[현대대수학-환, 체론] 7. 체에서 정의된 다항식의 인수분해(2)
f(x)=xn+an−1xn−1+⋯+a0∈Z[x](a0≠0)이라 하자. f(x)가 Q에서 근을 가지면, f(x)는 Z에서 m을 근으로 갖고 a0는 m의 배수이다.
f(x)가 Q에서 a를 근으로 가지면, 적당한 g(x)∈Q[x]에 대하여 f(x)=(x−a)g(x)이고 Z[x]에서f(x)=(x−m)(xn−1+⋯−a0m)가 되어 a0m∈Z이고 따라서 a0는 m의 배수이다.(QED)
f(x)=x2−2는 Q에서 기약이다. 왜 그런지 앞의 결과를 이용해서 보이자. 2의 약수는 ±1,±2이고,f(−1)=f(1)=−1,f(−2)=f(2)=2이므로 f(x)는 Q에서 기약이다.
f(x)=x4−2x2+8x+1은 Q에서 기약이다. f(1)=8, f(−1)=−8이기 때문이다. 만약 f(x)가 Q[x]의 두 이차 다항식의 곱으로 인수분해가 되면(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4−2x2+8x+1이어야 하고 다음의 정수방정식bd=1,ad+bc=8,ac+b+d=2,a+c=0의 해가 존재해야 한다. 그러나 이 정수방정식의 해는 존재하지 않는다. 그러므로 f(x)는 기약다항식이다.
(아이젠슈타인 판정법, Eisenstein criterion) p∈Z를 소수, f(x)=anxn+⋯+a0∈Z[x]에서
an≢0(modp), ai≡0(modp)(i<n), a0≢0(modp2)라 하자. 그러면 f(x)는 Q에서 기약이다.
f(x)=(brxr+⋯+b0)(csxs+⋯+c0)∈Z[x](br≠0,cs≠0,r,s<n)이라 하자. 그러면 'b0≡0(modp)이고 c0≢0(modp)'이거나 'b0≢0(modp)이고 c0≡0(modp)'이어야 하는데 b0c0=a0≡0(modp)이고 a0≢0(modp2)이어야 하기 때문이다.
brcs=an≢0(modp), br≢0(modp), cs≢0(modp)이기 때문에, m을 ck≢0(modp)인 k의 값 중에서 가장 작은 값이라 하자. 그러면am=b0cm+b1cm−1+⋯+{bmc0(r≥n)brcm−r(r<m)이고 b0≢0(modp), cm≢0(modp)이지만c0≡0(modp),c1≡0(modp),⋯,cm−1≡0(modp)이므로 am≢0(modp)이다. 그런데 i<n에 대하여 ai≡0(modp)이므로 m=n이고 s=n이 되는데 이는 s<n이라는 사실에 모순이다. 그러므로 f(x)는 차수가 낮은 두 다항식의 곱으로 나타낼 수 없고 Q에서 기약이다.(QED)
아이젠슈타인 판정법에서 p=2라 했을 때 x2−2는 유리수 상에서 기약다항식이다. p=3이라 했을 때, 25x5−9x4−3x−12 또한 유리수 상에서 기약다항식이다.
p∈Z를 소수라 하자. 그러면Φp(x)=xp−1x−1=xp−1+xp−2+⋯+x+1는 Q에서 기약이다.
g(x)=Φp(x+1)=(x+1)p−1(x+1)−1=xp+(p1)xp−1+⋯+pxx=xp−1+(p1)xp−2+⋯+p라 하자.(p1)≡0(modp),(p2)≡0(modp),⋯,p≡0(modp)이고 p≢0(modp2)이므로 아이젠슈타인 판정법으로부터 g(x)는 Q에서 기약이다. 만약 Φp(x)=h(x)r(x)이면, Φp(x+1)=h(x+1)r(x+1)이어야 한다. 그러나 g(x)=Φp(x+1)이 기약이므로 모순이 된다. 따라서 Φp(x)는 Q에서 기약이다.(QED)
p(x)를 F[x]에서 기약다항식이라 하자. p(x)가 r(x)s(x)를 나누면, p(x)는 r(x) 또는 s(x)를 나눈다.(증명은 다음으로...)
위의 결과와 수학적귀납법을 이용하여 기약다항식 p(x)∈F[x]가 r1(x)⋯rn(x)를 나누면 p(x)는 적어도 ri(x) 중 하나를 나눈다는 결과를 얻는다.
F를 체라고 하면 임의의 f(x)∈F[x]는 F[x]에 속한 모든 기약다항식들의 곱으로 인수분해할 수 있다. 이때 f(x)의 기약 다항식들의 인수는 F와 0이 아닌 원소(가역원, 단원)의 곱의 차이를 제외하면 유일하다.(증명생략)
x4+3x3+2x+4∈Z5[x]를 다음과 같이 나타낼 수 있다.x4+3x3+2x+4=(x−1)3(x+1)=(x−1)2(2x−2)(3x+3)=(x−1)2(3x−3)(2x+2)
참고자료:
A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley
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