3. 대수적 벡터공간

3. 대수적 벡터공간

$F$를 체, $V$를 덧셈에 대한 아벨군이라 하자. $F$의 원소와 $V$의 원소와의 곱이 $V$의 원소가 되는 스칼라곱이 $a,\,b\in F$와 $\alpha,\,\beta\in V$에 대하여 다음의 조건을 맍고하면, $V$는 체 $F$의 벡터공간(vector space over $F$, 간단히 $F$-벡터공간)이라고 한다. $$\begin{align*}V_{1}:&\,a\alpha\in V\\V_{2}:&\,a(b\alpha)=(ab)\alpha\\V_{3}:&\,(a+b)\alpha=(a\alpha)+(b\alpha)\\V_{4}:&\,a(\alpha+\beta)=(a\alpha)+(a\beta)\\V_{5}:&\,1\alpha=\alpha\end{align*}$$ 이때 $V$의 원소를 벡터(vector), $F$를 스칼라(scalar)라고 한다. 스칼라곱은 $F\times V$에서 $V$로 대응하는 함수이다. 하나의 체 $F$에 대해서만 논의중인 경우, 간단하게 $F$를 빼고 벡터공간이라고 하고, 영벡터인 $V$의 덧셈에 대한 항등원과 $F$의 덧셈에 대한 항등원을 모두 $0$으로 나타내겠다.

임의의 체 $F$에 대하여 $F[x]$는 $F$-벡터공간이다. 또한 체 $E$가 $F$의 확대체이면, $E$는 $F$위에서의 벡터공간이다. 벡터의 덧셈은 $E$의 원소끼리의 덧셈, $a\in F$와 $\alpha\in E$의 곱은 $E$에서의 체의 곱으로 정의하면 된다. 이때 벡터공간의 공리는 체의 공리에 근거한 것이고 이 때 스칼라 체 $F$는 벡터공간 $E$의 부분집합이다.

$F$의 벡터공간을 $V$라 하자. 모든 $a\in F$와 $\alpha\in V$에 대하여 $0\alpha=0$, $a0=0$, $(-a)\alpha=a(-\alpha)=-(a\alpha)$가 성립한다.

아벨군 $\langle V,\,+\rangle$에서 다음의 식 $$(0\alpha)=(0+0)\alpha=(0\alpha)+(0\alpha)$$ 이 성립하므로 $0=0\alpha$를 얻는다. 또한 이 결과로부터 $$0=0\alpha=(a+(-a))\alpha=a\alpha+(-a)\alpha$$ 가 성립하므로 $(-a)\alpha=-(a\alpha)$가 성립한다. 이와 비슷한 방법으로 $$0=a0=a(\alpha+(-\alpha))=a\alpha+a(-\alpha)$$ 도 성립하므로 $a(-\alpha)=-(a\alpha)$가 성립한다.(QED)

$V$를 체 $F$의 벡터공간이라 하자. $V$의 부분집합 $S=\{\alpha_{i}\,|\,i\in I\}$에 대하여 적당한 $a_{i}\in F$와 $\alpha_{i_{j}}\in S$가 존재해서 임의의 $\beta\in V$를 $$\beta=\sum_{j=1}^{n}{a_{j}\alpha_{i_{j}}}$$ 로 나타낼 수 있으면, $S$는 $V$를 생성(span)한다고 한다. 위의 벡터 $\displaystyle\beta=\sum_{j=1}^{n}{a_{j}\alpha_{i_{j}}}$는 $\alpha_{i_{j}}$들의 일차결합(linear combination)이라고 한다.

체 $E$를 체 $F$의 확대체, $\alpha\in E$를 $F$에서 대수적이라고 하자. 그러면 $F(\alpha)$는 $F-$벡터공간이고 $n=\text{deg}(\alpha,\,F)$이면, $F(\alpha)$는 $\{1,\,\alpha,\,\cdots,\,\alpha^{n-1}\}$로 생성된다.

$V$를 $F-$벡터공간이라 하자. $V$의 유한부분집합으로 $V$를 생성할 수 있으면, $V$를 유한차원(finite dimensional)이라고 한다.

$F\leq E$이고 $\alpha\in E$가 $F$에서 대수적이면, 앞에서 언급했던 $F(\alpha)$는 $F$에서 유한차원 벡터공간이다.

$V$를 $F-$벡터공간, $S=\{\alpha_{i}\,|\,i\in I\}$를 $V$의 부분집합이라 하자. 임의의 유한개의 $\alpha_{i_{j}}\in S$들의 일차결합이 영벡터가 되는 경우가 모든 계수가 $0$, 즉 임의의 $a_{j}\in F$에 대하여 $\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{a_{j}\alpha_{i_{j}}}=0$인 경우가 $a_{j}=0$인 경우뿐이면, $S$를 일차독립(linearly independent, 선형독립)이라고 한다. $F$에서 일차독립이 아니면, 즉, $\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{a_{j}\alpha_{i_{j}}}=0$일 때, $a_{j}(\neq0)\in F$가 존재하면 $F$에서 일차종속(linearly dependent)이라고 한다.

체 $E$는 $F$의 확대체이고 $\alpha\in E$는 $F$에서 대수적이다. $\text{deg}(\alpha,\,F)=n$이면, 임의의 $\beta\in F(\alpha)$를 $$\beta=b_{o}+b_{1}\alpha+\cdots+b_{n-1}\alpha^{n-1}\,(b_{i}\in F)$$ 로 유일하게 나타낼 수 있다. 특히 $0=0+0\alpha+\cdots+0\alpha^{n-1}$이므로 $\{1,\,\alpha,\,\cdots,\,\alpha^{n-1}\}$은 $F$에서 일차독립인 $F(\alpha)$의 벡터들이고 $F(\alpha)$를 생성한다.

$V$를 $F-$벡터공간이라 하자. $V$의 부분집합 $B=\{\beta_{i}\,|\,i\in I\}$의 벡터들이 $V$를 생성하고 일차독립이면, $B$는 $F$에서 $V$의 기저(basis)이다.

$V$를 체 $F$위의 벡터공간, $\alpha\in V$라 하자. $\alpha\in V$가 벡터 $\beta_{i}\in V\,(1\leq i\leq m)$의 일차결합이고, 또한 $\beta_{i}\in V$가 $\gamma_{j}\in V\,(1\leq j\leq n)$들의 일차결합이면 $\alpha$는 $\gamma_{j}$들의 일차결합이다. 

$a_{i},\,b_{ij}\in F$, $\displaystyle\alpha=\sum_{i=1}^{m}{a_{i}\beta_{i}}$, $\displaystyle\beta_{i}=\sum_{j=1}^{n}{b_{ij}\gamma_{j}}$라 하자. 그러면 $$\alpha=\sum_{i=1}^{m}{a_{i}\left(\sum_{j=1}^{n}{b_{ij}\gamma_{j}}\right)}=\sum_{j=1}^{n}{\left(\sum_{i=1}^{m}{a_{i}b_{ij}}\right)\gamma_{j}}$$ 이고 $\displaystyle\sum_{i=1}^{m}{a_{i}b_{ij}}\in F$이므로 $\alpha$는 $\gamma_{j}$들의 일차결합니다.(QED)

유한차원 $F-$벡터공간 $V$에 대하여 $V$의 차원(dimension)을 $V$의 기저의 원소의 개수로 정의한다.

체 $E$를 $F$의 확대체, $\alpha\in E$를 $F$에서 대수적이라 하자. $\text{deg}(\alpha,\,F)=n$이면, $F(\alpha)$의 기저가 $1,\,\alpha,\,\cdots,\,\alpha^{n-1}$이므로 $F(\alpha)$의 차원은 $n$이다.

참고자료:        

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley