[현대대수학-환, 체론] 8. 환 준동형사상과 잉여환

[현대대수학-환, 체론] 8. 환 준동형사상과 잉여환

$R$과 $R'$을 환이라 하자. 사상 $\phi:\,R\,\rightarrow\,R'$가 임의의 $a,\,b\in R$에 대하여

$$\begin{align*}\phi(a+b)&=\phi(a)+\phi(b)\\ \phi(ab)&=\phi(a)\phi(b)\end{align*}$$ 이면, $\phi$를 환 준동형사상(ring homomorphism)이라고 한다. 예를들어 $m=nq+r(0\leq r<n)\in\mathbb{Z}$에 대하여 $\phi(m)=r$로 정의되는 사상 $\phi:\,\mathbb{Z}\,\rightarrow\,\mathbb{Z}_{n}$은 환 준동형사상이다.

$R_{1},\,R_{2},\,\cdots,\,R_{n}$을 환이라 하자. 임의의 $(r_{1},\,r_{2},\,\cdots,\,r_{n})\in R_{1}\times R_{2}\times\cdots\times R_{n}$에 대하여 $\pi_{i}((r_{1},\,r_{2},\,\cdots,\,r_{n}))=r_{i}$로 정의되는 사상 $\pi_{i}:\,R_{1}\times R_{2}\times\cdots\times R_{n}\,\rightarrow\,R_{i}$는 준동형사상이다.

$\phi:\,R\,\rightarrow\,R'$를 환 준동형사상이라고 하자. 

(1) $\phi(0)=0'$ ($0$은 $R$에서의 덧셈항등원, $0'$은 $R'$에서의 덧셈항등원)

(2) 임의의 $a\in R$에 대하여 $\phi(-a)=-\phi(a)$

(3) $S$가 $R$의 부분환이면, $\phi[S]$는 $R'$의 부분환이다.

(4) $S'$이 $R'$의 부분환이면, $\phi^{-1}[S']$는 $R$의 부분환이다.

(5) $R$이 단위원(곱셈항등원) $1$을 가지면, $\phi(1)$은 $\phi[R]$의 단위원이다.

(1)과 (2)는 분명하니 증명할 필요가 없다.

(3): $\phi[S]$가 $R'$의 덧셈에 대한 아벨군의 부분군이므로 $\phi[S]$가 곱셈에 대해 닫혀있음을 보이면 된다. 

$\phi(s_{1}),\,\phi(s_{2})\in\phi[S]$라 하면 $\phi(s_{1})\phi(s_{2})=\phi(s_{1}s_{2})\in\phi[S]$이므로 $\phi[S]$는 $R'$의 부분군이다.

(4): $\phi^{-1}[S']$는 $R$의 덧셈에 대한 아벨군의 부분군이므로 $\phi^{-1}[S']$가 곱셈에 대해 닫혀있음을 보이면 된다.

$a,\,b\in\phi^{-1}[S']$라 하자. 그러면 $\phi(a),\,\phi(b)\in S'$이고 $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\in S'$이기 때문에 $ab\in\phi^{-1}[S']$이고 $\phi^{-1}[S']$은 곱셈에 대해 닫혀있다. 따라서 $\phi^{-1}[S']$은 $R$의 부분환이다.

(5): $1$을 $R$의 단위원이라고 하면, 임의의 $r\in R$에 대하여 $\phi(1)\phi(r)=\phi(1r)=\phi(r)=\phi(r1)=\phi(r)\phi(1)$이므로 $\phi(1)$은 $\phi[R]$의 단위원이다.(QED)

$\phi(1)$은 $\phi[R]$의 단위원이지만 $R'$의 단위원이 되지는 않는다. $\phi(n)=(n,\,0)\,(n\in\mathbb{Z})$으로 정의되는 사상을 $\phi:\,\mathbb{Z}\,\rightarrow\,\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$라 하자. $1$은 $\mathbb{Z}$의 단위원이고 $(1,\,1)$은 $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$의 단위원이다. 그러나 $\phi(1)=(1,\,0)\neq(1,\,1)$이다.

$\phi:\,R\,\rightarrow\,R'$를 환 준동형사상이라 하자. $\phi^{-1}[\{0'\}]=\{r\in R\,|\,\phi(r)=0'\}$을 $\phi$의 핵(Kernel)이라 하고 $\text{Ker}(\phi)$로 나타낸다.

다음은 잉여군인 경우와 유사한 정리들이고 이 정리들에 대한 증명은 하지 않겠다.

$\phi:\,R\,\rightarrow\,R'$을 환 준동형사상, $H=\text{Ker}(\phi)$이라 하자. 

(1) $a\in R$에 대하여 $\phi^{-1}[\{\phi(a)\}]=a+H=H+a$이고 여기서 $a+H=H+a$는 $a$를 포함하는 $\langle H,\,+\rangle$의 잉여류이다.

(2) $\phi$가 일대일일 필요충분조건은 $\text{Ker}(\phi)=\{0\}$이다.

(3) $H$의 덧셈에 대한 잉여류들의 집합 $R/H$의 덧셈과 곱셈을

$$\begin{align*}(a+H)+(b+H)&=(a+b)+H\\(a+H)(b+H)&=ab+H\end{align*}$$ 로 정의하면 $R/H$는 환이다. 또한 $\mu(a+H)=\phi(a)$로 정의되는 사상 $\mu:\,R/H\,\rightarrow\,\phi[R]$는 동형사상이다.

$H$를 $R$의 부분환, $R/H=\{a+H\,|\,a\in R\}$를 덧셈에 대한 아벨군이라 하자. 임의의 $a+H,\,b+H\in R/H$에 대하여

$$(a+H)(b+H)=ab+H$$ 로 정의하자. 이 곱셈이 잘 정의될 필요충분조건은 임의의 $a,\,b\in R$, $h\in H$에 대하여 $ah\in H$, $hb\in H$이다.

$(\Leftarrow)$: 임의의 $a,\,b\in R$, $h\in H$에 대하여 $ah\in H$, $bh\in H$라 하고 $a+h_{1}\in a+H$, $b+h_{2}\in b+H$라 하자. 그러면

$$(a+h_{1})(b+h_{2})=ab+ah_{2}+h_{1}b+h_{1}h_{2}$$ 이고 $ah_{2},\,h_{1}b,\,h_{1}h_{2}\in H$이기 때문에 $(a+h_{1})(b+h_{2})\in ab+H$이고 따라서 $H$의 잉여류의 곱셈 $(a+H)(b+H)=ab+H$는 잘 정의된다.

$(\Rightarrow):$ $H$의 잉여류의 곱셈 $(a+H)(b+H)=ab+H$가 잘 정의된다고 하자. $a\in R$, $h\in H$라고 하면

$$(a+H)H=(a+H)(0+H)=a0+H=H$$ 이고 $a\in a+H$, $h\in H$이기 때문에 $ah\in H$이어야 한다. 이와 같은 방법으로 $H(b+H)=H$이기 때문에 $hb\in H$이어야 한다.

(QED)

$R$을 환, $N$을 $R$의 덧셈에 대한 부분군이라 하자. 임의의 $a,\,b\in R$에 대하여 $aN\subset N$, $Nb\subset N$이면, $N$을 $R$의 아이디얼(ideal)이라고 한다.

$n\mathbb{Z}$는 $\mathbb{Z}$의 아이디얼이다.

$F$를 실수에서 실수로 대응하는 함수 전체의 집합, $C$를 실수에서 상수로 대응하는 상수함수들의 집합이라고 하자. $C$는 $F$의 아이디얼이 아니다. 왜냐하면 $\sin x\in F$, $2\in C$에 대하여 $2\sin x\not\in C$이기 때문이다. $N=\{f\in F\,|\,f(2)=0\}$이라 하면, $N$은 $F$의 아이디얼이다.

$N$을 환 $R$의 아이디얼이라 하고 $R/N=\{a+N\,|\,a\in R\}$이라 하자. 임의의 $a+N,\,b+N\in R/N$에 대하여

$$\begin{align*}(a+N)+(b+N)&=(a+b)+N\\(a+N)(b+N)&=ab+N\end{align*}$$ 이라 하면, $R/N$은 환이다. 이 환을 $N$을 법으로 하는 $R$의 잉여환(factor ring)이라고 한다.

환 $R$의 아이디얼을 $N$이라 하자. 임의의 $x\in R$에 대하여 $\gamma(x)=x+N$으로 정의되는 사상 $\gamma:\,R\,\rightarrow\,R/N$는 핵이 $N$인 준동형사상이다.

덧셈에 대해서는 군론에서 증명했기 때문에 곱셈에 대해서만 보이면 된다.

$$\gamma(xy)=xy+N=(x+N)(y+N)=\gamma(x)\gamma(y)$$ (QED)

(준동형사상의 기본정리)$R$, $R'$을 환, $N$을 $R$의 아이디얼, $\phi:\,R\,\rightarrow\,R'$을 환 준동형사상이라 하자. $\phi[R]$은 환이고 $\mu(x+N)=\phi(x)$로 정의되는 사상 $\mu:\,R/N\,\rightarrow\,\phi[R]$은 동형사상이다. $\gamma:\,R\,\rightarrow\,R/N$가 임의의 $x\in R$에 대하여 $\gamma(x)=x+N$으로 정의되는 사상이면, $\phi(x)=\mu(\gamma(x))$가 성립한다.

이 정리는 군에서 환으로 바뀌었다는 점을 제외하면 군론과 유사하다.

참고자료:    

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley