10. 동형사상 확장정리
체 \(E\)를 체 \(F\)의 대수적 확대체라 하자. \(\alpha,\,\beta\in E\)가 \(F\)에서 대수적일 때 이 둘이 서로 켤레이면 \(F(\alpha)\)와 \(F(\beta)\)사이의 동형사상 \(\psi_{\alpha,\,\beta}\)가 존재하고 \(\alpha,\,\beta\in E\)이므로 \(F(\alpha),\,F(\beta)\leq E\)이다. 따라서 \(\psi_{\alpha,\,\beta}\)의 정의역이 \(F(\alpha)\)보다 더 큰 체인 \(E\)까지 확장해서 이 확장된 사상이 \(E\)의 자기동형사상인가에 대해 궁금해할 수 있다. 다음의 그림은 이 상황을 나타낸 것이다.
\(\psi_{\alpha,\,\beta}\)의 정의역을 확장한다고 하기보다 사상 \(\psi_{\alpha,\,\beta}\)를 사상 \(\tau:E\,\rightarrow\,\tau[E]\)로 확장한다고 표현한다.
체 \(F\)의 모든 대수적 확대체는 \(F\)의 대수적 닫힘인 \(\overline{F}\)안에 모두 포함되어 있다. 동형확장정리는 \(\psi_{\alpha,\,\beta}\)가 \(E\)와 \(\overline{F}\)의 부분체 사이의 동형사상으로 확장될 수 있다는 것을 보이는 것이다. 이 동형사상이 \(E\)의 자기동형사상이 되는지는 여기서 다루지 않겠다. 이 확장정리는 켤레동형사상 \(\psi_{\alpha,\,\beta}\)와 함께 적어도 많은 체들 사이에 많은 동형사상들이 존재함을 보여줄 것이다.
체 \(E\)를 체 \(F\)의 대수적 확대체, 체 \(F\)에서 체 \(F'\)위로의 동형사상 \(\sigma\)가 존재한다고 하자. \(\overline{F'}\)을 \(F\)의 대수적 닫힘이라 하고 \(\sigma\)를 \(E\)에서 \(\overline{F'}\)의 부분체 위로의 동형사상으로 확장하고자 한다.(아래 그림 참고)
\(F\)의 원소가 아닌 \(\alpha\in E\)를 선택해 \(\sigma\)를 \(F(\alpha)\)로 확장한다.$$p(x)=\text{irr}(\alpha,\,F)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}$$이면 \(\overline{F'}\)에서$$q(x)=\sigma(a_{0})+\sigma(a_{1})x+\cdots+\sigma(a_{n})x^{n}$$의 근을 \(\beta\)라 하자. \(q(x)\in F'[x]\)이고 \(\sigma\)가 동형사상이므로 \(q(x)\)는 \(F'[x]\)에서 기약이다.
그렇다면 \(\alpha\)를 \(\beta\)로 보내면서 \(\sigma\)를 확장하면 \(F(\alpha)\)와 \(F'(\beta)\)의 동형사상이 될 것이라고 생각할 수 있다. \(F(\alpha)=E\)이면 더 이상의 증명이 필요없지만 \(F(\alpha)\neq E\)이면 \(F(\alpha)\)에는 존재하지 않고 \(E\)에 존재하는 다른 원소를 선택해 이 과정을 되풀이한다. 이것은 \(F\)의 대수적 닫힘 \(\overline{F}\)를 만드는 것과 비슷하다.
이 과정을 다음과 같이 정리할 수 있다.
동형사상 확장정리(isomorphism extension theorem) 체 \(E\)를 체 \(F\)의 확대체, \(\sigma:F\,\rightarrow\,F'\)를 동형사상, \(\overline{F'}\)을 \(F'\)의 대수적 닫힘이라고 하자. 그러면 \(\sigma\)는 \(E\)에서 \(\overline{F'}\)의 부분체 위로의 동형사상 \(\tau\)로 확장된다. 즉 \(a\in F\)이면 \(\tau(a)=\sigma(a)\)이다.
이 동형사상 확장정리로부터 다음의 결과들을 얻는다.
-체 \(E\leq\overline{F}\)가 \(F\)의 대수적 확대체, \(\alpha,\,\beta\in E\)가 \(F\)위에서 켤레라 하자. 그러면 다음과 같이 정의되는 켤레동형사상$$\psi_{\alpha,\,\beta}(c_{0}+c_{1}\alpha+\cdots+c_{n-1}\alpha^{n-1})=c_{0}+c_{1}\beta+\cdots+c_{n-1}\beta^{n-1}\,(c_{i}\in F)$$\(\psi_{\alpha,\,\beta}:F(\alpha)\,\rightarrow\,F(\beta)\)는 \(E\)와 \(\overline{F}\)의 부분체와의 동형사상으로 확장할 수 있다.
-\(\overline{F}\)와 \(\overline{F'}\)이 \(F\)의 대수적 닫힘이라고 하자. 그러면 \(F\)의 원소를 모두 고정시키는 동형사상에 의해 \(\overline{F}\)와 \(\overline{F'}\)은 동형이다.
체 \(E\)를 체 \(F\)의 유한확대체, \(\sigma\)를 \(F\)에서 \(\overline{F'}\)위로의 동형사상, \(\overline{F'}\)을 \(F'\)의 대수적 닫힘이라고 하자. 그러면 \(\sigma\)로부터 동형사상 \(\tau:E\,\rightarrow\,\tau[E]\leq\overline{F'}\)로 확장되는 동형사상의 개수는 유한개이며 이 수는 \(F',\,\overline{F'},\,\sigma\)에 의존하지 않는다. 즉 \(\sigma\)의 확장사상 \(\tau\)의 개수는 두 체 \(E\)와 \(F\)에 의해 결정된다.
증명:
\(\sigma_{1}:F\,\rightarrow\,F_{1}'\), \(\sigma_{2}:F\,\rightarrow\,F_{2}'\)를 동형사상, \(\overline{F_{1}'}\), \(\overline{F_{2}'}\)을 각각 \(F_{1}'\), \(F_{2}'\)의 대수적 닫힘이라고 하자. \(\sigma_{2}\circ\sigma_{1}^{-1}\)는 \(F_{1}'\)에서 \(F_{2}'\)위로의 동형사상이고 동형확장정리에 의해 \(\sigma_{2}\circ\sigma_{1}^{-1}:F_{1}'\,\rightarrow\,F_{2}'\)를 확장하는 동형사상 \(\lambda:\overline{F_{1}'}\,\rightarrow\,\overline{F_{2}'}\)가 존재한다. 위 그림에서 \(\sigma_{1}\)의 확장인 \(\tau_{1}:E\,\rightarrow\,\overline{F_{1}'}\)에 대응해 동형사상 \(\tau_{2}:E\,\rightarrow\,\overline{F_{2}'}\)를 \(E\)에서 시작해 먼저 왼쪽(\(\tau_{1}[E]\))으로, 위로(\(\overline{F_{1}'}\)), 오른쪽(\(\overline{F_{2}'}\))으로 따라감(\(\tau_{2}[E]\))으로써 얻는다. 대수적으로 나타내자면 \(\alpha\in E\)에 대해 \(\tau_{2}(\alpha)=(\lambda\tau_{1})(\alpha)\)이고 \(\tau_{2}\)는 \(\sigma_{2}\)의 확장임은 분명하다. \(\tau_{2}\)에서 시작한다면 \(\tau_{1}(\alpha)=(\lambda^{-1}\tau_{2})(\alpha)\)로 정의함으로써, 즉 위의 그림에서 다른 방향을 따라감으로써 \(\tau_{1}\)을 다시 얻게 된다. 이 사실들로부터 \(\tau_{1}:E\,\rightarrow\,\overline{F_{1}'}\)과 \(\tau_{2}:E\,\rightarrow\,\overline{F_{2}'}\)의 대응관계는 일대일이고, 따라서 \(\sigma\)를 확장하는 \(\tau\)의 개수는 \(F',\,\overline{F'},\,\sigma\)에 의존하지 않는다.
\(\sigma\)를 확장하는 사상의 수가 유한한 이유는 \(E\)가 \(F\)의 유한확대체이기 때문이다. 즉 적당한 \(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\in E\)가 존재해서 \(E=F(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,...,\,\alpha_{n})\)이고 \(F'\)에서 \(\tau(\alpha_{i})\)로 가능한 것도 유한개 뿐이기 때문이다. 그 이유는$$\text{irr}(\alpha_{i},\,F)=a_{i0}+a_{i1}x+\cdots+a_{im_{i}}x^{m_{i}}\,(a_{ik}\in F)$$이면 \(\tau(\alpha_{i})\) 는 \(\overline{F'}\)에서$$\{\sigma(a_{i0})+\sigma(a_{i1})x+\cdots+\sigma(a_{im_{i}})x^{m_{i}}\}\in F'[x]$$의 해가 되기 때문이다.
체 \(E\)를 체 \(F\)의 유한확대체라 하자. \(F\)를 고정시키는 \(E\)에서 \(\overline{F}\)의 부분체 위로의 동형사상의 개수는 \(F\)위에서 \(E\)의 지표(index)이고 \(\{E:F\}\)로 나타낸다.
체 \(K\)가 체 \(F\)의 유한확대체이고, \(F\leq E\leq K\)이면 \(\{K:F\}=\{K:E\}\{E:F\}\)이다.
증명: 앞의 정리로부터 \(F\)를 고정하는 \(E\)에서 \(\overline{F}\)의 부분체로의 동형사상은 \(\{E:F\}\)개 있고 이 동형사상의 하나 하나는 \(K\)위로 \(\{K:F\}\)개 확장된다.
*\(E\)가 \(F\)가 유한확대체이면 \([E:F]=\{E:F\}\)인데 그 이유는 \(E=F(\alpha)\)이면 항등사상에 의해 \(F(\alpha)\)위로의 \(\{E:F\}\)개의 확장은 모두 켤레 동형사상이고, 켤레 동형사상 \(\psi_{\alpha,\,\beta}\)는 정확히 \(\alpha\)의 켤레원소인 \(\beta\)의 개수만큼 있다. 따라서 \(\text{irr}(\alpha,\,F)\)가 \(\overline{F}\)에서 \(n\)개의 서로 다른 근을 가지면 \(\{E:F\}=n\)이다.
*\(F\)의 표수가 \(p\neq0\)인 무한체가 아니면 \(\text{irr}(\alpha,\,F)\)는 \(\text{deg}(\alpha,\,F)\)개의 서로 다른 해를 갖는다. 즉 \(\{F(\alpha),\,F\}=\text{deg}(\alpha,\,F)=[F(\alpha):F]\)이다.
\(E=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})(=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}))\)에 대해 \(\{E:\mathbb{Q}\}=[E:\mathbb{Q}]=4\)이고 \(\{E:\mathbb{Q}(\sqrt{2})\}=2\), \(\{\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}\}=2\)이므로$$4=\{E:\mathbb{Q}\}=\{E:\mathbb{Q}(\sqrt{2})\}\{\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}\}=2\cdot2$$가 성립한다.
다음은 일반적인 동형사상 확장정리인데 증명에 가장 어려운 이론이 사용되기 때문에 증명은 생략하겠다.
동형사상 확장정리(isomorphism extension theorem) 체 \(E\)를 체 \(F\)의 대수적 확대체, \(\sigma:F\,\rightarrow\,F'\)는 동형사상, \(\overline{F'}\)을 \(F'\)의 대수적 닫힘이라고 하자. 그러면 \(\sigma\)는 \(E\)에서 \(\overline{F'}\)의 부분체 위로의 동형사상 \(\tau\)로 확장되고 \(a\in F\)이면 \(\tau(a)=\sigma(a)\)이다.
참고자료:
A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley
