[현대대수학-환, 체론] 6. 체에서 정의된 다항식의 인수분해(1)

[현대대수학-환, 체론] 6. 체에서 정의된 다항식의 인수분해(1)

정수에 대해 나눗셈 연산을 하듯이 다항식도 나눗셈 연산을 할 수 있다.

($F[x]$에서의 나눗셈 알고리즘): $F$를 체, $f(x),\,g(x)\in F[x]$를 $$\begin{align*}f(x)&=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\,(a_{n}\neq0)\\g(x)&=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_{1}x+b_{0}\,(b_{m}\neq0,\,m>0)\end{align*}$$ 라 하자. 그러면 적당한 $q(x),\,r(x)\in F[x]$가 존재하여 $f(x)=g(x)q(x)+r(x)$이다.($r(x)=0$이거나 $\text{deg}r(x)<\text{deg}q(x)$) 이것은 $f(x)$를 $g(x)$로 나눈 몫이 $q(x)$, 나머지가 $r(x)$라는 것을 뜻한다.

$S=\{f(x)-g(x)s(x)\,|\,s(x)\in F[x]\}$라 하자. $0\in S$이면, 적당한 $s(x)\in S$에 대하여 $f(x)-g(x)s(x)=0$이고 $f(x)=g(x)s(x)$가 되기 때문에 $q(x)=s(x)$, $r(x)=0$이라 하면 된다.

그렇지 않은 경우, $r(x)$를 $S$에서 가장 차수가 낮은 원소라 하자. 그러면 적당한 $q(x)\in F[x]$에 대하여 $f(x)=g(x)q(x)+r(x)$가 된다. $$r(x)=c_{t}x^{t}+c_{t-1}x^{t-1}+\cdots+c_{1}t+c_{0}\,(c_{j}\in F,\,c_{t}\neq0)$$ 이라 하자. 여기서 $t<m$임을 보여야 한다.

$t\geq m$이면, $$\begin{align*}f(x)-g(x)q(x)-\frac{c_{t}}{b_{m}}x^{t-m}g(x)&=r(x)-\frac{c_{t}}{b_{m}}x^{t-m}g(x)\\&=r(x)-(c_{t}x^{t}+\text{terms of lower degree})\end{align*}$$ 이고 이 식의 차수는 $r(x)$의 차수인 $t$보다 작다. 그런데 $$f(x)-g(x)q(x)-\frac{c_{t}}{b_{m}}g(x)=f(x)-g(x)\left[q(x)+\frac{c_{t}}{b_{m}}x^{t-m}\right]\in S$$ 가 되어 $r(x)$가 $S$에서 가장 차수가 낮은 원소라는 사실에 모순된다. 따라서 $t<m$이다.

(유일성): $f(x)=g(x)q_{1}(x)+r_{1}(x)=g(x)q_{2}(x)+r_{2}(x)$이면, $g(x)[q_{1}(x)-q_{2}(x)]=r_{2}(x)-r_{1}(x)$이고 이때 $r_{2}(x)-r_{1}(x)=0$, 또는 $\text{deg}(r_{2}(x)-r_{1}(x))<\text{deg}g(x)$이어야 하므로 $q_{1}(x)-q_{2}(x)=0$이어야 한다. 그러면 $q_{1}(x)=q_{2}(x)$이고 $r_{2}(x)-r_{1}(x)=0$이므로 $r_{1}(x)=r_{2}(x)$이다.(QED)

$f(x)=x^{4}-3x^{3}+2x^{2}+4x-1,\,g(x)=x^{2}-2x+3\in\mathbb{Z}_{5}[x]$에 대하여 $f(x)=g(x)(x^{2}-x-3)+(x+3)$이다. 이것은 $f(x)$를 $g(x)$로 나눈 몫이 $x^{2}-x-3$, 나머지가 $x+3$이라는 것을 뜻한다.

$a\in F$, $f(x)\in F[x]$라 하자. $a$가 $f(x)$의 근이 될 필요충분조건은 $x-a$가 $f(x)$의 인수이다.

$(\Rightarrow):$ $f(a)=0$이라 하자. 그러면 나눗셈 알고리즘으로부터 $q(x),\,r(x)\in F[x]$가 존재해서 $f(x)=(x-a)q(x)+r(x)$($r(x)=0$이거나 $\text{deg}r(x)<1$)이다. 그러면 적당한 $c\in F$에 대하여 $r(x)=c$이고 $f(x)=(x-a)g(x)+c$이다. 이때 $0=f(a)=c$이므로 $f(x)=(x-a)g(x)$이고 따라서 $x-a$는 $f(x)$의 인수이다.

$(\Leftarrow):$ $x-a$가 $F[x]$에서 $f(x)$의 인수이면 $f(x)=(x-a)g(x)$이고 $f(a)=0\cdot g(a)=0$이 되어 $a$는 $f(x)$의 근이다.(QED)

$f(x)=x^{4}+3x^{3}+2x+4\in\mathbb{Z}_{5}[x]$를 인수분해하자. $f(1)=1+3+2+4=0$이므로 $f(x)$는 $x-1$을 인수로 갖는다. 그러면 $f(x)=(x-1)(x^{3}+4x^{2}+4x+1)$이고 여기서 $g(x)=x^{3}+4x^{2}+4x+1$이라고 했을 때 $g(1)=1+4+4+1=0$이므로 $g(x)$는 $x-1$을 인수로 갖는다. 그러면 $g(x)=(x-1)(x^{2}+4)$이고 $x^{2}+4=(x-1)(x+1)$이므로 따라서 $f(x)=(x-1)^{3}(x+1)$이다.

$0$이 아닌 차수가 $n$인 다항식 $f(x)\in F[x]$는 체 $F$에서 최대 $n$개의 근을 갖는다. 

$a_{1}\in F$가 $f(x)$의 근이면, $f(x)=(x-a_{1})g_{1}(x)$이고 이때 $\text{deg}g_{1}(x)=n-1$이다. 또한 $a_{2}\in F$가 $f(x)$의 근이면

$f(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})g_{2}(x)$이고 이때 $\text{deg}g_{2}(x)=n-2$이다. 이 과정을 반복하면 $f(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots(x-a_{r})g_{r}(x)$이고 $g_{r}(x)$는 $F$에서 근을 갖지 않는다. $\text{deg}f(x)=n$이기 때문에 $r\leq n$이고 $b\in F\,(b\neq a_{i})$에 대하여 $f(b)=(b-a_{1})(b-a_{2})\cdots(b-a_{r})g_{r}(b)\neq0$이다. 이는 $F$가 체이기 때문에 $F$의 모든 원소는 $0$의 약수가 아니기 때문이다. 따라서 $a_{i}\,(i=1,\,\cdots,\,r)$들은 $F$에서 $f(x)$의 근이다.(QED)

$f(x)\in F[x]$를 상수가 아닌 다항식이라 하자. 임의의 $g(x),\,h(x)\in F[x]\,(\text{deg}g(x),\,\text{deg}h(x)<\text{deg}f(x))$에 대하여 $f(x)\neq g(x)h(x)$이면, $f(x)$를 $F$에서 기약(irreducible, 인수분해가 더이상 되지 않음)(또는 $F[x]$에서 기약다항식(irreducible polynomial))이라고 한다.

$f(x)$가 $F$에서 기약이 아니면, $F$에서 가약(reducible, 인수분해가 가능)이라고 한다.

$x^{2}-2$는 $\mathbb{Q}$에서 근을 갖지 않으므로 $\mathbb{Q}$에서 기약이다. 그러나 $x^{2}-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$이기 때문에, $x^{2}-2$는 $\mathbb{R}$에서 가약이다.

$F[x]$상의 단원(가역원)은 $F$의 영이 아닌 원소들이다. 따라서 상수가 아닌 기약다항식 $f(x)$가 $g(x),\,h(x)\in F[x]$에 대하여 $f(x)=g(x)h(x)$이면, $g(x)$ 또는 $h(x)$ 둘 중 하나는 단원이다.

$f(x)=x^{3}+3x+2\in\mathbb{Z}_{5}[x]$는 $\mathbb{Z}_{5}$에서 기약다항식이다. 왜냐하면 $$f(0)=2,\,f(1)=1,\,f(2)=1,\,f(3)=-2=3,\,f(4)=-2=3$$ 이기 때문이다.

$f(x)\in F[x]$, $\text{deg}f(x)=2$ 또는 $\text{deg}f(x)=3$이라 하자. $f(x)$가 $F$에서 가약일 필요충분조건은 $f(x)$가 $F$에서 근을 갖는다.

$(\Rightarrow)$: $f(x)$가 $F$에서 가약이라 하자. 그러면 $f(x)=g(x)h(x)\,(\text{deg}g(x),\,\text{deg}h(x)<\text{deg}f(x))$이고 $\text{deg}f(x)=2$ 또는 $\text{deg}f(x)=3$이기 때문에, $\text{deg}g(x)=1$ 또는 $\text{deg}h(x)=1$이어야 한다.

$\text{deg}g(x)=1$이라 하자. 그러면 적당한 $a\in F$에 대하여 $g(x)=x-a$이고 $g(a)=0$이므로 $f(a)=0$이 되어 $f(x)$는 $F$에서 근을 갖는다.

$(\Leftarrow)$: 어떤 $a\in F$에 대하여 $f(a)=0$이면, $x-a$는 $f(x)$의 인수이고 따라서 $f(x)$는 가약이다.(QED)

$f(x)\in\mathbb{Z}[x]$, $r,\,s\in\mathbb{Z}$는 $f(x)$의 차수보다 작은 두 정수라 하자. 그러면 $f(x)$가 $\mathbb{Q}[x]$에서 차수가 각각 $r$, $s$인 두 다항식의 곱으로 나타낼 수 있는것은 $f(x)$가 $\mathbb{Z}[x]$에서 차수가 가각ㄱ $r$, $s$인 두 다항식의 곱으로 나타낼 수 있는것과 동치이다.(증명생략)

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley