3. 대수적 벡터공간

3. 대수적 벡터공간

\(F\)를 체, \(V\)를 덧셈에 대한 아벨군이라 하자. \(F\)의 원소와 \(V\)의 원소와의 곱이 \(V\)의 원소가 되는 스칼라곱이 \(a,\,b\in F\)와 \(\alpha,\,\beta\in V\)에 대하여 다음의 조건을 맍고하면, \(V\)는 체 \(F\)의 벡터공간(vector space over \(F\), 간단히 \(F\)-벡터공간)이라고 한다.$$\begin{align*}V_{1}:&\,a\alpha\in V\\V_{2}:&\,a(b\alpha)=(ab)\alpha\\V_{3}:&\,(a+b)\alpha=(a\alpha)+(b\alpha)\\V_{4}:&\,a(\alpha+\beta)=(a\alpha)+(a\beta)\\V_{5}:&\,1\alpha=\alpha\end{align*}$$이때 \(V\)의 원소를 벡터(vector), \(F\)를 스칼라(scalar)라고 한다. 스칼라곱은 \(F\times V\)에서 \(V\)로 대응하는 함수이다. 하나의 체 \(F\)에 대해서만 논의중인 경우, 간단하게 \(F\)를 빼고 벡터공간이라고 하고, 영벡터인 \(V\)의 덧셈에 대한 항등원과 \(F\)의 덧셈에 대한 항등원을 모두 \(0\)으로 나타내겠다.

임의의 체 \(F\)에 대하여 \(F[x]\)는 \(F\)-벡터공간이다. 또한 체 \(E\)가 \(F\)의 확대체이면, \(E\)는 \(F\)위에서의 벡터공간이다. 벡터의 덧셈은 \(E\)의 원소끼리의 덧셈, \(a\in F\)와 \(\alpha\in E\)의 곱은 \(E\)에서의 체의 곱으로 정의하면 된다. 이때 벡터공간의 공리는 체의 공리에 근거한 것이고 이 때 스칼라 체 \(F\)는 벡터공간 \(E\)의 부분집합이다.

\(F\)의 벡터공간을 \(V\)라 하자. 모든 \(a\in F\)와 \(\alpha\in V\)에 대하여 \(0\alpha=0\), \(a0=0\), \((-a)\alpha=a(-\alpha)=-(a\alpha)\)가 성립한다.

아벨군 \(\langle V,\,+\rangle\)에서 다음의 식$$(0\alpha)=(0+0)\alpha=(0\alpha)+(0\alpha)$$이 성립하므로 \(0=0\alpha\)를 얻는다. 또한 이 결과로부터$$0=0\alpha=(a+(-a))\alpha=a\alpha+(-a)\alpha$$가 성립하므로 \((-a)\alpha=-(a\alpha)\)가 성립한다. 이와 비슷한 방법으로$$0=a0=a(\alpha+(-\alpha))=a\alpha+a(-\alpha)$$도 성립하므로 \(a(-\alpha)=-(a\alpha)\)가 성립한다.(QED)

\(V\)를 체 \(F\)의 벡터공간이라 하자. \(V\)의 부분집합 \(S=\{\alpha_{i}\,|\,i\in I\}\)에 대하여 적당한 \(a_{i}\in F\)와 \(\alpha_{i_{j}}\in S\)가 존재해서 임의의 \(\beta\in V\)를$$\beta=\sum_{j=1}^{n}{a_{j}\alpha_{i_{j}}}$$로 나타낼 수 있으면, \(S\)는 \(V\)를 생성(span)한다고 한다. 위의 벡터 \(\displaystyle\beta=\sum_{j=1}^{n}{a_{j}\alpha_{i_{j}}}\)는 \(\alpha_{i_{j}}\)들의 일차결합(linear combination)이라고 한다.

체 \(E\)를 체 \(F\)의 확대체, \(\alpha\in E\)를 \(F\)에서 대수적이라고 하자. 그러면 \(F(\alpha)\)는 \(F-\)벡터공간이고 \(n=\text{deg}(\alpha,\,F)\)이면, \(F(\alpha)\)는 \(\{1,\,\alpha,\,\cdots,\,\alpha^{n-1}\}\)로 생성된다.

\(V\)를 \(F-\)벡터공간이라 하자. \(V\)의 유한부분집합으로 \(V\)를 생성할 수 있으면, \(V\)를 유한차원(finite dimensional)이라고 한다.

\(F\leq E\)이고 \(\alpha\in E\)가 \(F\)에서 대수적이면, 앞에서 언급했던 \(F(\alpha)\)는 \(F\)에서 유한차원 벡터공간이다.

\(V\)를 \(F-\)벡터공간, \(S=\{\alpha_{i}\,|\,i\in I\}\)를 \(V\)의 부분집합이라 하자. 임의의 유한개의 \(\alpha_{i_{j}}\in S\)들의 일차결합이 영벡터가 되는 경우가 모든 계수가 \(0\), 즉 임의의 \(a_{j}\in F\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{a_{j}\alpha_{i_{j}}}=0\)인 경우가 \(a_{j}=0\)인 경우뿐이면, \(S\)를 일차독립(linearly independent, 선형독립)이라고 한다. \(F\)에서 일차독립이 아니면, 즉, \(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{a_{j}\alpha_{i_{j}}}=0\)일 때, \(a_{j}(\neq0)\in F\)가 존재하면 \(F\)에서 일차종속(linearly dependent)이라고 한다.

체 \(E\)는 \(F\)의 확대체이고 \(\alpha\in E\)는 \(F\)에서 대수적이다. \(\text{deg}(\alpha,\,F)=n\)이면, 임의의 \(\beta\in F(\alpha)\)를$$\beta=b_{o}+b_{1}\alpha+\cdots+b_{n-1}\alpha^{n-1}\,(b_{i}\in F)$$로 유일하게 나타낼 수 있다. 특히 \(0=0+0\alpha+\cdots+0\alpha^{n-1}\)이므로 \(\{1,\,\alpha,\,\cdots,\,\alpha^{n-1}\}\)은 \(F\)에서 일차독립인 \(F(\alpha)\)의 벡터들이고 \(F(\alpha)\)를 생성한다.

\(V\)를 \(F-\)벡터공간이라 하자. \(V\)의 부분집합 \(B=\{\beta_{i}\,|\,i\in I\}\)의 벡터들이 \(V\)를 생성하고 일차독립이면, \(B\)는 \(F\)에서 \(V\)의 기저(basis)이다.

\(V\)를 체 \(F\)위의 벡터공간, \(\alpha\in V\)라 하자. \(\alpha\in V\)가 벡터 \(\beta_{i}\in V\,(1\leq i\leq m)\)의 일차결합이고, 또한 \(\beta_{i}\in V\)가 \(\gamma_{j}\in V\,(1\leq j\leq n)\)들의 일차결합이면 \(\alpha\)는 \(\gamma_{j}\)들의 일차결합이다. 

\(a_{i},\,b_{ij}\in F\), \(\displaystyle\alpha=\sum_{i=1}^{m}{a_{i}\beta_{i}}\), \(\displaystyle\beta_{i}=\sum_{j=1}^{n}{b_{ij}\gamma_{j}}\)라 하자. 그러면$$\alpha=\sum_{i=1}^{m}{a_{i}\left(\sum_{j=1}^{n}{b_{ij}\gamma_{j}}\right)}=\sum_{j=1}^{n}{\left(\sum_{i=1}^{m}{a_{i}b_{ij}}\right)\gamma_{j}}$$이고 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{m}{a_{i}b_{ij}}\in F\)이므로 \(\alpha\)는 \(\gamma_{j}\)들의 일차결합니다.(QED)

유한차원 \(F-\)벡터공간 \(V\)에 대하여 \(V\)의 차원(dimension)을 \(V\)의 기저의 원소의 개수로 정의한다.

체 \(E\)를 \(F\)의 확대체, \(\alpha\in E\)를 \(F\)에서 대수적이라 하자. \(\text{deg}(\alpha,\,F)=n\)이면, \(F(\alpha)\)의 기저가 \(1,\,\alpha,\,\cdots,\,\alpha^{n-1}\)이므로 \(F(\alpha)\)의 차원은 \(n\)이다.

참고자료:        

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley