12. 분리 확대체

12. 분리 확대체

여기서 체 \(F\)의 대수적 닫힘 \(\overline{F}\)를 고정해 \(F\)의 모든 대수적 확대체는 \(\overline{F}\)의 부분체라고 가정한다. 

체 \(F\)에 대하여 \(f(x)\in F[x]\)라 하자. \(f(\alpha)=0\)인 \(\alpha\in\overline{F}\)에 대하여 \(\overline{F}[x]\)에서 \((x-\alpha)^{\nu}\)가 \(f(x)\)가 되는 가장 큰 정수 \(\nu\)를 근 \(\alpha\)의 중복도(multiplicity)라고 하고, \(\alpha\)를 중복도가 \(\nu\)인 \(f(x)\)의 근이라고 한다.  

\(f(x)\in F[x]\)를 기약다항식이라 하자. 그러면 \(\overline{F}\)에서 \(f(x)\)의 모든 근들의 중복도는 같다.  

증명: \(\alpha,\,\beta\in\overline{F}\)를 \(f(x)\)의 두 근이라 하자. 그러면 켤레동형사상 \(\psi_{\alpha,\,\beta}:F(\alpha)\,\rightarrow\,F(\beta)\)가 존재하고 \(\psi_{\alpha,\,\beta}\)는 동형사상 \(\tau:\overline{F}\,\rightarrow\,\overline{F}\)로 확장된다. \(\tau_{x}(x)=x\)라 하면 \(\tau\)는 동형사상 \(\tau_{x}:\overline{F}[x]\,\rightarrow\,\overline{F}[x]\)로 확장되고 \(f(x)\in F[x]\), \(\psi_{\alpha,\,\beta}\)는 \(F\)의 원소를 고정하므로 \(\tau_{x}(f(x))=f(x)\)이다.$$\tau_{x}((x-\alpha)^{\nu})=(x-\beta)^{\nu}$$이므로 이 식으로부터 \(\beta\)의 중복도는 \(\alpha\)의 중복도보다 크거나 같고, \(\alpha\)와 \(\beta\)를 서로 바꾸어 대입하면 \(\alpha\)의 중복도는 \(\beta\)의 중복도보다 크거나 같으므로 \(\alpha\)와 \(\beta\)의 중복도는 같다.  

\(f(x)\)가 \(F[x]\)의 기약다항식이면 \(\overline{F}[x]\)에서 \(f(x)\)는 다음과 같이 인수분해된다.$$a\prod_{i}(x-\alpha_{i})^{\nu}\,(a\in F,\,\alpha_{i}\in\overline{F})$$증명: 앞의 정리로부터 성립한다.

체 \(E\)가 \(F\)의 유한확대체이면 \(\{E:F\}\)는 \([E:F]\)를 나눈다.   

증명: \(E\)가 \(F\)위의 유한확대체이면 적당한 \(\alpha_{i}\in E\)가 존재해서 \(E=F(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})\)이다. \(\text{irr}(\alpha_{i},\,F(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{i-1}))\)가 \(\alpha_{i}\)를 포함해 중복도가 \(\nu_{i}\)인 \(n_{i}\)개의 서로 다른 근을 가진다고 하자. 그러면$$[F(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{1}):F(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{i-1})]=n_{i}\nu_{i}=\{F(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{i})\}\nu_{i}$$이고$$[E:F]=\prod_{i}{n_{i}\nu_{i}},\,\{E:F\}=\prod_{i}{n_{i}}$$이므로 \(\{E:F\}\)는 \([E:F]\)를 나눈다. 

\(E\)를 체 \(F\)의 유한확대체라고 하자. \(\{E:F\}=[E:F]\)이면 \(E\)는 \(F\)의 분리가능한 확대체(separable extension)라고 한다. \(\alpha\in\overline{F}\)일 때 \(F(\alpha)\)가 \(F\)의 분리가능한 확대체이면 \(\alpha\)는 \(F\)위에서 분리가능(separable)이라고 한다. 기약다항식 \(f(x)\in\overline{F}\)의 \(\overline{F}\)에서의 모든 근이 \(F\)위에서 분리가능하면 \(f(x)\)는 \(F\)위에서 분리가능하다고 한다.  

\(E=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\,\sqrt{3})\)일 때 \(\{E:\mathbb{Q}\}=4=[E:\mathbb{Q}]\)이므로 \(E\)는 분리가능한 확대체이다.  

\(\{F(\alpha):F\}\)는 \(\text{irr}(\alpha,\,F)\)의 서로 다른 근의 개수이고, \(\text{irr}(\alpha,\,F)\)에서 \(\alpha\)의 중복도는 \(F\)위에서 \(\alpha\)와 켤레인 모든 원소의 중복도와 같으므로 \(\alpha\)가 분리가능하다는 것은 \(\text{irr}(\alpha,\,F)\)의 근의 중복도가 1이라는 것과 동치이고 이 사실로부터 기약다항식 \(f(x)\in F[x]\)가 \(F\)위에서 분리가능하다는 것과 \(f(x)\)의 모든 근의 중복도가 1이라는 것이 동치라는 결과를 얻는다.  

\(K\)를 체 \(E\)의 유한확대체, \(E\)를 체 \(F\)의 유한확대체라고 하자. 즉 \(F\leq E\leq K\). \(K\)가 \(F\)의 분리가능한 확대체일 필요충분조건은 \(K\)가 \(E\)의 분리가능한 확대체이고 \(E\)가 \(F\)의 분리가능한 확대체이다. 

증명: \(F\leq E\leq K\)이면$$[K:F]=[K:E][E:F],\,\{K:F\}=\{K:E\}\{E:F\}$$가 성립하므로 \(K\)가 \(F\)의 분리가능한 확대체이면 \([K:F]=\{K:F\}\)이고 지표는 차수의 약수이므로 \([K:E]=\{K:E\}\), \([E:F]=\{E:F\}\)가 성립해야 한다. 따라서 \(K\)가 \(F\)의 분리가능한 확대체이면 \(K\)는 \(E\)의 분리가능한 확대체이고 \(E\)는 \(F\)의 분리가능한 확대체이다. 또한 \([K:E]=\{K:E\}\), \([E:F]=\{E:F\}\)이면,$$[K:F]=[K:E][E:F],\,\{K:F\}=\{K:E\}\{E:F\}$$이므로 역도 성립한다. 

\(E\)를 체 \(F\)의 유한확대체라고 하자. \(E\)가 \(F\)의 분리가능한 확대체일 필요충분조건은 \(E\)의 모든 원소가 \(F\)위에서 분리가능하다는 것이다. 

증명:

(\(\Rightarrow\)): \(E\)가 \(F\)위에서 분리가능하다고 하고 \(\alpha\in E\)라 하자. 그러면 \(F\leq F(\alpha)\leq E\)이고 앞의 정리에 의해 \(F(\alpha)\)는 \(F\)위에서 분리가능하다.  

(\(\Leftarrow\)): 임의의 \(\alpha\in F\)가 \(F\)위에서 분리가능하다고 하자. \(E\)는 \(F\)의 유한확대체이므로 \(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,...,\,\alpha_{n}\in E\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$F\leq F(\alpha_{1})\leq F(\alpha_{1},\,\alpha_{2})\leq\cdots\leq E=F(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})$$\(\alpha_{i}\)가 \(F\)위에서 분리가능하고$$q(x)=\text{irr}(\alpha_{i},\,F(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{i-1}))$$가 \(\text{irr}(\alpha_{i},\,F)\)를 나누므로 \(\alpha_{i}\)는 중복도가 1인 \(q(x)\)의 근이 되어 \(F(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{i-1})\)위에서 분리가능하다. 따라서 \(F(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{i})\)는 \(F(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{i-1})\)위에서 분리가능하고 앞의 정리를 귀납법을 적용하면 \(E\)는 \(F\)위에서 분리가능하다는 결과를 얻는다. 

\(E\)를 체 \(F\)의 분리가능한 유한확대체라고 하자. 그러면 \(\alpha\in E\)가 존재해서 \(E=F(\alpha)\)이고 이것은 분리가능한 유한확대체는 단순확대체라는 것을 뜻한다. 이때 이러한 \(\alpha\)를 원시원소(primitive element)라고 하고, 이 사실로부터 표수가 0인 체의 유한확대체는 단순확대체라는 사실을 알 수 있다.

참고자료: 

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison-Wesley