1. 확대체의 도입(1)

1. 확대체의 도입(1)

\(F\), \(E\)가 \(F\leq E\)인 체이면, \(E\)를 \(F\)의 하나의 확대체(extension field)라고 한다.(아래와 같이 나타낸다)

 

(크로네커 정리) \(F\)를 체, \(f(x)\in F[x]\)라 하자. 그러면 \(F\)의 확대체 \(E\)와 \(\alpha \in E\)가 존재해서 \(f(\alpha)=0\)이다.

\(f(x)\in F[x]\)이므로 \(f(x)\)는 \(F[x]\)상의 기약다항식들의 곱으로 나타낼 수 있다. 즉 \(f(x)=p_{1}(x)p_{2}(x)\cdots p_{r}(x)\)(\(p_{i}(x)\in F[x]\)이고 \(p_{i}(x)\)는 기약다항식). 기약다항식 \(p(x)\)를 \(f(x)\)의 인수라 하자. 그러면 \(\langle p(x)\rangle\)는 \(F[x]\)상의 극대 아이디얼이고 \(F[x]/\langle p(x)\rangle\)는 체이다. 따라서 \(F\)는 \(F[x]/\langle p(x)\rangle\)의 한 부분체와 동형이 된다. 그 이유는 \(\psi:\,F\,\rightarrow\,F[x]/\langle p(x)\rangle\)를 임의의 \(a\in F\)에 대하여 \(\psi(a)=a+\langle p(x)\rangle\)라 하자. (1) \(\psi(a)=\psi(b)\)이면 \(a+\langle p(x)\rangle=b+\langle p(x)\rangle\)이므로 \(a-b\in\langle p(x)\rangle\)이고 어떤 \(g(x)\in F[x]\,(\text{deg}(p(x))>1)\)에 대하여 \(a-b=p(x)g(x)\)이다. \(a,\,b\in F\)이기 때문에 \(a-b\in F\)이어야 하고 그러면 \(a-b=0\)이어야 한다. 따라서 \(a=b\)이고 \(\psi\)는 일대일이다.

(2) \(\psi(a+b)=(a+b)+\langle p(x)\rangle=(a+\langle p(x)\rangle)+(b+\langle p(x)\rangle)=\psi(a)+\psi(b)\), \(\psi(ab)=ab+\langle p(x)\rangle=(a+\langle p(x)\rangle)(b+\langle p(x)\rangle)=\psi(a)\psi(b)\)이므로 \(\psi\)는 준동형사상이다. 

\(a\in a+\langle p(x)\rangle\)이므로 \(\psi\)를 이용하여 \(a\)를 \(a+\langle p(x)\rangle\), \(F\)를 \(\{a+\langle p(x)\rangle\,|\,a\in F\}\)와 같다고 할 수 있고 따라서 \(E=F[x]/\langle p(x)\rangle\)를 \(F\)의 확장체라고 할 수 있다.

\(\alpha=x+\langle p(x)\rangle\)라 하자, 그러면 \(\alpha\in E\)이고 \(\phi_{\alpha}:\,F[x]\,\rightarrow\,E\)를 \(\alpha\)를 대입하는 대입 준동형사상이라 하자. \(p(x)=a_{o}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\,(a_{i}\in F)\)이면, \(E\)에서$$\begin{align*}\phi_{\alpha}(p(x))&=p(\alpha)=a_{0}+a_{1}(x+\langle p(x)\rangle)+\cdots+a_{n}(x+\langle p(x)\rangle)^{n}\\&=(a_{o}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n})+\langle p(x)\rangle\\&=p(x)+\langle p(x)\rangle=\langle p(x)\rangle=0\end{align*}$$이 되므로 \(\alpha\in E\), \(p(\alpha)=0\)이고 따라서 \(f(\alpha)=0\)이다.(QED)

\(F=\mathbb{R}\), \(f(x)=x^{2}+1\)이라 하자. 그러면 \(f(x)\in\mathbb{R}[x]\)이고 \(f(x)\) \(\mathbb{R}\)상에서 근을 갖지 않기 때문에 \(\mathbb{R}\)에서 기약다항식이다. 따라서 \(\langle x^{2}+1\rangle\)은 \(\mathbb{R}[x]\)상의 극대 아이디얼이고 \(\mathbb{R}[x]/\langle x^{2}+1\rangle\)은 체이다. \(r\in\mathbb{R}\)을 \(\mathbb{R}/\langle p(x)\rangle\)에서의 \(r+\langle x^{2}+1\rangle\)와 같다고 하면, \(\mathbb{R}\)을 \(E=\mathbb{R}/\langle x^{2}+1\rangle\)의 한 부분체로 볼 수 있다. \(\alpha=x+\langle x^{2}+1\rangle\)라 하자. 그러면 \(E\)에서$$\begin{align*}\alpha^{2}+1&=(x+\langle x^{2}+1\rangle)^{2}+(1+\langle x^{2}+1\rangle)\\&=(x^{2}+\langle x^{2}+1\rangle)+(1+\langle x^{2}+1\rangle)\\&=0\end{align*}$$이므로 \(\alpha\)는 \(x^{2}+1\)의 근이고 \(\alpha\in E\)이다.

 

\(F=\mathbb{Q}\), \(f(x)=x^{4}-5x^{2}+6\in\mathbb{Q}[x]\)라 하자. \(f(x)=(x^{2}-2)(x^{2}-3)\)이고 \(x^{2}-2\)와 \(x^{2}-3\)은 \(\mathbb{Q}\)에서 기약다항식이다. 그러면 \(\langle x^{2}-2\rangle\)와 \(\langle x^{2}-3\rangle\)은 \(\mathbb{Q}[x]\)에서 극대 이데알이고 따라서 \(\mathbb{Q}[x]/\langle x^{2}-2\rangle\), \(\mathbb{Q}[x]/\langle x^{2}-3\rangle\)은 체가 된다. \(\alpha=x+\langle x^{2}-2\rangle\), \(\beta=x+\langle x^{2}-3\rangle\), \(E=\mathbb{Q}[x]/\langle x^{2}-2\rangle\), \(K=\mathbb{Q}[x]/\langle x^{2}-3\rangle\)이라 하자(\(E=\{a+bx+\langle x^{2}-2\rangle\,|\,a,\,b\in\mathbb{Q}\}\), \(K=\{a+bx+\langle x^{2}-3\rangle\,|\,a,\,b\in\mathbb{Q}\}\)). 그러면 \(\alpha\)는 \(x^{2}-2\)의 근이고 \(\beta\)는 \(x^{2}-3\)의 근이며 \(\alpha\in E\), \(\beta\in K\)이고 \(E\)와 \(K\)는 \(\mathbb{Q}\)의 확장체이다.

\(E\)를 체 \(F\)의 확대체라 하자. 영이 아닌 어떤 \(f(x)\in F[x]\)에 대하여 \(f(\alpha)=0\)이면, \(\alpha\)를 \(F\)에서 대수적(algebraic)이라고 하고, \(\alpha\)가 \(F\)에서 대수적이지 않으면, \(\alpha\)를 \(F\)에서 초월적(transcendental)이라고 한다.

\(\mathbb{Q}\leq\mathbb{C}\)이고 \(\sqrt{2}\)와 \(i(=\sqrt{-1})\)는 각각 \(x^{2}-2\)와 \(x^{2}+1\)의 근이므로, \(\sqrt{2}\)와 \(i\)는 \(\mathbb{Q}\)에서 대수적이다. 반면 \(\pi\), \(e\)는 \(\mathbb{Q}\)에서 초월적이다. 그러나 \(x-\pi,\,x-e\in\mathbb{R}[x]\)이므로 \(\pi\)와 \(e\)는 \(\mathbb{R}\)에서 대수적이다.

\(\alpha=\sqrt{1+\sqrt{3}}\)은 \(\mathbb{Q}\)에서 대수적이다. 왜냐하면 \(\alpha^{2}=1+\sqrt{3}\)이므로 \(\alpha^{2}-1=\sqrt{3}\)이고 \((\alpha^{2}-1)^{2}=3\)이므로 \(\alpha^{4}-2\alpha^{2}-2=0\)이 되고 따라서 \(\alpha\)는 \(x^{4}-2x^{2}-2\in\mathbb{Q}[x]\)의 근이 된다. 그러므로 \(\alpha\)는 \(\mathbb{Q}\)에서 대수적이다.

\(\mathbb{Q}\)에서 대수적인 복소수를 대수적 수(algebraic number)라고 하고, \(\mathbb{Q}\)에서 초월적인 복소수를 초월수(transcendental number)라고 한다.

\(F\leq E\), \(\alpha\in E\), \(\phi_{\alpha}:\,F[x]\,\rightarrow\,E\)를 임의의 \(a\in F\)에 대하여 \(\phi_{\alpha}(a)=a\), \(\phi_{\alpha}(x)=\alpha\)인 대입 준동형사상이라 하자. 그러면 \(\alpha\)가 \(F\)에서 초월적일 필요충분조건은 \(\phi_{\alpha}\)가 일대일이다.("\(F[x]\)는 \(E\)의 부분정역과 동형이다"와 동치이다.)

\(\alpha\)가 \(F\)에서 초월적이면, 임의의 영이 아닌 \(f(x)\in F[x]\)에 대하여 \(f(\alpha)\neq0\)이라는 사실과 동치이다. 또한 임의의 영이 아닌 \(f(x)\in F[x]\)에 대하여 \(\phi_{\alpha}(f(x))=f(\alpha)\neq0\)이라는 사실과 동치이고, 또한 \(\text{Ker}(\phi_{\alpha})=\{0\}\)이라는 사실과 동치이다. 이는 \(\phi_{\alpha}\)가 일대일이라는 사실과 동치이다.(QED)

\(E\leq F\), \(\alpha\in E\)라 하자. \(\alpha\)가 \(F\)에서 대수적이면,

(1) 기약다항식 \(p(x)\in F[x]\)가 존재해서 \(p(\alpha)=0\)이고 이 \(p(x)\)는 상수인수를 제외하고 유일하게 결정되며 \(\alpha\)를 해로 갖는 일차 이상의 다항식 중에서 차수가 최소인 다항식이다.

(2) \(0\)이 아닌 \(f(x)\in F[x]\)에 대하여 \(f(\alpha)=0\)이면, \(p(x)\)는 \(f(x)\)를 나눈다.

\(\phi_{\alpha}:\,F[x]\,\rightarrow\,E\)를 임의의 \(a\in F\)에 대하여 \(\phi_{\alpha}(a)=a\), \(\phi_{\alpha}(x)=\alpha\)인 대입 준동형사상이라 하자. 그러면 \(\text{Ker}(\phi_{\alpha})\)는 \(F[x]\)의 아이디얼 중 하나이고 \(\text{Ker}(\phi_{\alpha})=\langle p(x)\rangle\)는 어떤 \(p(x)\in F[x]\)에 의해 생성되는 주 아이디얼이다. \(f(\alpha)=0(f(x)\neq0)\)이면, \(f(x)\in\text{Ker}(\phi_{\alpha})=\langle p(x)\rangle\)이고 따라서 \(p(x)\)는 \(f(x)\)를 나눈다.

\(p(x)\)는 \(\alpha\)를 근으로 갖는 1차 이상의 차수가 최소인 다항식이고, \(p(x)\)와 같은 성질을 갖는 다항식은 어떤 \(a\in F\)에 대하여 \(ap(x)\)의 형태여야 한다.

이제 \(p(x)\)가 기약다항식임을 보이자. \(p(x)=r(x)s(x)\,(\text{deg}r(x),\,\text{deg}s(x)<\text{deg}p(x))\)라고 하면 \(p(\alpha)=0\)이어야 하기 때문에 \(r(\alpha)s(\alpha)=0\)이어야 하고 \(F\)가 체이기 때문에 \(r(\alpha)=0\)이거나 \(s(\alpha)=0\)이어야 하고 이는 \(p(x)\)가 \(\alpha\)를 해로 갖는 1차 이상의 차수가 최소인 다항식이라는 사실에 모순이다. 따라서 \(p(x)\)는 기약다항식이다.(QED)

참고자료:

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley