6. 기하 작도

6. 기하 작도

$\alpha\in\mathbb{R}$이라 하자. 주어진 단위 길이($1$)를 자와 컴파스만 유한번 사용하여 길이가 $|\alpha|$인 선분을 작도할 수 있으면, $\alpha$를 작도가능한 수(constructible number)라고 한다.

$\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}$를 작도가능한 수라고 하자. 그러면 $\alpha+\beta$, $\alpha-\beta$, $\alpha\beta$, $\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}(\beta\neq0)$는 작도가능한 수이다.(증명은 아래그림 참고)

위의 결과로부터 작도가능한 실수 전체의 집합이 $\mathbb{R}$의 부분체가 됨을 알 수 있다.

작도가능한 실수들의 체 $F$는 유리수 $\mathbb{Q}$에서 시작해 유한번 양수들의 제곱근을 연속적으로 취하고 유한번의 체의 연산으로 얻을 수 있는 모든 실수로 구성된다.(아래그림 참고)

($\overline{\text{OP}}=1$, $\overline{\text{OA}}=\alpha$, $\overline{\text{OQ}}:\overline{\text{OA}}=\overline{\text{OP}}:\overline{\text{OQ}}$이므로 $\overline{\text{OQ}}^{2}=\overline{\text{OA}}\cdot\overline{\text{OP}}=\alpha$이고 $\overline{\text{OQ}}=\sqrt{\alpha}$)

$\gamma\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}$를 작도가능한 수라고 하자. $\alpha_{1},\,\cdots,\,\alpha_{n}(=\gamma)$이 존재하여 $[\mathbb{Q}(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\cdots,\,\alpha_{i})\,:\,\mathbb{Q}(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\cdots,\,\alpha_{i-1})]=2$이고 $[\mathbb{Q}(\gamma)\,:\,\mathbb{Q}]=2^{r}\,(r\in\mathbb{Z}^{+}\cup\{0\})$이다.

앞의 정리로부터 $\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\cdots,\,\alpha_{n}$이 존재하여 $$2^{n}=[\mathbb{Q}(\alpha_{1},\,\cdots,\,\alpha_{n})\,:\,\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\alpha_{1},\,\cdots,\,\alpha_{n})\,:\,\mathbb{Q}(\gamma)][\mathbb{Q}(\gamma)\,:\,\mathbb{Q}]$$ 이므로 적당한 $r\in\mathbb{Z}^{+}\cup\{0\}$에 대하여 $[\mathbb{Q}(\gamma)\,:\,\mathbb{Q}]=2^{r}$이다.(QED)

원래의 정육면체의 부피의 두배인 정육면체의 한 모서리의 길이는 작도가능하지 않다.

원래 정육면체의 한 모서리의 길이를 $1$이라 하면, 부피가 1이므로 두배의 부피를 갖는 정육면체의 한 모서리의 길이는 $\sqrt[3]{2}$이다. 그런데 $\sqrt[3]{2}$는 $x^{3}-2$의 근이고 $x^{3}-2$는 $\mathbb{Q}$에서 기약이다. 그러면 $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\,:\,\mathbb{Q}]=3$이고 임의의 $r\in\mathbb{Z}$에 대하여 $3\neq2^{r}$이므로 $\sqrt[3]{2}$는 작도가능한 수가 아니다.(QED)

원과 면적이 같은 정사각형의 한 모서리의 길이는 작도가능하지 않다.

원의 반지름의 길이를 $1$이라 하면 그 원의 넓이는 $\pi$가 되기 때문에 원과 면적이 같은 정사각형의 한 변의 길이는 $\sqrt{\pi}$이다. 그런데 $\pi$가 $\mathbb{Q}$에서 초월적이므로 $\sqrt{\pi}$도 $\mathbb{Q}$에서 초월적이다.(QED)

어떤 각의 삼등분은 불가능하다.(자와 컴파스로 삼등분할 수 없는 각이 존재한다.)

각 $\theta$가 작도가능할 필요충분조건은 $|\cos\theta|$가 작도가능한 것이다.

$\theta=20^{\circ}$라 하자. 그러면 $$\begin{align*}\cos3\theta&=\cos(2\theta+\theta)=\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta\\&=(2\cos^{2}\theta-1)\cos\theta-(2\sin\theta\cos\theta)\sin\theta\\&=(2\cos^{2}\theta-1)\cos\theta-2\cos\theta(1-\cos^{2}\theta)\\&=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta\end{align*}$$ 이고 $\displaystyle\cos3\theta=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$이다. $\alpha=\cos20^{\circ}$라 하자. 그러면 $$4\alpha^{3}-3\alpha=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta=\cos3\theta=\frac{1}{2}$$ 이고 $\alpha$는 $8x^{3}-6x-1\in\mathbb{Q}[x]$의 근이다. 그런데 $f(x)=8x^{3}-6x-1$은 $\mathbb{Z}[x]$에서 인수분해가 되지 않기 때문에 $\mathbb{Q}[x]$에서 기약이다. 그러면 $[\mathbb{Q}(\alpha)\,:\,\mathbb{Q}]=3$이고 $\alpha$는 작도가능한 수가 아니다. 따라서 $60^{\circ}$는 삼등분 할 수 없다.(QED)

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley