11. 분해체

11. 분해체

체 $E$가 체 $F$의 확대체, $\alpha\in E$, $\beta\in\overline{F}$가 $\alpha$와 켤레이면 켤레동형사상 $\psi_{\alpha,\,\beta}:F(\alpha)\,\rightarrow\,F(\beta)$가 존재하고, $\psi_{\alpha,\,\beta}$는 $E$와 $\overline{F}$의 부분체와의 동형사상으로 항상 확장된다. $\beta\notin E$이면 $\psi_{\alpha,\,\beta}$는 $E$의 동형사상으로 확장이 되지 않고 따라서 $F$를 고정하는 $E$와 $\overline{F}$의 부분체와의 동형사상이 $E$의 자기동형사상이 되기 위해서는 모든 $\alpha\in E$에 대하여 $\alpha$와 켤레인 모든 원소들이 $E$의 원소여야 한다. 

$F$를 체, $\overline{F}$를 $F$의 대수적 닫힘이라고 하자. $F[x]$의 다항식들의 집합 $\{f_{i}(x)\,|\,i\in I\}$에 대하여 $F$를 포함하고 모든 $f_{i}(x)$의 $\overline{F}$안의 모든 해를 포함하는 $\overline{F}$의 가장 작은 부분체 $E$를 $F$위의 $\{f_{i}(x)\,|\,i\in I\}$의 분해체(splitting field)라고 한다. 체 $K\leq\overline{F}$가 $F[x]$의 어떤 다항식들의 집합의 분해체가 되면 $K$는 $F$위의 분해체라고 한다. 

$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})$은 $\{x^{2}-2,\,x^{2}-3\}$의 분해체이고 또한 $\{x^{4}-5x^{2}+6\}(=\{(x^{2}-2)(x^{2}-3)\})$의 분해체이다. 

$f(x)\in F[x]$일 때, $F$위의 $f(x)$의 분해체는 $F$위의 $\{f(x)\}$의 분해체이다. $F$위의 $\{f_{i}(x)\,|\,i\in I\}$의 분해체는 $F$를 포함하고 모든 $f_{i}(x)$의 모든 해를 포함하는 $\overline{F}$의 부분체들의 교집합이므로 분해체는 존재한다. 

 

*모든 대수적 확대체는 하나의 고정된 $F$의 대수적 닫힘인 $\overline{F}$의 부분체라고 가정한다.

체 $E$와 $F$에 대해 $F\leq E\leq\overline{F}$라 하자. $E$가 $F$위의 분해체일 필요충분조건은 $F$를 고정하는 $\overline{F}$의 모든 자기동형사상 $\sigma$가 $E$의 자기동형사상을 유도한다.

증명: 생략

체 $E$를 체 $F$의 확대체라고 하자. 다항식 $f(x)\in F[x]$가 $E[x]$에서 일차식의 곱으로 인수분해되면 $f(x)$는 $E$에서 분해된다(splits)라고 한다.  

다항식 $x^{4}-5x^{2}+6\in\mathbb{Q}[x]$는 체 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})$에서 $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$으로 분해된다.  

체 $E\leq\overline{F}$가 $F$의 분해체이면 적어도 $E$에 하나의 근을 갖는 $F[x]$의 모든 기약다항식은 $E$에서 분해된다. 

증명: $E$가 $F$위의 분해체이면 $\overline{F}$의 모든 자기동형사상은 $E$의 자기동형사상을 유도한다. $E$가 $\{g_{k}(x)\}$가 적어도 하나의 근을 $E$안에 갖는 $F[x]$의 모든 기약다항식들의 집합이면, $E$는 $\{g_{k}(x)\}$의 분해체이다. 따라서 $F[x]$의 기약다항식 $f(x)$가 $E$에서 근을 하나 가지면, $\overline{F}$의 원소가 되는 $f(x)$의 모든 근은 $E$의 원소이다. 그러므로 $\overline{F}[x]$에서의 인수분해에 나타나는 모든 1차인수는 실제로 $E[x]$의 원소이므로 $f(x)$는 $E$에서 분해된다.   

체 $E$가 $E\leq\overline{F}$이고 $F$의 분해체이면, $F$를 고정하는 $E$에서 $\overline{F}$의 부분체와의 동형사상은 $E$의 자기동형사상이다. 특히 $F$의 유한확대체 $E$가 $F$위의 분해체이면 $\{E:F\}=|G(E/F)|$이다.  

증명: $F$를 고정하는 $E$에서 $\overline{F}$의 부분체와의 동형사상은 $\overline{F}$의 자기동형사상 $\tau$로 확장된다. $E$가 $F$위의 분해체이면, $\tau$를 $E$에 제한하면 $E$의 자기동형사상을 유도하고 따라서 $F$를 고정하고 $E$에서 $\overline{F}$의 부분체와의 동형사상은 $E$의 자기동형사상이다. 

$F$를 고정하는 $E$와 $\overline{F}$의 부분체와의 동형사상의 개수가 $\{E:F\}$의 정의이므로 $E$가 분해체이고, $E$가 $F$위의 유한확대체이면, $\{E:F\}=|G(E/F)|$는 분명히 성립한다.  

$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})$는 $\mathbb{Q}$위에서 $\{x^{2}-2,\,x^{2}-3\}$의 분해체이고 실제로 모든 체의 자기동형사상은 소 체(prime subfield, $\mathbb{Z}_{p}$, $\mathbb{Q}$)를 고정시키며 $$|G(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})/\mathbb{Q})|=\{\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3}):\mathbb{Q}\}=[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=4$$ 이다.   

 

$E$가 $F$의 유한확대체일 때 적당한 조건에서 다음이 성립한다. $$|G(E/F)|=\{E:F\}=[E:F]$$ 실수 $2^{\frac{1}{3}}$은 $2$의 세제곱근이다. $\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})\leq\mathbb{R}$이고 $x^{3}-2$의 실근은 1개 뿐이므로 $x^{3}-2$는 $\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})$에서 분해되지 않는다. 따라서 $x^{3}-2$는 $(\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}}))[x]$에서 1차인수 $x-2^{\frac{1}{3}}$와 기약2차인수의 곱으로 인수분해된다. 따라서 $\mathbb{Q}$위에 $x^{3}-2$의 분해체 $E$는 차수가 $2$인 $\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})$의 확대체이다. 그러면 $$[E:\mathbb{Q}]=[E:\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}})][\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}}):\mathbb{Q}]=2\cdot3=6$$ 이므로 $\mathbb{Q}$위의 $x^{3}-2$의 분해체는 차수가 $6$인 분해체이다. 다음의 복소수 $$\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)2^{\frac{1}{3}},\,\left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)2^{\frac{1}{3}}$$ 는 $x^{3}-2$의 다른 두 근이고 따라서 $x^{3}-2$의 분해체 $E$는 $\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},\,3^{\frac{1}{2}}i)$이다.       

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley