15. 5차 다항식의 비가해성

15. 5차 다항식의 비가해성

아벨(Abel)은 5차 이상의 방정식은 일반적으로 거듭제곱근으로 풀리지 않음을 증명했다.

\(F\)의 확대체 \(K=F(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{r})\)가 적당한 자연수 \(n_{1},\,...,\,n_{r}\)이 존재해서 \(\alpha_{1}^{n_{r}}\in F\)이고 \(1<i\leq r\)에 대해 \(\alpha_{i}^{n_{i}}\in F(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{i-1})\)를 만족하면 \(K\)는 \(F\)의 거듭제곱근에 의한 확대체(extension of \(F\) by radicals)라고 한다. 다항식 \(f(x)\in F[x]\)의 분해체가 \(F\)의 거듭제곱에 의한 확대체에 포함되면 \(f(x)\)는 \(F\)위에서 거듭제곱에 의해 풀 수 있다(solvable by radicals over \(F\))라고 한다. 

즉 \(f(x)\in F[x]\)가 \(F\) 위에서 거듭제곱에 의해 풀 수 있다는 것은 \(f(x)\)의 해를 \(F\)의 원소들에서부터 시작해 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 적당한 \(n_{i}\)번째 거듭제곱근들의 연산을 유한번 해서 표현할 수 있다는 것이다. 

체의 표수가 0이면, 5차방정식은 거듭제곱에 의해 풀 수 없지는 않다. 그 예로 다항식 \(x^{5}-1,\,x^{5}-2\)는 \(\mathbb{Q}\)위에서 거듭제곱근으로 풀 수 있다. 즉 \(x^{5}-1\)의 분해체 \(K\)는 \(\mathbb{Q}\)위에서 \(\zeta=e^{i\frac{\pi}{5}}\)에 의해 생성된다. 즉 \(\zeta^{5}=1\)이고 \(K=\mathbb{Q}(\zeta)\)이다. 또한 \(x^{5}-2\)의 분해체도 \(\mathbb{Q}\)위에서 \(2^{\frac{1}{5}}\)와 \(\zeta\)로 생성되므로 \((2^{\frac{1}{5}}\zeta)^{5}=2\)이고 그 분해체는 \(K=\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{5}}\zeta)\)이다.  

표수가 0일 때 5차방정식을 풀 수 없다는 것은 거듭제곱근에 의해 풀 수 없는(인수분해가 되지 않는) 실계수 5차 다항식이 존재한다는 것을 의미한다. 여기서 다루어지는 모든 체의 표수는 0이다. 

여기서 다음의 두 가지 사실을 보이고자 한다. 

1. \(f(x)\in F[x]\)가 \(F\)위에서 거듭제곱근에 의해 풀리면 \(F\)위에서 \(f(x)\)의 분해체의 갈루아 군이 가해군(solvable group)임을 보인다.  

2. 실수체의 부분체 \(F\)와 5차다항식 \(f(x)\in F[x]\)의 분해체의 갈루아 군이 \(S_{5}\)인 \(F\)와 \(f(x)\)가 존재함을 보인다. 

체 \(F\)에 대하여 \(\text{char}F=0\) \(a\in F\)라 하자. 체 \(K\)가 \(F\)위에서 \(x^{n}-a\)의 분해체이면, \(G(K/F)\)는 가해군이다. 

증명: 먼저 \(F\)가 단위원(1)의 모든 \(n\)제곱근을 포함한다고 하자. 그러면 단위원의 \(n\)제곱근들은 \(\langle F^{*},\,\cdot\rangle\)의 순환부분군을 이루고, 그 생성원을 \(\zeta\)라 하면 단위원의 \(n\)제곱근들은 다음과 같다.$$1,\,\zeta,\,...,\,\zeta^{n-1}$$\(\beta\in\overline{F}\)가 \((x^{n}-a)\in F[x]\)의 근이면$$\beta,\,\zeta\beta,\,...,\,\zeta^{n-1}\beta$$는 \(x^{n}-a\)의 모든 근이다. \(K=F(\beta)\)이므로 \(G(K/F)\)의 자기동형사상 \(\sigma\)는 \(\sigma(\beta)\)에 의해 결정된다. \(\tau\in G(K/F)\)일 때, \(\sigma(\beta)=\zeta^{i}\beta\), \(\tau(\beta)=\zeta^{j}\beta\)이면 \(\zeta^{i}\in F\)이므로 다음이 성립한다.$$(\tau\circ\sigma)(\beta)=\tau(\sigma(\beta))=\tau(\zeta^{i}\beta)=\zeta^{i}\tau(\beta)=\zeta^{i}\zeta^{j}\beta$$같은 이유로 \((\sigma\circ\tau)(\beta)=\zeta^{j}\zeta^{i}\beta\)이고 따라서 \(\sigma\circ\tau=\tau\circ\sigma\)이므로 \(G(K/F)\)는 가환군이고 따라서 가해군이다. 

\(F\)가 단위원의 원시 \(n\)제곱근을 포함하지 않는다고 하자. \(\zeta\)를 \(\overline{F}\)의 곱셈으로 단위원의 \(n\)제곱근들의 순환군의 생성원이고, 앞의 경우처럼 \(\beta\)가 \(x^{n}-a\)의 근이라고 하자. \(\beta\)와 \(\zeta\beta\)모두 \(x^{n}-a\)의 분해체 \(K\)의 원소이므로 \(\displaystyle\zeta=\frac{\zeta\beta}{\beta}\in K\)이다. \(F'=F(\zeta)\)라 하면 \(F<F'\leq K\)인데 \(F'\)은 \(x^{n}-1\)의 분해체이므로 \(F'\)은 \(F\)의 정규 확대체이다. \(F'=F(\zeta)\)이므로 자기동형사상 \(\eta\in G(F'/F)\)는 \(\eta(\zeta)\)에 의해 완전히 결정되고 \(x^{n}-1\)의 모든 근은 \(\zeta\)의 거듭제곱이므로 적당한 \(i\)가 존재해서 \(\eta(\zeta)=\zeta^{i}\)이다. \(\mu\in G(F'/F)\)에 대해 \(\mu(\zeta)=\zeta^{j}\)이면$$(\mu\circ\eta)(\zeta)=\mu(\eta(\zeta))=\mu(\zeta^{i})=\{\mu(\zeta)\}^{i}=(\zeta^{j})^{i}=\zeta^{ij}$$이고 같은 방법으로 \((\nu\circ\mu)(\zeta)=\zeta^{ij}\)이다. 따라서 \(G(F'/F)\)는 아벨군이고 갈루아 이론의 주 정리에 의해$$\{1\}\leq G(K/F')\leq G(K/F)$$(\(1\)은 항등사상)는 정규열이므로 군의 부분정규열이다. 첫 번째 경우의 증명에 의해 \(G(K/F')\)은 아벨군이고 갈루아 이론으로부터 \(G(K/F)/G(K/F')\)은 아벨군 \(G(F'/F)\)와 동형이다. 군의 부분군들의 정규열이 가환 잉여군을 가지면 이 열의 모든 세분(refinement)도 가환 상군을 갖는다. 따라서 \(G(K/F)\)의 조성열은 반드시 가환 잉여군을 가지므로 \(G(K/F)\)는 가해군이다. 

체 \(F\)에 대하여 \(\text{char}F=0\), \(F\leq E\leq K\leq\overline{F}\), \(E\)는 \(F\)의 정규확대체, \(K\)는 \(F\)의 거듭제곱근에 의한 확대체라 하자. 그러면 \(G(E/F)\)는 가해군이다. 

증명: 생략

체 \(F\)위에서 \(f(x)\in F[x]\)의 분해체 \(E\)가 \(S_{5}\)와 동형인 갈루아 군을 갖는 적당한 실수체의 부분체 \(F\)와 \(f(x)\)가 존재함을 보이면 된다. 

\(\mathbb{Q}\)위에서 초월적인 원소(초월수) \(y_{1}\in\mathbb{R}\)을 고르고 \(\mathbb{Q}(y_{1})\)위에서 초월적인 원소 \(y_{2}\in\mathbb{R}\)를 고르고, \(\mathbb{Q}(y_{1},\,...,\,y_{4})\)위에서 초월적인 원소 \(y_{5}\in\mathbb{R}\)를 잡을 때까지 계속한다. 원소들을 세어 봄으로서 이러한 초월수들이 존재함을 보일 수 있다. 이런 방법으로 고른 초월수들은 \(\mathbb{Q}\)위에서 독립적인 초월 원소들이 된다. \(E=\mathbb{Q}(y_{1},\,...,\,y_{5})\)이고$$f(x)=\prod_{i=1}^{5}(x-y_{i})=(x-y_{1})(x-y_{2})\cdots(x-y_{5})$$라 하자. 따라서 \(f(x)\in E[x]\)이고 부호를 무시하면 \(f(x)\)의 계수들은 \(y_{i}\)에 대한 기본 대칭함수이다. 즉$$\begin{align*}s_{1}&=y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}\\s_{2}&=y_{1}y_{2}+y_{1}y_{3}+y_{1}y_{4}+y_{1}y_{5}+y_{2}y_{3}\\&\,\,\,+y_{2}y_{4}+y_{2}y_{5}+y_{3}y_{4}+y_{3}y_{5}+y_{4}y_{5}\\ \vdots&\\s_{5}&=y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}y_{5}\end{align*}$$\(f(x)\)에서 \(x^{i}\)의 계수는 \(\pm s_{5-i}\)이다. \(F=\mathbb{Q}(s_{1},\,s_{2},\,\cdots,\,s_{5})\)라 하면 \(f(x)\in F[x]\)이다(아래그림 참고).

그러면 \(E\)는 \(F\)위에서 \(f(x)\)의 분해체이고 \(y_{i}\)는 \(\mathbb{Q}\)위에서 서로 독립적이므로 각 \(\sigma\in S_{5}\)에 대해 \(\overline{\sigma}\)를 \(a\in\mathbb{Q}\)이면 \(\overline{\sigma}(a)=a\), \(\overline{\sigma}(y_{i})=y_{\sigma(i)}\)로 정의하면 \(\overline{\sigma}\)는 \(E\)의 자기동형사상으로 확장된다. \(\displaystyle\prod_{i=1}^{5}{(x-y_{i})}\)는 \(\displaystyle\prod_{i=1}^{5}{(x-y_{\sigma(i)})}\)와 같은 다항식이므로 모든 \(i\)에 대해 \(\overline{\sigma}(s_{i})=s_{i}\)이고 \(\overline{\sigma}\)는 \(F\)의 모든 원소를 고정하고 \(\overline{\sigma}\in G(E/F)\)이다. \(S_{5}\)는 위수가 \(5!\)이므로$$|G(E/F)|\geq5!$$이고 체 \(F\)위에서 차수가 5인 다항식의 분해체는 \(F\)위에서의 위수가 \(5!\)이하이므로$$|G(E/F)|\leq5!$$이다. 따라서 \(|G(E/F)|=5!\)이고 자기동형사상 \(\overline{\sigma}\)는 \(G(E/F)\)의 모든 원소이다. 그러므로 \(G(E/F)\simeq S_{5}\)이고 \(G(E/F)\)는 가해군이 아니다. 

이 결과를 다음과 같이 정리할 수 있다. 

\(y_{1},\,...,\,y_{5}\)가 \(\mathbb{Q}\)위에서 독립적인 초월수이면 다항식$$f(x)=\prod_{i=1}^{5}{(x-y_{i})}$$는 \(F=\mathbb{Q}(s_{1},\,...,\,s_{5})\)위에서 거듭제곱에 의해 풀리지 않는다. 여기서 \(s_{i}\)는 \(y_{1},\,...,\,y_{5}\)에 관한 기본 대칭함수이다. 

이 논법을 일반화하면 5차 이상의 다항식은 일반적으로 거듭제곱에 의해 풀리지 않는다고 할 수 있다. 

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley