5. 대수적 확대체(2: 대수적 닫힘)

5. 대수적 확대체(2: 대수적 닫힘)

\(E\)를 \(F\)의 대수적 확대체라 하자. 그러면 \(\alpha_{1},\,\cdots,\,\alpha_{n}\in E\)가 존재해서 \(E=F(\alpha_{1},\,\cdots,\,\alpha_{n})\)일 필요충분조건은 \(E\)가 \(F\)위에서 유한차원 벡터공간(\(E\)가 \(F\)의 유한 확대체)이다.

\((\Rightarrow):\) \(E=F(\alpha_{1},\,\cdots,\,\alpha_{n})\)라 하자. \(E\)가 \(F\)의 대수적 확대체이기 때문에 \(\alpha_{i}\)들은 \(F\)에서 대수적이고 \(F\)의 확대체 \(E\)에서도 대수적이다. 그러면 \(F(\alpha_{1})\)은 \(F\)에서 대수적이고 \(F(\alpha_{1},\,\cdots,\,\alpha_{j})\)는 \(F(\alpha_{1},\,\cdots,\,\alpha_{j-1})\,(j=2,\,\cdots,\,n)\)에서 대수적이다. 따라서$$\begin{align*}[E\,:\,F]&=[F(\alpha_{1},\cdots,\,\alpha_{n})\,:\,F]\\&=[F(\alpha_{1},\,\cdots,\,\alpha_{n})\,:\,F(\alpha_{1},\,\cdots,\,\alpha_{n-1})][F(\alpha_{1},\,\cdots,\,\alpha_{n-1})\,:\,F(\alpha_{1},\,\cdots,\,\alpha_{n-2})]\cdots[F(\alpha_{1})\,:\,F]\end{align*}$$이므로 \(E\)는 \(F\)의 유한 확대체이다.

\((\Leftarrow):\) \(E\)를 \(F\)의 유한 확대체라 하자. 그러면 \(E\)는 \(F\)의 대수적 확대체이고 \([E\,:\,F]=1\)이면, \(E=F(1)=F\)이다. \([E\,:\,F]\neq1(E\neq F)\)이면, \(\alpha_{1}\in E-F\)가 존재해서 \([F(\alpha_{1})\,:\,F]>1\)이고 \(F(\alpha_{1})=E\)이면, 증명이 완료된다. \(F(\alpha_{1})\neq E\)이면, \(\alpha_{2}\in E-F(\alpha_{1})\)가 존재해서 \([F(\alpha_{1},\,\alpha_{2})\,:\,F(\alpha_{1})]>1\)이고 \(F(\alpha_{1},\,\alpha_{2})=E\)이면 증명이 완료된다. 

이 과정을 반복하면 \([E\,:\,F]\)가 유한하기 때문에 \(F(\alpha_{1},\,\cdots,\,\alpha_{n})=E\)인 \(\alpha_{n}\)에 도달할 수 밖에 없다.(QED)

\(F\leq E\)라 하자. \(\overline{F_{E}}=\{\alpha\in E\,|\,\alpha\,\text{is algebraic over}\,F\}\)는 \(E\)의 부분체이다.

\(\alpha,\,\beta\in\overline{F_{E}}\)라 하자. 그러면 \(F(\alpha,\,\beta)\)는 \(F\)의 유한 확대체이고 \(F(\alpha,\,\beta)\)의 모든 원소들은 \(F\)에서 대수적이다. 그러면 \(F(\alpha,\,\beta)\subset\overline{F_{E}}\)이고$$\alpha+\beta,\,\alpha\beta,\,\alpha-\beta,\,\frac{\alpha}{\beta}(\beta\neq0)\in\overline{F_{E}}$$이므로 \(\overline{F_{E}}\)는 \(E\)의 부분체이다.(QED)

위의 정리에서 \(\overline{F_{E}}\)를 \(F\)의 \(E\)에서의 대수적 닫힘(algebraic closure)이라고 한다.

위의 정리를 이용하여 대수적 수들의 집합이 체라고 주장할 수 있다.(\(\overline{\mathbb{Q}_{\mathbb{C}}}\)는 \(\mathbb{C}\)의 부분체이다)

\(F\)를 체라고 하자. \(F[x]\)에서의 모든 상수가 아닌 다항식들이 \(F\)에서 근을 가지면, \(F\)를 대수적으로 닫혀있다(algebraic closed)고 한다.

체 \(F\)는 대수적으로 닫힌 체는 되지 않아도 \(F\)의 확대체 \(E\)에서 \(F\)의 대수적 닫힘이 될 수 있다. \(\mathbb{Q}\)는 \(\mathbb{Q}(x)\)에서의 대수적 닫힘이나 \(x^{2}+1\in\mathbb{Q}[x]\)가 \(\mathbb{Q}\)에서 근을 갖지 않기 때문에 대수적으로 닫힌 체는 아니다.

체 \(F\)가 대수적으로 닫힐 필요충분조건은 \(F[x]\)상의 모든 상수가 아닌 다항식들이 1차식만으로 인수분해되는 것이다.

\((\Rightarrow):\) \(F\)를 대수적으로 닫혀있고 \(f(x)\in F[x]\)를 상수가 아닌 다항식이라 하자. 그러면 \(f(x)\)는 \(F\)에서 \(a\)를 근으로 가지므로 \(x-a\)는 \(f(x)\)의 인수이고 따라서 \(f(x)=(x-a)g(x)\,(g(x)\in F[x])\)이다.

\(g(x)\)가 상수가 아니면, \(g(x)\)는 \(F\)에서 \(b\)를 근으로 가지므로 \(f(x)=(x-a)(x-b)h(x)\,(h(x)\in F[x])\)이다. 

이 과정을 반복하면 \(f(x)\)는 1차식들로 인수분해가 된다.

\((\Leftarrow):\) \(F[x]\)상의 모든 원소들이 모두 1차식들로 인수분해 된다고 하자. \(ax-b\)가 \(f(x)\)의 인수 중 하나이면 \(\displaystyle\frac{b}{a}\)는 \(f(x)\)의 근이고 따라서 \(F\)는 대수적으로 닫혀있다.(QED)

대수적으로 닫힌 체 \(F\)는 \(F\)외의 대수적 확대체를 갖지 않는다.(\(F<E\)인 대수적 확대체 \(E\)가 존재하지 않는다.)

\(E\)를 \(F\)의 임의의 대수적 확대체라 하자. \(\alpha\in E\)이면, \(F\)가 대수적으로 닫혀있기 때문에 \(\text{irr}(\alpha,\,F)=x-\alpha\in F[x]\)이고 \(\alpha\in F\)이므로 \(F=E\)이다.(QED)

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley