1. 확대체의 도입(1)

1. 확대체의 도입(1)

$F$, $E$가 $F\leq E$인 체이면, $E$를 $F$의 하나의 확대체(extension field)라고 한다.(아래와 같이 나타낸다)

 

(크로네커 정리) $F$를 체, $f(x)\in F[x]$라 하자. 그러면 $F$의 확대체 $E$와 $\alpha \in E$가 존재해서 $f(\alpha)=0$이다.

$f(x)\in F[x]$이므로 $f(x)$는 $F[x]$상의 기약다항식들의 곱으로 나타낼 수 있다. 즉 $f(x)=p_{1}(x)p_{2}(x)\cdots p_{r}(x)$($p_{i}(x)\in F[x]$이고 $p_{i}(x)$는 기약다항식). 기약다항식 $p(x)$를 $f(x)$의 인수라 하자. 그러면 $\langle p(x)\rangle$는 $F[x]$상의 극대 아이디얼이고 $F[x]/\langle p(x)\rangle$는 체이다. 따라서 $F$는 $F[x]/\langle p(x)\rangle$의 한 부분체와 동형이 된다. 그 이유는 $\psi:\,F\,\rightarrow\,F[x]/\langle p(x)\rangle$를 임의의 $a\in F$에 대하여 $\psi(a)=a+\langle p(x)\rangle$라 하자. (1) $\psi(a)=\psi(b)$이면 $a+\langle p(x)\rangle=b+\langle p(x)\rangle$이므로 $a-b\in\langle p(x)\rangle$이고 어떤 $g(x)\in F[x]\,(\text{deg}(p(x))>1)$에 대하여 $a-b=p(x)g(x)$이다. $a,\,b\in F$이기 때문에 $a-b\in F$이어야 하고 그러면 $a-b=0$이어야 한다. 따라서 $a=b$이고 $\psi$는 일대일이다.

(2) $\psi(a+b)=(a+b)+\langle p(x)\rangle=(a+\langle p(x)\rangle)+(b+\langle p(x)\rangle)=\psi(a)+\psi(b)$, $\psi(ab)=ab+\langle p(x)\rangle=(a+\langle p(x)\rangle)(b+\langle p(x)\rangle)=\psi(a)\psi(b)$이므로 $\psi$는 준동형사상이다. 

$a\in a+\langle p(x)\rangle$이므로 $\psi$를 이용하여 $a$를 $a+\langle p(x)\rangle$, $F$를 $\{a+\langle p(x)\rangle\,|\,a\in F\}$와 같다고 할 수 있고 따라서 $E=F[x]/\langle p(x)\rangle$를 $F$의 확장체라고 할 수 있다.

$\alpha=x+\langle p(x)\rangle$라 하자, 그러면 $\alpha\in E$이고 $\phi_{\alpha}:\,F[x]\,\rightarrow\,E$를 $\alpha$를 대입하는 대입 준동형사상이라 하자. $p(x)=a_{o}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\,(a_{i}\in F)$이면, $E$에서 $$\begin{align*}\phi_{\alpha}(p(x))&=p(\alpha)=a_{0}+a_{1}(x+\langle p(x)\rangle)+\cdots+a_{n}(x+\langle p(x)\rangle)^{n}\\&=(a_{o}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n})+\langle p(x)\rangle\\&=p(x)+\langle p(x)\rangle=\langle p(x)\rangle=0\end{align*}$$ 이 되므로 $\alpha\in E$, $p(\alpha)=0$이고 따라서 $f(\alpha)=0$이다.(QED)

$F=\mathbb{R}$, $f(x)=x^{2}+1$이라 하자. 그러면 $f(x)\in\mathbb{R}[x]$이고 $f(x)$ $\mathbb{R}$상에서 근을 갖지 않기 때문에 $\mathbb{R}$에서 기약다항식이다. 따라서 $\langle x^{2}+1\rangle$은 $\mathbb{R}[x]$상의 극대 아이디얼이고 $\mathbb{R}[x]/\langle x^{2}+1\rangle$은 체이다. $r\in\mathbb{R}$을 $\mathbb{R}/\langle p(x)\rangle$에서의 $r+\langle x^{2}+1\rangle$와 같다고 하면, $\mathbb{R}$을 $E=\mathbb{R}/\langle x^{2}+1\rangle$의 한 부분체로 볼 수 있다. $\alpha=x+\langle x^{2}+1\rangle$라 하자. 그러면 $E$에서 $$\begin{align*}\alpha^{2}+1&=(x+\langle x^{2}+1\rangle)^{2}+(1+\langle x^{2}+1\rangle)\\&=(x^{2}+\langle x^{2}+1\rangle)+(1+\langle x^{2}+1\rangle)\\&=0\end{align*}$$ 이므로 $\alpha$는 $x^{2}+1$의 근이고 $\alpha\in E$이다.

 

$F=\mathbb{Q}$, $f(x)=x^{4}-5x^{2}+6\in\mathbb{Q}[x]$라 하자. $f(x)=(x^{2}-2)(x^{2}-3)$이고 $x^{2}-2$와 $x^{2}-3$은 $\mathbb{Q}$에서 기약다항식이다. 그러면 $\langle x^{2}-2\rangle$와 $\langle x^{2}-3\rangle$은 $\mathbb{Q}[x]$에서 극대 이데알이고 따라서 $\mathbb{Q}[x]/\langle x^{2}-2\rangle$, $\mathbb{Q}[x]/\langle x^{2}-3\rangle$은 체가 된다. $\alpha=x+\langle x^{2}-2\rangle$, $\beta=x+\langle x^{2}-3\rangle$, $E=\mathbb{Q}[x]/\langle x^{2}-2\rangle$, $K=\mathbb{Q}[x]/\langle x^{2}-3\rangle$이라 하자($E=\{a+bx+\langle x^{2}-2\rangle\,|\,a,\,b\in\mathbb{Q}\}$, $K=\{a+bx+\langle x^{2}-3\rangle\,|\,a,\,b\in\mathbb{Q}\}$). 그러면 $\alpha$는 $x^{2}-2$의 근이고 $\beta$는 $x^{2}-3$의 근이며 $\alpha\in E$, $\beta\in K$이고 $E$와 $K$는 $\mathbb{Q}$의 확장체이다.

$E$를 체 $F$의 확대체라 하자. 영이 아닌 어떤 $f(x)\in F[x]$에 대하여 $f(\alpha)=0$이면, $\alpha$를 $F$에서 대수적(algebraic)이라고 하고, $\alpha$가 $F$에서 대수적이지 않으면, $\alpha$를 $F$에서 초월적(transcendental)이라고 한다.

$\mathbb{Q}\leq\mathbb{C}$이고 $\sqrt{2}$와 $i(=\sqrt{-1})$는 각각 $x^{2}-2$와 $x^{2}+1$의 근이므로, $\sqrt{2}$와 $i$는 $\mathbb{Q}$에서 대수적이다. 반면 $\pi$, $e$는 $\mathbb{Q}$에서 초월적이다. 그러나 $x-\pi,\,x-e\in\mathbb{R}[x]$이므로 $\pi$와 $e$는 $\mathbb{R}$에서 대수적이다.

$\alpha=\sqrt{1+\sqrt{3}}$은 $\mathbb{Q}$에서 대수적이다. 왜냐하면 $\alpha^{2}=1+\sqrt{3}$이므로 $\alpha^{2}-1=\sqrt{3}$이고 $(\alpha^{2}-1)^{2}=3$이므로 $\alpha^{4}-2\alpha^{2}-2=0$이 되고 따라서 $\alpha$는 $x^{4}-2x^{2}-2\in\mathbb{Q}[x]$의 근이 된다. 그러므로 $\alpha$는 $\mathbb{Q}$에서 대수적이다.

$\mathbb{Q}$에서 대수적인 복소수를 대수적 수(algebraic number)라고 하고, $\mathbb{Q}$에서 초월적인 복소수를 초월수(transcendental number)라고 한다.

$F\leq E$, $\alpha\in E$, $\phi_{\alpha}:\,F[x]\,\rightarrow\,E$를 임의의 $a\in F$에 대하여 $\phi_{\alpha}(a)=a$, $\phi_{\alpha}(x)=\alpha$인 대입 준동형사상이라 하자. 그러면 $\alpha$가 $F$에서 초월적일 필요충분조건은 $\phi_{\alpha}$가 일대일이다.("$F[x]$는 $E$의 부분정역과 동형이다"와 동치이다.)

$\alpha$가 $F$에서 초월적이면, 임의의 영이 아닌 $f(x)\in F[x]$에 대하여 $f(\alpha)\neq0$이라는 사실과 동치이다. 또한 임의의 영이 아닌 $f(x)\in F[x]$에 대하여 $\phi_{\alpha}(f(x))=f(\alpha)\neq0$이라는 사실과 동치이고, 또한 $\text{Ker}(\phi_{\alpha})=\{0\}$이라는 사실과 동치이다. 이는 $\phi_{\alpha}$가 일대일이라는 사실과 동치이다.(QED)

$E\leq F$, $\alpha\in E$라 하자. $\alpha$가 $F$에서 대수적이면,

(1) 기약다항식 $p(x)\in F[x]$가 존재해서 $p(\alpha)=0$이고 이 $p(x)$는 상수인수를 제외하고 유일하게 결정되며 $\alpha$를 해로 갖는 일차 이상의 다항식 중에서 차수가 최소인 다항식이다.

(2) $0$이 아닌 $f(x)\in F[x]$에 대하여 $f(\alpha)=0$이면, $p(x)$는 $f(x)$를 나눈다.

$\phi_{\alpha}:\,F[x]\,\rightarrow\,E$를 임의의 $a\in F$에 대하여 $\phi_{\alpha}(a)=a$, $\phi_{\alpha}(x)=\alpha$인 대입 준동형사상이라 하자. 그러면 $\text{Ker}(\phi_{\alpha})$는 $F[x]$의 아이디얼 중 하나이고 $\text{Ker}(\phi_{\alpha})=\langle p(x)\rangle$는 어떤 $p(x)\in F[x]$에 의해 생성되는 주 아이디얼이다. $f(\alpha)=0(f(x)\neq0)$이면, $f(x)\in\text{Ker}(\phi_{\alpha})=\langle p(x)\rangle$이고 따라서 $p(x)$는 $f(x)$를 나눈다.

$p(x)$는 $\alpha$를 근으로 갖는 1차 이상의 차수가 최소인 다항식이고, $p(x)$와 같은 성질을 갖는 다항식은 어떤 $a\in F$에 대하여 $ap(x)$의 형태여야 한다.

이제 $p(x)$가 기약다항식임을 보이자. $p(x)=r(x)s(x)\,(\text{deg}r(x),\,\text{deg}s(x)<\text{deg}p(x))$라고 하면 $p(\alpha)=0$이어야 하기 때문에 $r(\alpha)s(\alpha)=0$이어야 하고 $F$가 체이기 때문에 $r(\alpha)=0$이거나 $s(\alpha)=0$이어야 하고 이는 $p(x)$가 $\alpha$를 해로 갖는 1차 이상의 차수가 최소인 다항식이라는 사실에 모순이다. 따라서 $p(x)$는 기약다항식이다.(QED)

참고자료:

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley