6. 기하 작도

6. 기하 작도

\(\alpha\in\mathbb{R}\)이라 하자. 주어진 단위 길이(\(1\))를 자와 컴파스만 유한번 사용하여 길이가 \(|\alpha|\)인 선분을 작도할 수 있으면, \(\alpha\)를 작도가능한 수(constructible number)라고 한다.

\(\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}\)를 작도가능한 수라고 하자. 그러면 \(\alpha+\beta\), \(\alpha-\beta\), \(\alpha\beta\), \(\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}(\beta\neq0)\)는 작도가능한 수이다.(증명은 아래그림 참고)

위의 결과로부터 작도가능한 실수 전체의 집합이 \(\mathbb{R}\)의 부분체가 됨을 알 수 있다.

작도가능한 실수들의 체 \(F\)는 유리수 \(\mathbb{Q}\)에서 시작해 유한번 양수들의 제곱근을 연속적으로 취하고 유한번의 체의 연산으로 얻을 수 있는 모든 실수로 구성된다.(아래그림 참고)

(\(\overline{\text{OP}}=1\), \(\overline{\text{OA}}=\alpha\), \(\overline{\text{OQ}}:\overline{\text{OA}}=\overline{\text{OP}}:\overline{\text{OQ}}\)이므로 \(\overline{\text{OQ}}^{2}=\overline{\text{OA}}\cdot\overline{\text{OP}}=\alpha\)이고 \(\overline{\text{OQ}}=\sqrt{\alpha}\))

\(\gamma\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\)를 작도가능한 수라고 하자. \(\alpha_{1},\,\cdots,\,\alpha_{n}(=\gamma)\)이 존재하여 \([\mathbb{Q}(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\cdots,\,\alpha_{i})\,:\,\mathbb{Q}(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\cdots,\,\alpha_{i-1})]=2\)이고 \([\mathbb{Q}(\gamma)\,:\,\mathbb{Q}]=2^{r}\,(r\in\mathbb{Z}^{+}\cup\{0\})\)이다.

앞의 정리로부터 \(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\cdots,\,\alpha_{n}\)이 존재하여$$2^{n}=[\mathbb{Q}(\alpha_{1},\,\cdots,\,\alpha_{n})\,:\,\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\alpha_{1},\,\cdots,\,\alpha_{n})\,:\,\mathbb{Q}(\gamma)][\mathbb{Q}(\gamma)\,:\,\mathbb{Q}]$$이므로 적당한 \(r\in\mathbb{Z}^{+}\cup\{0\}\)에 대하여 \([\mathbb{Q}(\gamma)\,:\,\mathbb{Q}]=2^{r}\)이다.(QED)

원래의 정육면체의 부피의 두배인 정육면체의 한 모서리의 길이는 작도가능하지 않다.

원래 정육면체의 한 모서리의 길이를 \(1\)이라 하면, 부피가 1이므로 두배의 부피를 갖는 정육면체의 한 모서리의 길이는 \(\sqrt[3]{2}\)이다. 그런데 \(\sqrt[3]{2}\)는 \(x^{3}-2\)의 근이고 \(x^{3}-2\)는 \(\mathbb{Q}\)에서 기약이다. 그러면 \([\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\,:\,\mathbb{Q}]=3\)이고 임의의 \(r\in\mathbb{Z}\)에 대하여 \(3\neq2^{r}\)이므로 \(\sqrt[3]{2}\)는 작도가능한 수가 아니다.(QED)

원과 면적이 같은 정사각형의 한 모서리의 길이는 작도가능하지 않다.

원의 반지름의 길이를 \(1\)이라 하면 그 원의 넓이는 \(\pi\)가 되기 때문에 원과 면적이 같은 정사각형의 한 변의 길이는 \(\sqrt{\pi}\)이다. 그런데 \(\pi\)가 \(\mathbb{Q}\)에서 초월적이므로 \(\sqrt{\pi}\)도 \(\mathbb{Q}\)에서 초월적이다.(QED)

어떤 각의 삼등분은 불가능하다.(자와 컴파스로 삼등분할 수 없는 각이 존재한다.)

각 \(\theta\)가 작도가능할 필요충분조건은 \(|\cos\theta|\)가 작도가능한 것이다.

\(\theta=20^{\circ}\)라 하자. 그러면$$\begin{align*}\cos3\theta&=\cos(2\theta+\theta)=\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta\\&=(2\cos^{2}\theta-1)\cos\theta-(2\sin\theta\cos\theta)\sin\theta\\&=(2\cos^{2}\theta-1)\cos\theta-2\cos\theta(1-\cos^{2}\theta)\\&=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta\end{align*}$$이고 \(\displaystyle\cos3\theta=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}\)이다. \(\alpha=\cos20^{\circ}\)라 하자. 그러면$$4\alpha^{3}-3\alpha=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta=\cos3\theta=\frac{1}{2}$$이고 \(\alpha\)는 \(8x^{3}-6x-1\in\mathbb{Q}[x]\)의 근이다. 그런데 \(f(x)=8x^{3}-6x-1\)은 \(\mathbb{Z}[x]\)에서 인수분해가 되지 않기 때문에 \(\mathbb{Q}[x]\)에서 기약이다. 그러면 \([\mathbb{Q}(\alpha)\,:\,\mathbb{Q}]=3\)이고 \(\alpha\)는 작도가능한 수가 아니다. 따라서 \(60^{\circ}\)는 삼등분 할 수 없다.(QED)

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley