb{Z}_{p}$의 원소이다. 그런데 $\sigma_{p}$에 의해 고정되는 원소는 $x^{p}-x$의 근이므로 $\mathbb{Z}_{p}=F_{\{\sigma_{p}\}}$이다. 

이 정리의 $\sigma_{p}$를 프로베니우스 사상(Frobenius map)이라고 한다. 

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley

현대대수학 8판, 박승안, 김응태, 경문사