[현대대수학-환, 체론] 8. 환 준동형사상과 잉여환

[현대대수학-환, 체론] 8. 환 준동형사상과 잉여환

\(R\)과 \(R'\)을 환이라 하자. 사상 \(\phi:\,R\,\rightarrow\,R'\)가 임의의 \(a,\,b\in R\)에 대하여$$\begin{align*}\phi(a+b)&=\phi(a)+\phi(b)\\ \phi(ab)&=\phi(a)\phi(b)\end{align*}$$이면, \(\phi\)를 환 준동형사상(ring homomorphism)이라고 한다. 예를들어 \(m=nq+r(0\leq r<n)\in\mathbb{Z}\)에 대하여 \(\phi(m)=r\)로 정의되는 사상 \(\phi:\,\mathbb{Z}\,\rightarrow\,\mathbb{Z}_{n}\)은 환 준동형사상이다.

\(R_{1},\,R_{2},\,\cdots,\,R_{n}\)을 환이라 하자. 임의의 \((r_{1},\,r_{2},\,\cdots,\,r_{n})\in R_{1}\times R_{2}\times\cdots\times R_{n}\)에 대하여 \(\pi_{i}((r_{1},\,r_{2},\,\cdots,\,r_{n}))=r_{i}\)로 정의되는 사상 \(\pi_{i}:\,R_{1}\times R_{2}\times\cdots\times R_{n}\,\rightarrow\,R_{i}\)는 준동형사상이다.

\(\phi:\,R\,\rightarrow\,R'\)를 환 준동형사상이라고 하자. 

(1) \(\phi(0)=0'\) (\(0\)은 \(R\)에서의 덧셈항등원, \(0'\)은 \(R'\)에서의 덧셈항등원)

(2) 임의의 \(a\in R\)에 대하여 \(\phi(-a)=-\phi(a)\)

(3) \(S\)가 \(R\)의 부분환이면, \(\phi[S]\)는 \(R'\)의 부분환이다.

(4) \(S'\)이 \(R'\)의 부분환이면, \(\phi^{-1}[S']\)는 \(R\)의 부분환이다.

(5) \(R\)이 단위원(곱셈항등원) \(1\)을 가지면, \(\phi(1)\)은 \(\phi[R]\)의 단위원이다.

(1)과 (2)는 분명하니 증명할 필요가 없다.

(3): \(\phi[S]\)가 \(R'\)의 덧셈에 대한 아벨군의 부분군이므로 \(\phi[S]\)가 곱셈에 대해 닫혀있음을 보이면 된다. 

\(\phi(s_{1}),\,\phi(s_{2})\in\phi[S]\)라 하면 \(\phi(s_{1})\phi(s_{2})=\phi(s_{1}s_{2})\in\phi[S]\)이므로 \(\phi[S]\)는 \(R'\)의 부분군이다.

(4): \(\phi^{-1}[S']\)는 \(R\)의 덧셈에 대한 아벨군의 부분군이므로 \(\phi^{-1}[S']\)가 곱셈에 대해 닫혀있음을 보이면 된다.

\(a,\,b\in\phi^{-1}[S']\)라 하자. 그러면 \(\phi(a),\,\phi(b)\in S'\)이고 \(\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\in S'\)이기 때문에 \(ab\in\phi^{-1}[S']\)이고 \(\phi^{-1}[S']\)은 곱셈에 대해 닫혀있다. 따라서 \(\phi^{-1}[S']\)은 \(R\)의 부분환이다.

(5): \(1\)을 \(R\)의 단위원이라고 하면, 임의의 \(r\in R\)에 대하여 \(\phi(1)\phi(r)=\phi(1r)=\phi(r)=\phi(r1)=\phi(r)\phi(1)\)이므로 \(\phi(1)\)은 \(\phi[R]\)의 단위원이다.(QED)

\(\phi(1)\)은 \(\phi[R]\)의 단위원이지만 \(R'\)의 단위원이 되지는 않는다. \(\phi(n)=(n,\,0)\,(n\in\mathbb{Z})\)으로 정의되는 사상을 \(\phi:\,\mathbb{Z}\,\rightarrow\,\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\)라 하자. \(1\)은 \(\mathbb{Z}\)의 단위원이고 \((1,\,1)\)은 \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\)의 단위원이다. 그러나 \(\phi(1)=(1,\,0)\neq(1,\,1)\)이다.

\(\phi:\,R\,\rightarrow\,R'\)를 환 준동형사상이라 하자. \(\phi^{-1}[\{0'\}]=\{r\in R\,|\,\phi(r)=0'\}\)을 \(\phi\)의 핵(Kernel)이라 하고 \(\text{Ker}(\phi)\)로 나타낸다.

다음은 잉여군인 경우와 유사한 정리들이고 이 정리들에 대한 증명은 하지 않겠다.

\(\phi:\,R\,\rightarrow\,R'\)을 환 준동형사상, \(H=\text{Ker}(\phi)\)이라 하자. 

(1) \(a\in R\)에 대하여 \(\phi^{-1}[\{\phi(a)\}]=a+H=H+a\)이고 여기서 \(a+H=H+a\)는 \(a\)를 포함하는 \(\langle H,\,+\rangle\)의 잉여류이다.

(2) \(\phi\)가 일대일일 필요충분조건은 \(\text{Ker}(\phi)=\{0\}\)이다.

(3) \(H\)의 덧셈에 대한 잉여류들의 집합 \(R/H\)의 덧셈과 곱셈을$$\begin{align*}(a+H)+(b+H)&=(a+b)+H\\(a+H)(b+H)&=ab+H\end{align*}$$로 정의하면 \(R/H\)는 환이다. 또한 \(\mu(a+H)=\phi(a)\)로 정의되는 사상 \(\mu:\,R/H\,\rightarrow\,\phi[R]\)는 동형사상이다.

\(H\)를 \(R\)의 부분환, \(R/H=\{a+H\,|\,a\in R\}\)를 덧셈에 대한 아벨군이라 하자. 임의의 \(a+H,\,b+H\in R/H\)에 대하여$$(a+H)(b+H)=ab+H$$로 정의하자. 이 곱셈이 잘 정의될 필요충분조건은 임의의 \(a,\,b\in R\), \(h\in H\)에 대하여 \(ah\in H\), \(hb\in H\)이다.

\((\Leftarrow)\): 임의의 \(a,\,b\in R\), \(h\in H\)에 대하여 \(ah\in H\), \(bh\in H\)라 하고 \(a+h_{1}\in a+H\), \(b+h_{2}\in b+H\)라 하자. 그러면$$(a+h_{1})(b+h_{2})=ab+ah_{2}+h_{1}b+h_{1}h_{2}$$이고 \(ah_{2},\,h_{1}b,\,h_{1}h_{2}\in H\)이기 때문에 \((a+h_{1})(b+h_{2})\in ab+H\)이고 따라서 \(H\)의 잉여류의 곱셈 \((a+H)(b+H)=ab+H\)는 잘 정의된다.

\((\Rightarrow):\) \(H\)의 잉여류의 곱셈 \((a+H)(b+H)=ab+H\)가 잘 정의된다고 하자. \(a\in R\), \(h\in H\)라고 하면$$(a+H)H=(a+H)(0+H)=a0+H=H$$이고 \(a\in a+H\), \(h\in H\)이기 때문에 \(ah\in H\)이어야 한다. 이와 같은 방법으로 \(H(b+H)=H\)이기 때문에 \(hb\in H\)이어야 한다.

(QED)

\(R\)을 환, \(N\)을 \(R\)의 덧셈에 대한 부분군이라 하자. 임의의 \(a,\,b\in R\)에 대하여 \(aN\subset N\), \(Nb\subset N\)이면, \(N\)을 \(R\)의 아이디얼(ideal)이라고 한다.

\(n\mathbb{Z}\)는 \(\mathbb{Z}\)의 아이디얼이다.

\(F\)를 실수에서 실수로 대응하는 함수 전체의 집합, \(C\)를 실수에서 상수로 대응하는 상수함수들의 집합이라고 하자. \(C\)는 \(F\)의 아이디얼이 아니다. 왜냐하면 \(\sin x\in F\), \(2\in C\)에 대하여 \(2\sin x\not\in C\)이기 때문이다. \(N=\{f\in F\,|\,f(2)=0\}\)이라 하면, \(N\)은 \(F\)의 아이디얼이다.

\(N\)을 환 \(R\)의 아이디얼이라 하고 \(R/N=\{a+N\,|\,a\in R\}\)이라 하자. 임의의 \(a+N,\,b+N\in R/N\)에 대하여$$\begin{align*}(a+N)+(b+N)&=(a+b)+N\\(a+N)(b+N)&=ab+N\end{align*}$$이라 하면, \(R/N\)은 환이다. 이 환을 \(N\)을 법으로 하는 \(R\)의 잉여환(factor ring)이라고 한다.

환 \(R\)의 아이디얼을 \(N\)이라 하자. 임의의 \(x\in R\)에 대하여 \(\gamma(x)=x+N\)으로 정의되는 사상 \(\gamma:\,R\,\rightarrow\,R/N\)는 핵이 \(N\)인 준동형사상이다.

덧셈에 대해서는 군론에서 증명했기 때문에 곱셈에 대해서만 보이면 된다.$$\gamma(xy)=xy+N=(x+N)(y+N)=\gamma(x)\gamma(y)$$(QED)

(준동형사상의 기본정리)\(R\), \(R'\)을 환, \(N\)을 \(R\)의 아이디얼, \(\phi:\,R\,\rightarrow\,R'\)을 환 준동형사상이라 하자. \(\phi[R]\)은 환이고 \(\mu(x+N)=\phi(x)\)로 정의되는 사상 \(\mu:\,R/N\,\rightarrow\,\phi[R]\)은 동형사상이다. \(\gamma:\,R\,\rightarrow\,R/N\)가 임의의 \(x\in R\)에 대하여 \(\gamma(x)=x+N\)으로 정의되는 사상이면, \(\phi(x)=\mu(\gamma(x))\)가 성립한다.

이 정리는 군에서 환으로 바뀌었다는 점을 제외하면 군론과 유사하다.

참고자료:    

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley