9. 자기동형사상

9. 자기동형사상

앞에서 체 \(F\)와 그 확대체 \(E\)에 대하여$$\overline{F}_{E}=\{\alpha\in E\,|\,\alpha\,\text{는}\,F\,\text{위에서 대수적 원소}\}$$는 \(E\)의 부분체이고, 이 체를 \(E\)에서 \(F\)의 대수적 닫힘(algebraic closure), \(F[x]\)의 상수가 아닌 모든 다항식이 \(F\)에 해를 갖는 성질을 만족하는 체 \(F\)를 대수적으로 닫힌 체(algebraically closed field)라고 했다. 

여기서부터 \(F\)의 대수적 닫힘 \(\overline{F}\) 하나를 고정하고 \(F\)의 모든 대수적 확대체와 \(F\) 위에서 대수적인 모든 원소는 \(\overline{F}\)에 포함된다고 가정한다. 

체 \(E\)를 체 \(F\)의 확대체라 하자. \(\alpha,\,\beta\in E\)에 대하여 \(\text{irr}(\alpha,\,F)=\text{irr}(\beta,\,F)\)이면, \(\alpha\)와 \(\beta\)를 \(F\)위에서 켤레(conjugate)라고 한다.

앞에서의 정의는 켤레복소수에서 유래한 것이고, 성질도 켤레복소수와 비슷하다. 실근이 아닌 복소근을 갖는 실계수 2차다항식의 한 근이 복소수 \(z=a+bi\)이면, 그 켤레복소수 \(\overline{z}=a-bi\)도 그 다항식의 한 근이다. 

\(F\)를 체, \(\alpha,\,\beta\)를 \(F\)위에서 대수적, \(\text{deg}(\alpha,\,F)=n\)이라 하고 사상 \(\psi_{\alpha,\,\beta}:F(\alpha)\,\rightarrow\,F(\beta)\)를$$\psi_{\alpha,\,\beta}(c_{0}+c_{1}\alpha+\cdots+c_{n-1}\alpha^{n-1})=c_{0}+c_{1}\beta+\cdots+c_{n-1}\beta^{n-1}\,(c_{i}\in F)$$로 정의하자. 그러면 \(\psi_{\alpha,\,\beta}\)가 동형사상일 필요충분조건은 \(\alpha\)와 \(\beta\)가 \(F\)위에서 켤레이다. 

증명: 

(\(\Rightarrow\)): \(\psi_{\alpha,\,\beta}:F(\alpha)\,\rightarrow\,F(\beta)\)가 동형사상이라고 하자. \(\text{irr}(\alpha,\,F)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\)라 하면 \(a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n}=0\)이므로$$\psi_{\alpha,\,\beta}(a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n})=a_{0}+a_{1}\beta+\cdots+a_{n}\beta^{n}$$이고 따라서 \(\text{irr}(\beta,\,F)\)는 \(\text{irr}(\alpha,\,F)\)로 나눈다. \((\psi_{\alpha,\,\beta})^{-1}=\psi_{\beta,\,\alpha}\)가 성립함은 분명하고, 이 \(\psi_{\beta,\,\alpha}\)를 같은 방법으로 이용하면 \(\text{irr}(\alpha,\,F)\)는 \(\text{irr}(\beta,\,F)\)를 나눈다. 이 두 다항식의 최고차항의 계수가 1이므로 \(\text{irr}(\alpha,\,F)=\text{irr}(\beta,\,F)\)이고 \(\alpha\)와 \(\beta\)는 \(F\)위에서 켤레이다.   

(\(\Leftarrow\)): \(\text{irr}(\alpha,\,F)=\text{irr}(\beta,\,F)=p(x)\)라 하자. 그러면 대입 준동형사상 \(\phi_{\alpha}:F[x]\,\rightarrow\,F(\alpha)\)와 \(\phi_{\beta}:F[x]\,\rightarrow\,F(\beta)\)의 핵(kernel)은 \(\langle p(x)\rangle\)이다. 준동형사상의 기본정리를 \(\phi_{\alpha}\)에 적용하면 \(F[x]/\langle p(x)\rangle\)와 \(\phi_{\alpha}[F[x]]=F(\alpha)\)사이에 동형사상 \(\psi_{\alpha}\)가 존재하고 비슷하게 \(F[x]/\langle p(x)\rangle\)와 \(\phi_{\beta}[F[x]]\)사이에 동형사상 \(\psi_{\beta}\)가 존재한다. \(\psi_{\alpha,\,\beta}=\psi_{\beta}(\psi_{\alpha})^{-1}\)라 하자. 앞에서 다룬 사상들의 관계는 다음과 같고

점선은 이 사상에 의해 서로 대응하는 원소들이다. \(\psi_{\alpha,\,\beta}\)는 두 동형사상의 합성이므로 동형사상이다. \(c_{0}+c_{1}\alpha+\cdots+c_{n-1}\alpha^{n-1}\in F(\alpha)\)이면$$\begin{align*}&\psi_{\alpha,\,\beta}(c_{0}+c_{1}\alpha+\cdots+c_{n-1}\alpha^{n-1})\\&=(\psi_{\beta}(\psi_{\alpha}))(c_{0}+c_{1}\alpha+\cdots+c_{n-1}\alpha^{n-1})\\&=\psi_{\beta}((c_{0}+c_{1}x+\cdots+\cdots+c_{n-1}x^{n-1})+\langle p(x)\rangle)\\&=c_{0}+c_{1}\beta+\cdots+c_{n-1}\beta^{n-1}\end{align*}$$이다. 

이 정리에서의 \(\psi_{\alpha,\,\beta}\)를 켤레 동형사상(conjugate isomorphism)이라고 한다. 

\(f(x)\in\mathbb{R}[x]\)이고 \(f(a+bi)=0\,(a+bi\in\mathbb{C})\)이면, \(f(a-bi)=0\)이다. 이것은 실계수 다항식의 복소수근은 켤레복소수의 쌍으로 나타남을 뜻한다. 

증명: \(\mathbb{C}=\mathbb{R}(i)\)이고$$\text{irr}(i,\,\mathbb{R})=\text{irr}(-i,\,\mathbb{R})=x^{2}+1$$이므로 \(i\)와 \(-i\)는 \(\mathbb{R}\)위에서 켤레이다. 앞의 정리에 의해 사상 \(\psi_{i,\,-i}:\mathbb{C}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)는 \(\psi_{i,\,-i}(a+bi)=a-bi\)로 정의되는 켤레동형사상이다. 따라서 \(a_{i}\in\mathbb{R}\)이고$$f(a+bi)=a_{0}+a_{1}(a+bi)+\cdots+a_{n}(a+bi)^{n}=0$$이면$$\begin{align*}0&=\psi_{i,\,-i}(f(a+bi))\\&=a_{0}+a_{1}(a-bi)+\cdots+a_{n}(a-bi)^{n}\\&=f(a-bi)\end{align*}$$즉 \(f(a-bi)=0\)이다.  

\(\text{irr}(\sqrt{2},\,\mathbb{Q})=x^{2}-2\)의 근은 \(\pm\sqrt{2}\)이므로 \(\sqrt{2}\)와 \(-\sqrt{2}\)는 \(\mathbb{Q}\)위에서 켤레이다. 사상 \(\psi_{\sqrt{2},\,-\sqrt{2}}:\mathbb{Q}(\sqrt{2})\,\rightarrow\,\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)는 \(\psi_{\sqrt{2},\,-\sqrt{2}}(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}\)로 정의되고 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)에서 자기 자신 위로의 동형사상이다. 

체의 자기동형사상(automorphism)은 한 체에서 같은 체 위로의 동형사상이다. 

\(\sigma\)가 \(E\)와 어떤 체 사이의 동형사상일 때 \(\sigma(a)=a\)인 \(E\)의 원소 \(a\)는 \(\sigma\)에 의해 고정된(left fixed)원소이다. \(S\)가 \(E\)의 동형사상들의 집합이고 \(F\)가 \(E\)의 부분체일 때 \(S\)의 모든 원소 \(\sigma\in S\)가 \(F\)의 모든 원소를 고정시키면 '\(S\)가 \(F\)를 고정한다'고 하고, \(\{\sigma\}\)가 \(F\)를 고정하면 '\(\sigma\)가 \(F\)를 고정한다'고 한다.

\(E=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})\)이라 하자. 사상 \(\sigma:E\,\rightarrow\,E\)를 \(a,\,b,\,c,\,d\in\mathbb{Q}\)에 대하여$$\sigma(a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6})=a+b\sqrt{2}-c\sqrt{3}-d\sqrt{6}$$으로 정의하면 \(\sigma\)는 \(E\)의 자기동형사상이 되는데 그 이유는 \(\sigma\)는 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)를 고정하고 \(E=(\mathbb{Q}(\sqrt{2}))(\sqrt{3})\)이므로 \(\sigma\)는 켤레 동형사상 \(\psi_{\sqrt{3},\,-\sqrt{3}}\)이다. 

\(\{\sigma_{i}\,|\,i\in I\}\)를 체 \(E\)의 자기동형사상들의 집합이라 하자. 그러면 모든 \(\sigma_{i}\)에 의해 고정되는 \(E\)의 모든 원소들의 집합 \(E_{\{\sigma_{i}\}}\)는 \(E\)의 부분체이다. 

증명: 모든 \(i\in I\)에 대하여 \(\sigma_{i}(a)=a\), \(\sigma_{i}(b)=b\)이면, 모든 \(i\in I\)에 대하여$$\begin{align*}\sigma_{i}(a\pm b)&=\sigma_{i}(a)\pm\sigma_{i}(b)=a\pm b\\ \sigma_{i}(ab)&=\sigma_{i}(a)\sigma_{i}(b)=ab\end{align*}$$이고 \(b\neq0\)이면$$\sigma_{i}\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{\sigma_{i}(a)}{\sigma_{i}(b)}=\frac{a}{b}$$이다. \(\sigma_{i}\)는 자기동형사상이므로 \(\sigma_{i}(0)=0\)이고 \(\sigma_{i}(1)=1\)이다. 따라서 모든 \(i\in I\)에 대하여 \(0,\,1\in E_{\{\sigma_{i}\}}\)이고 \(E_{\{\sigma_{i}\}}\)는 \(E\)의 부분체이다.   

위 정리의 \(E_{\{\sigma_{i}\}}\)를 \(\{\sigma_{i}\,|\,i\in I\}\)의 고정체(fixed field), \(E_{\sigma}\)를 \(\sigma\)의 고정체라고 한다. 

\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)의 자기동형사상 \(\psi_{\sqrt{2},\,-\sqrt{2}}\)와 \(a,\,b\in\mathbb{Q}\)에 대하여$$\psi_{\sqrt{2},\,-\sqrt{2}}(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}$$이고 \(a-b\sqrt{2}=a+b\sqrt{2}\)가 성립할 필요충분조건은 \(b=0\)이다. 따라서 \(\psi_{\sqrt{2},\,-\sqrt{2}}\)의 고정체는 \(\mathbb{Q}\)이다. 

체 \(E\)의 자기동형사상은 \(E\)에서 \(E\)로의 일대일 함수이므로 \(E\)의 치환이고 \(\sigma,\,\tau\)가 \(E\)의 자기동형사상이면 합성함수 \(\sigma\circ\tau\)도 자기동형사상이다. 함수의 합성은 교환법칙이 성립하고, \(\sigma,\,\tau\)는 역원을 가지므로 따라서 체 \(E\)의 모든 자기동형사상들의 집합은 함수의 합성 연산에 대해 군이다. 

체 \(E\)의 자기동형사상들의 군을 \(\text{Aut}(E)\)로 나타낸다.

\(E\)를 체, \(F\)를 \(E\)의 부분체라고 하자. \(G(E/F)\)가 \(F\)를 고정하는 \(E\)의 자기동형사상들의 집합이면 \(G(E/F)\)는 \(\text{Aut}(E)\)의 부분군이고 \(F\leq E_{G(E/F)}\)이다. 

증명: \(\sigma,\,\tau\in G(E/F)\)이고 \(a\in F\)라 하자.$$(\sigma\circ\tau)(a)=\sigma(\tau(a))=\sigma(a)=a$$이므로 \(\sigma\circ\tau\in G(E/F)\)이다. 분명히 항등사상은 \(G(E/F)\)의 원소이고 \(\sigma(a)=a\)이면 \(\sigma^{-1}(a)=a\)이므로 \(\sigma\in G(E/F)\)이면 \(\sigma^{-1}\in G(E/F)\)이다. 따라서 \(G(E/F)\)는 \(\text{Aut}(E)\)의 부분군이고, \(F\leq E_{G(E/F)}\)는 \(G(E/F)\)의 정의에 의해 분명하다. 

위 정리의 군 \(G(E/F)\)를 \(F\)를 고정한 \(E\)의 자기동형사상군(group of automorphism)  또는 간단히 \(F\)위의 \(E\)의 군이라고 한다. 

이때 \(G(E/F)\)에서 \(E/F\)는 잉여구조(quotient structure)가 아니고 \(E\)가 체 \(F\)의 확대체라는 뜻이다. 

유리수체 \(\mathbb{Q}\)의 자기동형사상은 항등사상뿐이므로 \(\text{Aut}(\mathbb{Q})=\{I\}\)(\(I\)는 항등사상)이다. 

사상 \(\sigma:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 \(\mathbb{R}\)의 자기동형사상이라 하자. \(\sigma(1)=1\)이고 모든 \(u\in\mathbb{Q}\)에 대하여 \(\sigma(u)=u\), \(x>0\)에 대하여 \(\sqrt{x}>0\), \(\sigma(x)=\sigma((\sqrt{x})^{2})=\{\sigma(x)\}^{2}>0\)이므로 \(x_{1},\,x_{2}\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(x_{1}>x_{2}\)이면 \(\sigma(x_{1})>\sigma(x_{2})\)이다. 실수 \(x\)에 대하여 \(\sigma(x)<x\)이라고 하면 유리수의 조밀성에 의해 \(u\in\mathbb{Q}\)가 존재해서 \(\sigma(x)<u<x\)이고 \(u=\sigma(u)<\sigma(x)\)이므로 모순이다. 같은 방법으로 \(x<\sigma(x)\)가 성립하지 않으므로 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\sigma(x)=x\)이고 따라서 \(\text{Aut}(\mathbb{R})=1\)이다.     

체 \(F\)에 대하여 \(\text{char}F=p\)라 하자. 사상 \(\sigma_{p}:F\,\rightarrow\,F\)를 \(a\in F\)에 대해 \(\sigma_{p}(a)=a^{p}\)로 정의하면 \(F\)의 동형사상이고 \(F_{\{\sigma_{p}\}}\leq\mathbb{Z}_{p}\)이다.  

증명: \(a,\,b\in F\)에 대하여 \((a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}\)이므로$$\begin{align*}\sigma_{p}(a+b)&=(a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}=\sigma_{p}(a)+\sigma_{p}(b)\\ \sigma_{p}(ab)&=(ab)^{p}=a^{p}b^{p}=\sigma_{p}(a)\sigma_{p}(b)\end{align*}$$이고 \(\sigma_{p}\)는 준동형사상이다. \(\sigma_{p}(a)=0\)이면 \(a^{p}=0\)이므로 \(a=0\)이고 따라서 \(\text{Ker}\sigma_{p}=\{0\}\)이므로 \(\sigma_{p}\)는 일대일이다. \(F\)는 유한하므로 \(\sigma_{p}\)는 전사(onto)이고 따라서 \(\sigma_{p}\)는 \(F\)의 자기동형사상이다. 

\(\text{char}F=p\)이므로 소 체(prime field, \(\mathbb{Z}_{p},\,\mathbb{Q}\)를 소 체라고 한다) \(\mathbb{Z}_{p}\)가 \(F\)에 포함된다. 페르마 정리에 의해 \(x^{p}-x\)는 \(F\)에서 \(p\)개의 근을 갖고 그 근은 \(\mathbb{Z}_{p}\)의 원소이다. 그런데 \(\sigma_{p}\)에 의해 고정되는 원소는 \(x^{p}-x\)의 근이므로 \(\mathbb{Z}_{p}=F_{\{\sigma_{p}\}}\)이다. 

이 정리의 \(\sigma_{p}\)를 프로베니우스 사상(Frobenius map)이라고 한다. 

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley

현대대수학 8판, 박승안, 김응태, 경문사