15. 5차 다항식의 비가해성

15. 5차 다항식의 비가해성

아벨(Abel)은 5차 이상의 방정식은 일반적으로 거듭제곱근으로 풀리지 않음을 증명했다.

$F$의 확대체 $K=F(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{r})$가 적당한 자연수 $n_{1},\,...,\,n_{r}$이 존재해서 $\alpha_{1}^{n_{r}}\in F$이고 $1<i\leq r$에 대해 $\alpha_{i}^{n_{i}}\in F(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{i-1})$를 만족하면 $K$는 $F$의 거듭제곱근에 의한 확대체(extension of $F$ by radicals)라고 한다. 다항식 $f(x)\in F[x]$의 분해체가 $F$의 거듭제곱에 의한 확대체에 포함되면 $f(x)$는 $F$위에서 거듭제곱에 의해 풀 수 있다(solvable by radicals over $F$)라고 한다. 

즉 $f(x)\in F[x]$가 $F$ 위에서 거듭제곱에 의해 풀 수 있다는 것은 $f(x)$의 해를 $F$의 원소들에서부터 시작해 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 적당한 $n_{i}$번째 거듭제곱근들의 연산을 유한번 해서 표현할 수 있다는 것이다. 

체의 표수가 0이면, 5차방정식은 거듭제곱에 의해 풀 수 없지는 않다. 그 예로 다항식 $x^{5}-1,\,x^{5}-2$는 $\mathbb{Q}$위에서 거듭제곱근으로 풀 수 있다. 즉 $x^{5}-1$의 분해체 $K$는 $\mathbb{Q}$위에서 $\zeta=e^{i\frac{\pi}{5}}$에 의해 생성된다. 즉 $\zeta^{5}=1$이고 $K=\mathbb{Q}(\zeta)$이다. 또한 $x^{5}-2$의 분해체도 $\mathbb{Q}$위에서 $2^{\frac{1}{5}}$와 $\zeta$로 생성되므로 $(2^{\frac{1}{5}}\zeta)^{5}=2$이고 그 분해체는 $K=\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{5}}\zeta)$이다.  

표수가 0일 때 5차방정식을 풀 수 없다는 것은 거듭제곱근에 의해 풀 수 없는(인수분해가 되지 않는) 실계수 5차 다항식이 존재한다는 것을 의미한다. 여기서 다루어지는 모든 체의 표수는 0이다. 

여기서 다음의 두 가지 사실을 보이고자 한다. 

1. $f(x)\in F[x]$가 $F$위에서 거듭제곱근에 의해 풀리면 $F$위에서 $f(x)$의 분해체의 갈루아 군이 가해군(solvable group)임을 보인다.  

2. 실수체의 부분체 $F$와 5차다항식 $f(x)\in F[x]$의 분해체의 갈루아 군이 $S_{5}$인 $F$와 $f(x)$가 존재함을 보인다. 

체 $F$에 대하여 $\text{char}F=0$ $a\in F$라 하자. 체 $K$가 $F$위에서 $x^{n}-a$의 분해체이면, $G(K/F)$는 가해군이다. 

증명: 먼저 $F$가 단위원(1)의 모든 $n$제곱근을 포함한다고 하자. 그러면 단위원의 $n$제곱근들은 $\langle F^{*},\,\cdot\rangle$의 순환부분군을 이루고, 그 생성원을 $\zeta$라 하면 단위원의 $n$제곱근들은 다음과 같다. $$1,\,\zeta,\,...,\,\zeta^{n-1}$$ $\beta\in\overline{F}$가 $(x^{n}-a)\in F[x]$의 근이면 $$\beta,\,\zeta\beta,\,...,\,\zeta^{n-1}\beta$$ 는 $x^{n}-a$의 모든 근이다. $K=F(\beta)$이므로 $G(K/F)$의 자기동형사상 $\sigma$는 $\sigma(\beta)$에 의해 결정된다. $\tau\in G(K/F)$일 때, $\sigma(\beta)=\zeta^{i}\beta$, $\tau(\beta)=\zeta^{j}\beta$이면 $\zeta^{i}\in F$이므로 다음이 성립한다. $$(\tau\circ\sigma)(\beta)=\tau(\sigma(\beta))=\tau(\zeta^{i}\beta)=\zeta^{i}\tau(\beta)=\zeta^{i}\zeta^{j}\beta$$ 같은 이유로 $(\sigma\circ\tau)(\beta)=\zeta^{j}\zeta^{i}\beta$이고 따라서 $\sigma\circ\tau=\tau\circ\sigma$이므로 $G(K/F)$는 가환군이고 따라서 가해군이다. 

$F$가 단위원의 원시 $n$제곱근을 포함하지 않는다고 하자. $\zeta$를 $\overline{F}$의 곱셈으로 단위원의 $n$제곱근들의 순환군의 생성원이고, 앞의 경우처럼 $\beta$가 $x^{n}-a$의 근이라고 하자. $\beta$와 $\zeta\beta$모두 $x^{n}-a$의 분해체 $K$의 원소이므로 $\displaystyle\zeta=\frac{\zeta\beta}{\beta}\in K$이다. $F'=F(\zeta)$라 하면 $F<F'\leq K$인데 $F'$은 $x^{n}-1$의 분해체이므로 $F'$은 $F$의 정규 확대체이다. $F'=F(\zeta)$이므로 자기동형사상 $\eta\in G(F'/F)$는 $\eta(\zeta)$에 의해 완전히 결정되고 $x^{n}-1$의 모든 근은 $\zeta$의 거듭제곱이므로 적당한 $i$가 존재해서 $\eta(\zeta)=\zeta^{i}$이다. $\mu\in G(F'/F)$에 대해 $\mu(\zeta)=\zeta^{j}$이면 $$(\mu\circ\eta)(\zeta)=\mu(\eta(\zeta))=\mu(\zeta^{i})=\{\mu(\zeta)\}^{i}=(\zeta^{j})^{i}=\zeta^{ij}$$ 이고 같은 방법으로 $(\nu\circ\mu)(\zeta)=\zeta^{ij}$이다. 따라서 $G(F'/F)$는 아벨군이고 갈루아 이론의 주 정리에 의해 $$\{1\}\leq G(K/F')\leq G(K/F)$$ ($1$은 항등사상)는 정규열이므로 군의 부분정규열이다. 첫 번째 경우의 증명에 의해 $G(K/F')$은 아벨군이고 갈루아 이론으로부터 $G(K/F)/G(K/F')$은 아벨군 $G(F'/F)$와 동형이다. 군의 부분군들의 정규열이 가환 잉여군을 가지면 이 열의 모든 세분(refinement)도 가환 상군을 갖는다. 따라서 $G(K/F)$의 조성열은 반드시 가환 잉여군을 가지므로 $G(K/F)$는 가해군이다. 

체 $F$에 대하여 $\text{char}F=0$, $F\leq E\leq K\leq\overline{F}$, $E$는 $F$의 정규확대체, $K$는 $F$의 거듭제곱근에 의한 확대체라 하자. 그러면 $G(E/F)$는 가해군이다. 

증명: 생략

체 $F$위에서 $f(x)\in F[x]$의 분해체 $E$가 $S_{5}$와 동형인 갈루아 군을 갖는 적당한 실수체의 부분체 $F$와 $f(x)$가 존재함을 보이면 된다. 

$\mathbb{Q}$위에서 초월적인 원소(초월수) $y_{1}\in\mathbb{R}$을 고르고 $\mathbb{Q}(y_{1})$위에서 초월적인 원소 $y_{2}\in\mathbb{R}$를 고르고, $\mathbb{Q}(y_{1},\,...,\,y_{4})$위에서 초월적인 원소 $y_{5}\in\mathbb{R}$를 잡을 때까지 계속한다. 원소들을 세어 봄으로서 이러한 초월수들이 존재함을 보일 수 있다. 이런 방법으로 고른 초월수들은 $\mathbb{Q}$위에서 독립적인 초월 원소들이 된다. $E=\mathbb{Q}(y_{1},\,...,\,y_{5})$이고 $$f(x)=\prod_{i=1}^{5}(x-y_{i})=(x-y_{1})(x-y_{2})\cdots(x-y_{5})$$ 라 하자. 따라서 $f(x)\in E[x]$이고 부호를 무시하면 $f(x)$의 계수들은 $y_{i}$에 대한 기본 대칭함수이다. 즉 $$\begin{align*}s_{1}&=y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}\\s_{2}&=y_{1}y_{2}+y_{1}y_{3}+y_{1}y_{4}+y_{1}y_{5}+y_{2}y_{3}\\&\,\,\,+y_{2}y_{4}+y_{2}y_{5}+y_{3}y_{4}+y_{3}y_{5}+y_{4}y_{5}\\ \vdots&\\s_{5}&=y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}y_{5}\end{align*}$$ $f(x)$에서 $x^{i}$의 계수는 $\pm s_{5-i}$이다. $F=\mathbb{Q}(s_{1},\,s_{2},\,\cdots,\,s_{5})$라 하면 $f(x)\in F[x]$이다(아래그림 참고).

그러면 $E$는 $F$위에서 $f(x)$의 분해체이고 $y_{i}$는 $\mathbb{Q}$위에서 서로 독립적이므로 각 $\sigma\in S_{5}$에 대해 $\overline{\sigma}$를 $a\in\mathbb{Q}$이면 $\overline{\sigma}(a)=a$, $\overline{\sigma}(y_{i})=y_{\sigma(i)}$로 정의하면 $\overline{\sigma}$는 $E$의 자기동형사상으로 확장된다. $\displaystyle\prod_{i=1}^{5}{(x-y_{i})}$는 $\displaystyle\prod_{i=1}^{5}{(x-y_{\sigma(i)})}$와 같은 다항식이므로 모든 $i$에 대해 $\overline{\sigma}(s_{i})=s_{i}$이고 $\overline{\sigma}$는 $F$의 모든 원소를 고정하고 $\overline{\sigma}\in G(E/F)$이다. $S_{5}$는 위수가 $5!$이므로 $$|G(E/F)|\geq5!$$ 이고 체 $F$위에서 차수가 5인 다항식의 분해체는 $F$위에서의 위수가 $5!$이하이므로 $$|G(E/F)|\leq5!$$ 이다. 따라서 $|G(E/F)|=5!$이고 자기동형사상 $\overline{\sigma}$는 $G(E/F)$의 모든 원소이다. 그러므로 $G(E/F)\simeq S_{5}$이고 $G(E/F)$는 가해군이 아니다. 

이 결과를 다음과 같이 정리할 수 있다. 

$y_{1},\,...,\,y_{5}$가 $\mathbb{Q}$위에서 독립적인 초월수이면 다항식 $$f(x)=\prod_{i=1}^{5}{(x-y_{i})}$$ 는 $F=\mathbb{Q}(s_{1},\,...,\,s_{5})$위에서 거듭제곱에 의해 풀리지 않는다. 여기서 $s_{i}$는 $y_{1},\,...,\,y_{5}$에 관한 기본 대칭함수이다. 

이 논법을 일반화하면 5차 이상의 다항식은 일반적으로 거듭제곱에 의해 풀리지 않는다고 할 수 있다. 

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley