11. 분해체

11. 분해체

체 \(E\)가 체 \(F\)의 확대체, \(\alpha\in E\), \(\beta\in\overline{F}\)가 \(\alpha\)와 켤레이면 켤레동형사상 \(\psi_{\alpha,\,\beta}:F(\alpha)\,\rightarrow\,F(\beta)\)가 존재하고, \(\psi_{\alpha,\,\beta}\)는 \(E\)와 \(\overline{F}\)의 부분체와의 동형사상으로 항상 확장된다. \(\beta\notin E\)이면 \(\psi_{\alpha,\,\beta}\)는 \(E\)의 동형사상으로 확장이 되지 않고 따라서 \(F\)를 고정하는 \(E\)와 \(\overline{F}\)의 부분체와의 동형사상이 \(E\)의 자기동형사상이 되기 위해서는 모든 \(\alpha\in E\)에 대하여 \(\alpha\)와 켤레인 모든 원소들이 \(E\)의 원소여야 한다. 

\(F\)를 체, \(\overline{F}\)를 \(F\)의 대수적 닫힘이라고 하자. \(F[x]\)의 다항식들의 집합 \(\{f_{i}(x)\,|\,i\in I\}\)에 대하여 \(F\)를 포함하고 모든 \(f_{i}(x)\)의 \(\overline{F}\)안의 모든 해를 포함하는 \(\overline{F}\)의 가장 작은 부분체 \(E\)를 \(F\)위의 \(\{f_{i}(x)\,|\,i\in I\}\)의 분해체(splitting field)라고 한다. 체 \(K\leq\overline{F}\)가 \(F[x]\)의 어떤 다항식들의 집합의 분해체가 되면 \(K\)는 \(F\)위의 분해체라고 한다. 

\(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})\)은 \(\{x^{2}-2,\,x^{2}-3\}\)의 분해체이고 또한 \(\{x^{4}-5x^{2}+6\}(=\{(x^{2}-2)(x^{2}-3)\})\)의 분해체이다. 

\(f(x)\in F[x]\)일 때, \(F\)위의 \(f(x)\)의 분해체는 \(F\)위의 \(\{f(x)\}\)의 분해체이다. \(F\)위의 \(\{f_{i}(x)\,|\,i\in I\}\)의 분해체는 \(F\)를 포함하고 모든 \(f_{i}(x)\)의 모든 해를 포함하는 \(\overline{F}\)의 부분체들의 교집합이므로 분해체는 존재한다. 

 

*모든 대수적 확대체는 하나의 고정된 \(F\)의 대수적 닫힘인 \(\overline{F}\)의 부분체라고 가정한다.

체 \(E\)와 \(F\)에 대해 \(F\leq E\leq\overline{F}\)라 하자. \(E\)가 \(F\)위의 분해체일 필요충분조건은 \(F\)를 고정하는 \(\overline{F}\)의 모든 자기동형사상 \(\sigma\)가 \(E\)의 자기동형사상을 유도한다.

증명: 생략

체 \(E\)를 체 \(F\)의 확대체라고 하자. 다항식 \(f(x)\in F[x]\)가 \(E[x]\)에서 일차식의 곱으로 인수분해되면 \(f(x)\)는 \(E\)에서 분해된다(splits)라고 한다.  

다항식 \(x^{4}-5x^{2}+6\in\mathbb{Q}[x]\)는 체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})\)에서 \((x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\)으로 분해된다.  

체 \(E\leq\overline{F}\)가 \(F\)의 분해체이면 적어도 \(E\)에 하나의 근을 갖는 \(F[x]\)의 모든 기약다항식은 \(E\)에서 분해된다. 

증명: \(E\)가 \(F\)위의 분해체이면 \(\overline{F}\)의 모든 자기동형사상은 \(E\)의 자기동형사상을 유도한다. \(E\)가 \(\{g_{k}(x)\}\)가 적어도 하나의 근을 \(E\)안에 갖는 \(F[x]\)의 모든 기약다항식들의 집합이면, \(E\)는 \(\{g_{k}(x)\}\)의 분해체이다. 따라서 \(F[x]\)의 기약다항식 \(f(x)\)가 \(E\)에서 근을 하나 가지면, \(\overline{F}\)의 원소가 되는 \(f(x)\)의 모든 근은 \(E\)의 원소이다. 그러므로 \(\overline{F}[x]\)에서의 인수분해에 나타나는 모든 1차인수는 실제로 \(E[x]\)의 원소이므로 \(f(x)\)는 \(E\)에서 분해된다.   

체 \(E\)가 \(E\leq\overline{F}\)이고 \(F\)의 분해체이면, \(F\)를 고정하는 \(E\)에서 \(\overline{F}\)의 부분체와의 동형사상은 \(E\)의 자기동형사상이다. 특히 \(F\)의 유한확대체 \(E\)가 \(F\)위의 분해체이면 \(\{E:F\}=|G(E/F)|\)이다.  

증명: \(F\)를 고정하는 \(E\)에서 \(\overline{F}\)의 부분체와의 동형사상은 \(\overline{F}\)의 자기동형사상 \(\tau\)로 확장된다. \(E\)가 \(F\)위의 분해체이면, \(\tau\)를 \(E\)에 제한하면 \(E\)의 자기동형사상을 유도하고 따라서 \(F\)를 고정하고 \(E\)에서 \(\overline{F}\)의 부분체와의 동형사상은 \(E\)의 자기동형사상이다. 

\(F\)를 고정하는 \(E\)와 \(\overline{F}\)의 부분체와의 동형사상의 개수가 \(\{E:F\}\)의 정의이므로 \(E\)가 분해체이고, \(E\)가 \(F\)위의 유한확대체이면, \(\{E:F\}=|G(E/F)|\)는 분명히 성립한다.  

\(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})\)는 \(\mathbb{Q}\)위에서 \(\{x^{2}-2,\,x^{2}-3\}\)의 분해체이고 실제로 모든 체의 자기동형사상은 소 체(prime subfield, \(\mathbb{Z}_{p}\), \(\mathbb{Q}\))를 고정시키며$$|G(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})/\mathbb{Q})|=\{\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3}):\mathbb{Q}\}=[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=4$$이다.   

 

\(E\)가 \(F\)의 유한확대체일 때 적당한 조건에서 다음이 성립한다.$$|G(E/F)|=\{E:F\}=[E:F]$$실수 \(2^{\frac{1}{3}}\)은 \(2\)의 세제곱근이다. \(\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})\leq\mathbb{R}\)이고 \(x^{3}-2\)의 실근은 1개 뿐이므로 \(x^{3}-2\)는 \(\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})\)에서 분해되지 않는다. 따라서 \(x^{3}-2\)는 \((\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}}))[x]\)에서 1차인수 \(x-2^{\frac{1}{3}}\)와 기약2차인수의 곱으로 인수분해된다. 따라서 \(\mathbb{Q}\)위에 \(x^{3}-2\)의 분해체 \(E\)는 차수가 \(2\)인 \(\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})\)의 확대체이다. 그러면$$[E:\mathbb{Q}]=[E:\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})][\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}}):\mathbb{Q}]=2\cdot3=6$$이므로 \(\mathbb{Q}\)위의 \(x^{3}-2\)의 분해체는 차수가 \(6\)인 분해체이다. 다음의 복소수$$\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)2^{\frac{1}{3}},\,\left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)2^{\frac{1}{3}}$$는 \(x^{3}-2\)의 다른 두 근이고 따라서 \(x^{3}-2\)의 분해체 \(E\)는 \(\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,3^{\frac{1}{2}}i)\)이다.       

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley