13. 갈루아 이론

13. 갈루아 이론

앞 부분의 내용 복습

1. $F\leq E\leq\overline{F}$,$\alpha\in E$, $\beta$는 $F$위에서 $\alpha$와 켤레라 하자. 즉 $\beta$는 $\text{irr}(\alpha,\,\beta)$의 근이라 하자. 그러면 $F$를 고정하고 $\alpha$를 $\beta$로 사상하는 켤레동형사상 $\psi_{\alpha,\,\beta}):F(\alpha)\,\rightarrow\,F(\beta)$가 존재한다.   2. $F\leq E\leq\overline{F}$, $\alpha\in E$라 하자. 그러면 $F$를 고정하고 $\alpha$를 $F$에서 $\alpha$의 켤레 $\beta$로 사상하는 $\overline{F}$의 자기동형사상이 존재한다.   3. $F\leq E$이면 $F$를 고정하는 모든 $E$의 자기동형사상들은 합성함수연산에 대한 군 $G(E/F)$를 이룬다. $G(E/F)$의 임의의 부분집합 $S$에 대하여, $S$의 모든 원소들에 의해 고정되는 $E$의 원소들의 집합은 $E$의 부분체 $E_{S}$이고, 명백히 $F\leq E_{G(E/F)}$가 성립한다.   4. $F\leq E\leq\overline{F}$인 체 $E$가 $F$의 분해체이면 $F$를 고정하는 $E$와 $\overline{F}$의 부분체 위로의 동형사상은 $E$의 자기동형사상이다. $E$가 유한확대체이고 $F$위의 분해체이면 $|G(E/F)|=\{E:F\}$이다.   5. 체 $E$가 체 $F$의 유한확대체이면 $\{E:F\}$는 $[E:F]$를 나누고, 이때 $E$가 $F$위에서 분리가능하면 $\{E:F\}=[E:F]$이다. 또한 $E$가 $F$위에서 분리가능할 필요충분조건은 모든 $\alpha\in E$에 대하여 $\text{irr}(\alpha,\,F)$의 모든 해의 중복도가 $1$이다.   6. 체 $E$가 체 $F$의 유한확대체이고 $F$위에서 분리가능한 분해체이면 $|G(E/F)|=\{E:F\}=[E:F]$이다.

체 $F$의 유한확대체 $K$가 $F$위에서 분리가능한 확대체(separable splitting)이면 $K$는 $F$의 유한 정규확대체(finite normal extension)라고 한다.    

체 $K$가 체 $F$의 유한 정규확대체이고 $K\leq\overline{F}$라 하자. 앞에서의 4에 의해 $F$를 고정하는 $\overline{F}$의 모든 자기동형사상은 $K$의 자기동형사상을 유도함을 알 수 있다. 

체 $K$를 체 $F$의 유한 정규확대체, 체 $E$는 $F\leq E\leq K\leq\overline{F}$를 만족한다고 하자. 그러면 $K$는 $E$의 유한 정규확대체이고 $G(K/E)$는 $E$를 고정시키는 $K$의 모든 자기동형사상들로 구성된 $G(K/F)$의 부분군이다. 게다가 $G(K/F)$의 두 개의 자기동형사상 $\sigma$와 $\tau$가 $E$에서 같기 위한 필요충분조건은 $\sigma$와 $\tau$가 $G(K/F)$에서 $G(K/E)$의 같은 좌잉여류에 속하는 것이다. 

증명: 체 $K$가 $\{f_{i}(x)\,|\,i\in I\}\subset F[x]$의 분해체라면 $F[x]\subset E[x]$이므로 $K$는 $E$위의 분해체이다. 또한 $K$는 $F$에서 분리가능하므로 $K$는 $E$에서 분리가능하고 따라서 $K$는 $E$의 정규확대체이다. 

$\sigma,\,\tau\in G(K/E)$가 $G(K/E)$의 같은 좌잉여류에 속하는 것은 $\tau^{-1}\sigma\in G(K/E)$와 동치이고, $\mu\in G(K/E)$가 존재해서 $\sigma=\tau\mu$인 것과 동치이다. 따라서 $\mu\in G(K/E)$가 존재해서 $\sigma=\tau\mu$이면 $\alpha\in E$에 대해 $\mu(\alpha)=\alpha$이므로 다음의 결과를 얻는다. $$\sigma(\alpha)=(\tau\circ\mu)(\alpha)=\tau(\mu(\alpha))=\tau(\alpha)$$ 역으로 모든 $\alpha\in E$에 대하여 $\mu(\alpha)=\tau(\alpha)$이면 $(\tau^{-1}\circ\sigma)(\alpha)=\alpha$이므로 $\tau^{-1}\sigma$는 $E$를 고정하고 $\mu=\tau^{-1}\sigma\in G(K/E)$이다. 

앞의 정리는 $G(K/F)$에서 $G(K/E)$의 좌잉여류들과 $F$를 고정하는 $E$와 $K$의 부분체와의 동형사상 사이에 일대일 대응관계가 있음을 보여준다.

일반적으로 $E$는 $F$의 분해체가 아닐 수 있으므로 이 좌잉여류들이 $E$의 자기동형사상과 대응한다고 말할 수 없다. $E$가 $F$의 정규 확대체이면 이 동형사상들은 $F$위의 $E$의 자기동형사상들이다. 실제로 이 조건과 $G(K/E)$가 $G(K/F)$의 정규부분군이라는 사실은 동치이고, 서로 다른 대상에 정규(normal)(정규부분군의 의미)를 사용한 이유이다. 따라서 $E$가 $F$의 정규부분군이면 $G(K/F)$에서 $G(K/E)$의 좌잉여류는 잉여군 $G(K/F)/G(K/E)$의 원소로 볼 수 있고, 이 잉여군은 곧 $F$가 고정된 $E$의 자기동형사상들의 군이다. 

갈루아 이론의 중심이 되는 정리는 체 $F$의 유한 정규확대체가 $K$가 주어지면, $G(K/F)$의 부분군과 $G(K/F)$의 부분군과 $F\leq E\leq K$인 중간체 $E$와 일대일 대응관계가 있다는 것이다. 이 대응관계는 중간체 $E$에 부분군 $G(K/E)$를 $G(K/F)$의 부분군 $H$에는 고정체 $K_{H}$를 대응시킨다. 

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})$이면 $K$는 $\mathbb{Q}$의 정규확대체이다. $K$의 $\mathbb{Q}$위의 기저 $\{1,\,\sqrt{2},\,\sqrt{3},\,\sqrt{6}\}$에 대해 $$\begin{align*}\mathcal{I}:&\,항등사상\\ \sigma_{1}:&\,\sigma_{1}(\sqrt{2})=-\sqrt{2},\,\sigma_{1}(\sqrt{6})=-\sqrt{6},\,\sigma_{1}(1)=1,\,\sigma_{1}(\sqrt{3})=\sqrt{3}\\ \sigma_{2}:&\,\sigma_{2}(\sqrt{3})=-\sqrt{3},\,\sigma_{2}(\sqrt{6})=-\sqrt{6},\,\sigma_{2}(1)=1,\,\sigma_{2}(\sqrt{3})=\sqrt{3}\\ \sigma_{3}:&\,\sigma_{3}(\sqrt{2})=-\sqrt{2},\,\sigma_{3}(\sqrt{3})=-\sqrt{3},\,\sigma_{3}(1)=1,\,\sigma_{3}(\sqrt{6})=\sqrt{6}\end{align*}$$ 라 하자. 그러면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(왼쪽: 군 도표, 오른쪽: 체 도표)

다음은 이 군의 모든 부분군들과 이 부분군들에 의해 고정되는 중간체들이다. $$\begin{align*}\{\mathcal{I},\,\sigma_{1},\,\sigma_{2},\,\sigma_{3}\}&\,\leftrightarrow\,\mathbb{Q}\\ \{\mathcal{I},\,\sigma_{1}\}&\,\leftrightarrow\,\mathbb{Q}(\sqrt{3})\\ \{\mathcal{I},\,\sigma_{2}\}&\,\leftrightarrow\,\mathbb{Q}(\sqrt{2})\\ \{\mathcal{I},\,\sigma_{3}\}&\,\leftrightarrow\,\mathbb{Q}(\sqrt{6})\\ \{\mathcal{I}\}&\,\leftrightarrow\,\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})\end{align*}$$ $\{\mathcal{I},\,\sigma_{1},\,\sigma_{2},\,\sigma_{3}\}$은 아벨군이고, 모든 부분군은 정규부분군이며, 모든 중간체들도 $\mathbb{Q}$의 정규확대체이다.  

한 부분군이 다른 부분군에 포함되면 대응하는 두 중간체 중 작은 체에 큰 부분군이 대응한다. 

체 $K$가 체 $F$의 유한 정규확대체이면 

갈루아 이론의 중심정리(main theorem for Galois theory) 체 $K$를 체 $F$의 유한 정규확대체, $F\leq E\leq K$인 체 $E$에 대해 $\lambda[E]$를 $E$를 고정하는 $G(K/F)$의 부분군이라 하자. 그러면 $\lambda$는 $F$와 $K$의 중간체들의 집합과 $G(K/F)$의 부분군들의 집합 사이에 일대일 대응관계를 주고, $\lambda$는 다음 성질을 만족한다. 

1. $\lambda[E]=G(K/E)$

2. $E=K_{G(K/E)}=K_{\lambda[E]}$

3. $H\leq G(K/F)$이면 $\lambda[E_{H}]=H$ 

4. $[K:E]=|\lambda[E]|$이고 $[E:F]=(G(K/F):\lambda[E])$가 성립한다. ($G(K/F):\lambda[E]$는 군 $G(K/F)$에서 부분군 $\lambda[E]$의 잉여류들의 개수이다)  

5. $E$가 $F$의 정규 확대체이기 위한 필요충분조건은 $\lambda[E]$가 $G(K/F)$의 정규부분군이다. $\lambda[E]$가 $G(K/F)$의 정규부분군이면 $G(E/F)\simeq G(K/F)/G(K/E)$이다. 

6. $G(K/F)$의 부분군의 도표는 체 $F$와 체 $K$의 중간체의 도표를 뒤집은 것이다.  

체 $K$를 유한체 $F$위의 차수가 $n$인 유한확대체, $F$의 위수를 $p^{r}$이라 하자. 그러면 $G(K/F)$는 $\sigma_{p^{r}}(\alpha)=\sigma_{p^{r}}$로 정의되는 $\sigma_{p^{r}}$에 의해 생성되는 위수가 $n$인 순환군이다.  

증명: $F$의 위수가 $p^{r}$, $[K:F]=n$이므로 $K$의 위수는 $p^{rn}$이다. 그러면 $K$는 $F$위에서 $x^{p^{rn}}-x$의 분해체이므로 $K$는 $F$의 정규확대체이다. 

$\alpha\in K$일 때 $\sigma_{p^{r}}(\alpha)=\alpha^{p^{r}}$로 정의되는 $\sigma_{p^{r}}$은 $F$를 고정하는 $K$의 자기동형사상 중 하나이다. $(\sigma_{pr})^{i}(\alpha)=\alpha^{p^{ri}}$이고 차수가 $p^{ri}$인 다항식은 최대 $p^{ri}$개의 근을 체에서 가질 수 있으므로 $K$의 $p^{rn}$개의 모든 원소를 고정시키기 위해서는 $\sigma_{p^{r}}$을 적어도 $n$번 거듭제곱해야 한다. 즉 $G(K/F)$에서 $\sigma_{p^{r}}$의 위수는 적어도 $n$이상이다. 그런데 $|G(K/F)|=[K:F]=n$이므로 $G(K/F)$는 $\sigma_{p^{r}}$로 생성되는 위수 $n$인 순환군이어야만 한다. 

참고자료: 

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley