14. 가해군

14. 가해군

군 $G$의 부분군 $H_{0},\,H_{1},\,...,\,H_{n}$이

(i) $H_{i}<\leq H_{i+1}$이고 $H_{i}$가 $H_{i+1}$의 정규부분군, $H_{0}=\{e\}$, $H_{n}=G$이면 $H_{0},\,H_{1},\,...,\,H_{n}$을 군 $G$의 부분정규열(subnormal series)이라고 한다. 

(ii) $H_{i}<H_{i+1}$이고 $H_{0}=\{e\}$, $H_{n}=G$이면 $H_{0},\,H_{1},\,...,\,H_{n}$을 군 $G$의 정규열(normal series)이라고 한다. 

정규열은 부분정규열이나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 

덧셈군 $\langle\mathbb{Z},\,+\rangle$에서의 정규열의 두 예는 다음과 같다. $$\{0\}<8\mathbb{Z}<4\mathbb{Z}<\mathbb{Z}\\ \{0\}<9\mathbb{Z}<\mathbb{Z}$$ 부분정규열(정규열) $\{K_{j}\}$가 군 $G$의 부분정규열(정규열) $\{H_{i}\}$에 대하여 $\{H_{i}\}\subset\{K_{j}\}$ 즉 $H_{j}$가 $K_{j}$중 하나이면 $\{H_{i}\}$의 세분(refinement)이라고 한다.  

동일한 군 $G$의 두 부분정규열(정규열) $\{H_{i}\}$와 $\{K_{j}\}$에서 대응되는 잉여군들이 동형이 되게 하는 잉여군들의 집합 $\{H_{i+1}/H_{i}\}$와 $\{K_{j+1}/K_{j}\}$들 사이에 일대일 대응이 존재하면 두 부분정규열(정규열) $\{H_{i}\}$와 $\{K_{j}\}$는 동형(isomorphic)이라고 한다. 

군 $G$의 부분정규열 $\{H_{i}\}$에 대해 모든 잉여군 $H_{i+1}/H_{i}$가 단순군이면 조성열(composition series)이라고 하고, $\{H_{i}\}$가 정규열이고 잉여군 $H_{i+1}/H_{i}$가 단순군이면 주 조성열(principal composition series)이라고 한다. 

또한 군 $G$에 대하여 조성열 $\{H_{i}\}$가 존재해서 모든 잉여군 $H_{i+1}/H_{i}$가 가환이면 $G$를 가해군(solvable group)이라고 한다.          

$S_{n}$을 $A=\{1,\,2,\,...,\,n\}$일 때 $A$에서 $A$로의 치환 전체의 집합이라고 했었다. 이때 $S_{n}$의 우치환(짝수개의 호환들의 곱으로 구성된 치환)으로 구성된 $S_{n}$의 부분군을 교대군(alternating group)이라 하고 $A_{n}$으로 나타낸다. 

$|S_{n}|=n!$이므로 $\displaystyle|A_{n}|=\frac{n!}{2}$이다. 

$n\geq5$에 대하여 $A_{n}$은 단순군임이 알려져 있다. 그러므로 $n\geq5$에 대하여 열 $\{1\}<A_{n}<S_{n}$(여기서 $1$은 항등치환이다)은 $S_{n}$의 조성열이고 또한 주 조성열이다. 그 이유는 $A_{n}/\{1\}$는 $A_{n}$과 동형인데 $n\geq5$에 대하여 $A_{n}$은 단순군이며 $S_{n}/A_{n}$은 $\mathbb{Z}_{2}$와 동형인데 $\mathbb{Z}_{2}$도 단순군이기 때문이다. 

*$H_{i+1}/H_{i}$가 단순군일 필요충분조건은 $H_{i}$가 $H_{i+1}$의 극대 정규부분군이다.

군 $S_{3}$은 가해군인데 그 이유는 조성열 $\{1\}<A_{3}<S_{3}$이 가환군 $\mathbb{Z}_{3}$과 $\mathbb{Z}_{2}$와 동형인 잉여군을 갖기 때문이다. 반면에 군 $S_{5}$는 가해군이 아닌데 그 이유는 $A_{5}$가 단순군이므로 $\{1\}<A_{5}<S_{5}$가 조성열이고 $A_{5}$와 동형인 $A_{5}/\{1\}$은 가환이 아니기 때문이다. 

이 사실은 5차 이상인 다항식을 제곱근을 이용해 근을 구할 수 없으나, 4차 이하의 다항식은 근을 구할 수 있다는 사실과 밀접한 관계가 있다.       

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley