14. 가해군

14. 가해군

군 \(G\)의 부분군 \(H_{0},\,H_{1},\,...,\,H_{n}\)이

(i) \(H_{i}<\leq H_{i+1}\)이고 \(H_{i}\)가 \(H_{i+1}\)의 정규부분군, \(H_{0}=\{e\}\), \(H_{n}=G\)이면 \(H_{0},\,H_{1},\,...,\,H_{n}\)을 군 \(G\)의 부분정규열(subnormal series)이라고 한다. 

(ii) \(H_{i}<H_{i+1}\)이고 \(H_{0}=\{e\}\), \(H_{n}=G\)이면 \(H_{0},\,H_{1},\,...,\,H_{n}\)을 군 \(G\)의 정규열(normal series)이라고 한다. 

정규열은 부분정규열이나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 

덧셈군 \(\langle\mathbb{Z},\,+\rangle\)에서의 정규열의 두 예는 다음과 같다.$$\{0\}<8\mathbb{Z}<4\mathbb{Z}<\mathbb{Z}\\ \{0\}<9\mathbb{Z}<\mathbb{Z}$$부분정규열(정규열) \(\{K_{j}\}\)가 군 \(G\)의 부분정규열(정규열) \(\{H_{i}\}\)에 대하여 \(\{H_{i}\}\subset\{K_{j}\}\) 즉 \(H_{j}\)가 \(K_{j}\)중 하나이면 \(\{H_{i}\}\)의 세분(refinement)이라고 한다.  

동일한 군 \(G\)의 두 부분정규열(정규열) \(\{H_{i}\}\)와 \(\{K_{j}\}\)에서 대응되는 잉여군들이 동형이 되게 하는 잉여군들의 집합 \(\{H_{i+1}/H_{i}\}\)와 \(\{K_{j+1}/K_{j}\}\)들 사이에 일대일 대응이 존재하면 두 부분정규열(정규열) \(\{H_{i}\}\)와 \(\{K_{j}\}\)는 동형(isomorphic)이라고 한다. 

군 \(G\)의 부분정규열 \(\{H_{i}\}\)에 대해 모든 잉여군 \(H_{i+1}/H_{i}\)가 단순군이면 조성열(composition series)이라고 하고, \(\{H_{i}\}\)가 정규열이고 잉여군 \(H_{i+1}/H_{i}\)가 단순군이면 주 조성열(principal composition series)이라고 한다. 

또한 군 \(G\)에 대하여 조성열 \(\{H_{i}\}\)가 존재해서 모든 잉여군 \(H_{i+1}/H_{i}\)가 가환이면 \(G\)를 가해군(solvable group)이라고 한다.          

\(S_{n}\)을 \(A=\{1,\,2,\,...,\,n\}\)일 때 \(A\)에서 \(A\)로의 치환 전체의 집합이라고 했었다. 이때 \(S_{n}\)의 우치환(짝수개의 호환들의 곱으로 구성된 치환)으로 구성된 \(S_{n}\)의 부분군을 교대군(alternating group)이라 하고 \(A_{n}\)으로 나타낸다. 

\(|S_{n}|=n!\)이므로 \(\displaystyle|A_{n}|=\frac{n!}{2}\)이다. 

\(n\geq5\)에 대하여 \(A_{n}\)은 단순군임이 알려져 있다. 그러므로 \(n\geq5\)에 대하여 열 \(\{1\}<A_{n}<S_{n}\)(여기서 \(1\)은 항등치환이다)은 \(S_{n}\)의 조성열이고 또한 주 조성열이다. 그 이유는 \(A_{n}/\{1\}\)는 \(A_{n}\)과 동형인데 \(n\geq5\)에 대하여 \(A_{n}\)은 단순군이며 \(S_{n}/A_{n}\)은 \(\mathbb{Z}_{2}\)와 동형인데 \(\mathbb{Z}_{2}\)도 단순군이기 때문이다. 

*\(H_{i+1}/H_{i}\)가 단순군일 필요충분조건은 \(H_{i}\)가 \(H_{i+1}\)의 극대 정규부분군이다.

군 \(S_{3}\)은 가해군인데 그 이유는 조성열 \(\{1\}<A_{3}<S_{3}\)이 가환군 \(\mathbb{Z}_{3}\)과 \(\mathbb{Z}_{2}\)와 동형인 잉여군을 갖기 때문이다. 반면에 군 \(S_{5}\)는 가해군이 아닌데 그 이유는 \(A_{5}\)가 단순군이므로 \(\{1\}<A_{5}<S_{5}\)가 조성열이고 \(A_{5}\)와 동형인 \(A_{5}/\{1\}\)은 가환이 아니기 때문이다. 

이 사실은 5차 이상인 다항식을 제곱근을 이용해 근을 구할 수 없으나, 4차 이하의 다항식은 근을 구할 수 있다는 사실과 밀접한 관계가 있다.       

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley