13. 갈루아 이론

13. 갈루아 이론

앞 부분의 내용 복습

1. \(F\leq E\leq\overline{F}\),\(\alpha\in E\), \(\beta\)는 \(F\)위에서 \(\alpha\)와 켤레라 하자. 즉 \(\beta\)는 \(\text{irr}(\alpha,\,\beta)\)의 근이라 하자. 그러면 \(F\)를 고정하고 \(\alpha\)를 \(\beta\)로 사상하는 켤레동형사상 \(\psi_{\alpha,\,\beta}):F(\alpha)\,\rightarrow\,F(\beta)\)가 존재한다.   2. \(F\leq E\leq\overline{F}\), \(\alpha\in E\)라 하자. 그러면 \(F\)를 고정하고 \(\alpha\)를 \(F\)에서 \(\alpha\)의 켤레 \(\beta\)로 사상하는 \(\overline{F}\)의 자기동형사상이 존재한다.   3. \(F\leq E\)이면 \(F\)를 고정하는 모든 \(E\)의 자기동형사상들은 합성함수연산에 대한 군 \(G(E/F)\)를 이룬다. \(G(E/F)\)의 임의의 부분집합 \(S\)에 대하여, \(S\)의 모든 원소들에 의해 고정되는 \(E\)의 원소들의 집합은 \(E\)의 부분체 \(E_{S}\)이고, 명백히 \(F\leq E_{G(E/F)}\)가 성립한다.   4. \(F\leq E\leq\overline{F}\)인 체 \(E\)가 \(F\)의 분해체이면 \(F\)를 고정하는 \(E\)와 \(\overline{F}\)의 부분체 위로의 동형사상은 \(E\)의 자기동형사상이다. \(E\)가 유한확대체이고 \(F\)위의 분해체이면 \(|G(E/F)|=\{E:F\}\)이다.   5. 체 \(E\)가 체 \(F\)의 유한확대체이면 \(\{E:F\}\)는 \([E:F]\)를 나누고, 이때 \(E\)가 \(F\)위에서 분리가능하면 \(\{E:F\}=[E:F]\)이다. 또한 \(E\)가 \(F\)위에서 분리가능할 필요충분조건은 모든 \(\alpha\in E\)에 대하여 \(\text{irr}(\alpha,\,F)\)의 모든 해의 중복도가 \(1\)이다.   6. 체 \(E\)가 체 \(F\)의 유한확대체이고 \(F\)위에서 분리가능한 분해체이면 \(|G(E/F)|=\{E:F\}=[E:F]\)이다.

체 \(F\)의 유한확대체 \(K\)가 \(F\)위에서 분리가능한 확대체(separable splitting)이면 \(K\)는 \(F\)의 유한 정규확대체(finite normal extension)라고 한다.    

체 \(K\)가 체 \(F\)의 유한 정규확대체이고 \(K\leq\overline{F}\)라 하자. 앞에서의 4에 의해 \(F\)를 고정하는 \(\overline{F}\)의 모든 자기동형사상은 \(K\)의 자기동형사상을 유도함을 알 수 있다. 

체 \(K\)를 체 \(F\)의 유한 정규확대체, 체 \(E\)는 \(F\leq E\leq K\leq\overline{F}\)를 만족한다고 하자. 그러면 \(K\)는 \(E\)의 유한 정규확대체이고 \(G(K/E)\)는 \(E\)를 고정시키는 \(K\)의 모든 자기동형사상들로 구성된 \(G(K/F)\)의 부분군이다. 게다가 \(G(K/F)\)의 두 개의 자기동형사상 \(\sigma\)와 \(\tau\)가 \(E\)에서 같기 위한 필요충분조건은 \(\sigma\)와 \(\tau\)가 \(G(K/F)\)에서 \(G(K/E)\)의 같은 좌잉여류에 속하는 것이다. 

증명: 체 \(K\)가 \(\{f_{i}(x)\,|\,i\in I\}\subset F[x]\)의 분해체라면 \(F[x]\subset E[x]\)이므로 \(K\)는 \(E\)위의 분해체이다. 또한 \(K\)는 \(F\)에서 분리가능하므로 \(K\)는 \(E\)에서 분리가능하고 따라서 \(K\)는 \(E\)의 정규확대체이다. 

\(\sigma,\,\tau\in G(K/E)\)가 \(G(K/E)\)의 같은 좌잉여류에 속하는 것은 \(\tau^{-1}\sigma\in G(K/E)\)와 동치이고, \(\mu\in G(K/E)\)가 존재해서 \(\sigma=\tau\mu\)인 것과 동치이다. 따라서 \(\mu\in G(K/E)\)가 존재해서 \(\sigma=\tau\mu\)이면 \(\alpha\in E\)에 대해 \(\mu(\alpha)=\alpha\)이므로 다음의 결과를 얻는다.$$\sigma(\alpha)=(\tau\circ\mu)(\alpha)=\tau(\mu(\alpha))=\tau(\alpha)$$역으로 모든 \(\alpha\in E\)에 대하여 \(\mu(\alpha)=\tau(\alpha)\)이면 \((\tau^{-1}\circ\sigma)(\alpha)=\alpha\)이므로 \(\tau^{-1}\sigma\)는 \(E\)를 고정하고 \(\mu=\tau^{-1}\sigma\in G(K/E)\)이다. 

앞의 정리는 \(G(K/F)\)에서 \(G(K/E)\)의 좌잉여류들과 \(F\)를 고정하는 \(E\)와 \(K\)의 부분체와의 동형사상 사이에 일대일 대응관계가 있음을 보여준다.

일반적으로 \(E\)는 \(F\)의 분해체가 아닐 수 있으므로 이 좌잉여류들이 \(E\)의 자기동형사상과 대응한다고 말할 수 없다. \(E\)가 \(F\)의 정규 확대체이면 이 동형사상들은 \(F\)위의 \(E\)의 자기동형사상들이다. 실제로 이 조건과 \(G(K/E)\)가 \(G(K/F)\)의 정규부분군이라는 사실은 동치이고, 서로 다른 대상에 정규(normal)(정규부분군의 의미)를 사용한 이유이다. 따라서 \(E\)가 \(F\)의 정규부분군이면 \(G(K/F)\)에서 \(G(K/E)\)의 좌잉여류는 잉여군 \(G(K/F)/G(K/E)\)의 원소로 볼 수 있고, 이 잉여군은 곧 \(F\)가 고정된 \(E\)의 자기동형사상들의 군이다. 

갈루아 이론의 중심이 되는 정리는 체 \(F\)의 유한 정규확대체가 \(K\)가 주어지면, \(G(K/F)\)의 부분군과 \(G(K/F)\)의 부분군과 \(F\leq E\leq K\)인 중간체 \(E\)와 일대일 대응관계가 있다는 것이다. 이 대응관계는 중간체 \(E\)에 부분군 \(G(K/E)\)를 \(G(K/F)\)의 부분군 \(H\)에는 고정체 \(K_{H}\)를 대응시킨다. 

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})\)이면 \(K\)는 \(\mathbb{Q}\)의 정규확대체이다. \(K\)의 \(\mathbb{Q}\)위의 기저 \(\{1,\,\sqrt{2},\,\sqrt{3},\,\sqrt{6}\}\)에 대해$$\begin{align*}\mathcal{I}:&\,항등사상\\ \sigma_{1}:&\,\sigma_{1}(\sqrt{2})=-\sqrt{2},\,\sigma_{1}(\sqrt{6})=-\sqrt{6},\,\sigma_{1}(1)=1,\,\sigma_{1}(\sqrt{3})=\sqrt{3}\\ \sigma_{2}:&\,\sigma_{2}(\sqrt{3})=-\sqrt{3},\,\sigma_{2}(\sqrt{6})=-\sqrt{6},\,\sigma_{2}(1)=1,\,\sigma_{2}(\sqrt{3})=\sqrt{3}\\ \sigma_{3}:&\,\sigma_{3}(\sqrt{2})=-\sqrt{2},\,\sigma_{3}(\sqrt{3})=-\sqrt{3},\,\sigma_{3}(1)=1,\,\sigma_{3}(\sqrt{6})=\sqrt{6}\end{align*}$$라 하자. 그러면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(왼쪽: 군 도표, 오른쪽: 체 도표)

다음은 이 군의 모든 부분군들과 이 부분군들에 의해 고정되는 중간체들이다.$$\begin{align*}\{\mathcal{I},\,\sigma_{1},\,\sigma_{2},\,\sigma_{3}\}&\,\leftrightarrow\,\mathbb{Q}\\ \{\mathcal{I},\,\sigma_{1}\}&\,\leftrightarrow\,\mathbb{Q}(\sqrt{3})\\ \{\mathcal{I},\,\sigma_{2}\}&\,\leftrightarrow\,\mathbb{Q}(\sqrt{2})\\ \{\mathcal{I},\,\sigma_{3}\}&\,\leftrightarrow\,\mathbb{Q}(\sqrt{6})\\ \{\mathcal{I}\}&\,\leftrightarrow\,\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})\end{align*}$$\(\{\mathcal{I},\,\sigma_{1},\,\sigma_{2},\,\sigma_{3}\}\)은 아벨군이고, 모든 부분군은 정규부분군이며, 모든 중간체들도 \(\mathbb{Q}\)의 정규확대체이다.  

한 부분군이 다른 부분군에 포함되면 대응하는 두 중간체 중 작은 체에 큰 부분군이 대응한다. 

체 \(K\)가 체 \(F\)의 유한 정규확대체이면 

갈루아 이론의 중심정리(main theorem for Galois theory) 체 \(K\)를 체 \(F\)의 유한 정규확대체, \(F\leq E\leq K\)인 체 \(E\)에 대해 \(\lambda[E]\)를 \(E\)를 고정하는 \(G(K/F)\)의 부분군이라 하자. 그러면 \(\lambda\)는 \(F\)와 \(K\)의 중간체들의 집합과 \(G(K/F)\)의 부분군들의 집합 사이에 일대일 대응관계를 주고, \(\lambda\)는 다음 성질을 만족한다. 

1. \(\lambda[E]=G(K/E)\)

2. \(E=K_{G(K/E)}=K_{\lambda[E]}\)

3. \(H\leq G(K/F)\)이면 \(\lambda[E_{H}]=H\) 

4. \([K:E]=|\lambda[E]|\)이고 \([E:F]=(G(K/F):\lambda[E])\)가 성립한다. (\(G(K/F):\lambda[E]\)는 군 \(G(K/F)\)에서 부분군 \(\lambda[E]\)의 잉여류들의 개수이다)  

5. \(E\)가 \(F\)의 정규 확대체이기 위한 필요충분조건은 \(\lambda[E]\)가 \(G(K/F)\)의 정규부분군이다. \(\lambda[E]\)가 \(G(K/F)\)의 정규부분군이면 \(G(E/F)\simeq G(K/F)/G(K/E)\)이다. 

6. \(G(K/F)\)의 부분군의 도표는 체 \(F\)와 체 \(K\)의 중간체의 도표를 뒤집은 것이다.  

체 \(K\)를 유한체 \(F\)위의 차수가 \(n\)인 유한확대체, \(F\)의 위수를 \(p^{r}\)이라 하자. 그러면 \(G(K/F)\)는 \(\sigma_{p^{r}}(\alpha)=\sigma_{p^{r}}\)로 정의되는 \(\sigma_{p^{r}}\)에 의해 생성되는 위수가 \(n\)인 순환군이다.  

증명: \(F\)의 위수가 \(p^{r}\), \([K:F]=n\)이므로 \(K\)의 위수는 \(p^{rn}\)이다. 그러면 \(K\)는 \(F\)위에서 \(x^{p^{rn}}-x\)의 분해체이므로 \(K\)는 \(F\)의 정규확대체이다. 

\(\alpha\in K\)일 때 \(\sigma_{p^{r}}(\alpha)=\alpha^{p^{r}}\)로 정의되는 \(\sigma_{p^{r}}\)은 \(F\)를 고정하는 \(K\)의 자기동형사상 중 하나이다. \((\sigma_{pr})^{i}(\alpha)=\alpha^{p^{ri}}\)이고 차수가 \(p^{ri}\)인 다항식은 최대 \(p^{ri}\)개의 근을 체에서 가질 수 있으므로 \(K\)의 \(p^{rn}\)개의 모든 원소를 고정시키기 위해서는 \(\sigma_{p^{r}}\)을 적어도 \(n\)번 거듭제곱해야 한다. 즉 \(G(K/F)\)에서 \(\sigma_{p^{r}}\)의 위수는 적어도 \(n\)이상이다. 그런데 \(|G(K/F)|=[K:F]=n\)이므로 \(G(K/F)\)는 \(\sigma_{p^{r}}\)로 생성되는 위수 \(n\)인 순환군이어야만 한다. 

참고자료: 

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley