[현대대수학-환, 체론] 6. 체에서 정의된 다항식의 인수분해(1)

[현대대수학-환, 체론] 6. 체에서 정의된 다항식의 인수분해(1)

정수에 대해 나눗셈 연산을 하듯이 다항식도 나눗셈 연산을 할 수 있다.

(\(F[x]\)에서의 나눗셈 알고리즘): \(F\)를 체, \(f(x),\,g(x)\in F[x]\)를$$\begin{align*}f(x)&=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\,(a_{n}\neq0)\\g(x)&=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_{1}x+b_{0}\,(b_{m}\neq0,\,m>0)\end{align*}$$라 하자. 그러면 적당한 \(q(x),\,r(x)\in F[x]\)가 존재하여 \(f(x)=g(x)q(x)+r(x)\)이다.(\(r(x)=0\)이거나 \(\text{deg}r(x)<\text{deg}q(x)\)) 이것은 \(f(x)\)를 \(g(x)\)로 나눈 몫이 \(q(x)\), 나머지가 \(r(x)\)라는 것을 뜻한다.

\(S=\{f(x)-g(x)s(x)\,|\,s(x)\in F[x]\}\)라 하자. \(0\in S\)이면, 적당한 \(s(x)\in S\)에 대하여 \(f(x)-g(x)s(x)=0\)이고 \(f(x)=g(x)s(x)\)가 되기 때문에 \(q(x)=s(x)\), \(r(x)=0\)이라 하면 된다.

그렇지 않은 경우, \(r(x)\)를 \(S\)에서 가장 차수가 낮은 원소라 하자. 그러면 적당한 \(q(x)\in F[x]\)에 대하여 \(f(x)=g(x)q(x)+r(x)\)가 된다.$$r(x)=c_{t}x^{t}+c_{t-1}x^{t-1}+\cdots+c_{1}t+c_{0}\,(c_{j}\in F,\,c_{t}\neq0)$$이라 하자. 여기서 \(t<m\)임을 보여야 한다.

\(t\geq m\)이면, $$\begin{align*}f(x)-g(x)q(x)-\frac{c_{t}}{b_{m}}x^{t-m}g(x)&=r(x)-\frac{c_{t}}{b_{m}}x^{t-m}g(x)\\&=r(x)-(c_{t}x^{t}+\text{terms of lower degree})\end{align*}$$이고 이 식의 차수는 \(r(x)\)의 차수인 \(t\)보다 작다. 그런데$$f(x)-g(x)q(x)-\frac{c_{t}}{b_{m}}g(x)=f(x)-g(x)\left[q(x)+\frac{c_{t}}{b_{m}}x^{t-m}\right]\in S$$가 되어 \(r(x)\)가 \(S\)에서 가장 차수가 낮은 원소라는 사실에 모순된다. 따라서 \(t<m\)이다.

(유일성): \(f(x)=g(x)q_{1}(x)+r_{1}(x)=g(x)q_{2}(x)+r_{2}(x)\)이면, \(g(x)[q_{1}(x)-q_{2}(x)]=r_{2}(x)-r_{1}(x)\)이고 이때 \(r_{2}(x)-r_{1}(x)=0\), 또는 \(\text{deg}(r_{2}(x)-r_{1}(x))<\text{deg}g(x)\)이어야 하므로 \(q_{1}(x)-q_{2}(x)=0\)이어야 한다. 그러면 \(q_{1}(x)=q_{2}(x)\)이고 \(r_{2}(x)-r_{1}(x)=0\)이므로 \(r_{1}(x)=r_{2}(x)\)이다.(QED)

\(f(x)=x^{4}-3x^{3}+2x^{2}+4x-1,\,g(x)=x^{2}-2x+3\in\mathbb{Z}_{5}[x]\)에 대하여 \(f(x)=g(x)(x^{2}-x-3)+(x+3)\)이다. 이것은 \(f(x)\)를 \(g(x)\)로 나눈 몫이 \(x^{2}-x-3\), 나머지가 \(x+3\)이라는 것을 뜻한다.

\(a\in F\), \(f(x)\in F[x]\)라 하자. \(a\)가 \(f(x)\)의 근이 될 필요충분조건은 \(x-a\)가 \(f(x)\)의 인수이다.

\((\Rightarrow):\) \(f(a)=0\)이라 하자. 그러면 나눗셈 알고리즘으로부터 \(q(x),\,r(x)\in F[x]\)가 존재해서 \(f(x)=(x-a)q(x)+r(x)\)(\(r(x)=0\)이거나 \(\text{deg}r(x)<1\))이다. 그러면 적당한 \(c\in F\)에 대하여 \(r(x)=c\)이고 \(f(x)=(x-a)g(x)+c\)이다. 이때 \(0=f(a)=c\)이므로 \(f(x)=(x-a)g(x)\)이고 따라서 \(x-a\)는 \(f(x)\)의 인수이다.

\((\Leftarrow):\) \(x-a\)가 \(F[x]\)에서 \(f(x)\)의 인수이면 \(f(x)=(x-a)g(x)\)이고 \(f(a)=0\cdot g(a)=0\)이 되어 \(a\)는 \(f(x)\)의 근이다.(QED)

\(f(x)=x^{4}+3x^{3}+2x+4\in\mathbb{Z}_{5}[x]\)를 인수분해하자. \(f(1)=1+3+2+4=0\)이므로 \(f(x)\)는 \(x-1\)을 인수로 갖는다. 그러면 \(f(x)=(x-1)(x^{3}+4x^{2}+4x+1)\)이고 여기서 \(g(x)=x^{3}+4x^{2}+4x+1\)이라고 했을 때 \(g(1)=1+4+4+1=0\)이므로 \(g(x)\)는 \(x-1\)을 인수로 갖는다. 그러면 \(g(x)=(x-1)(x^{2}+4)\)이고 \(x^{2}+4=(x-1)(x+1)\)이므로 따라서 \(f(x)=(x-1)^{3}(x+1)\)이다.

\(0\)이 아닌 차수가 \(n\)인 다항식 \(f(x)\in F[x]\)는 체 \(F\)에서 최대 \(n\)개의 근을 갖는다. 

\(a_{1}\in F\)가 \(f(x)\)의 근이면, \(f(x)=(x-a_{1})g_{1}(x)\)이고 이때 \(\text{deg}g_{1}(x)=n-1\)이다. 또한 \(a_{2}\in F\)가 \(f(x)\)의 근이면

\(f(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})g_{2}(x)\)이고 이때 \(\text{deg}g_{2}(x)=n-2\)이다. 이 과정을 반복하면 \(f(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots(x-a_{r})g_{r}(x)\)이고 \(g_{r}(x)\)는 \(F\)에서 근을 갖지 않는다. \(\text{deg}f(x)=n\)이기 때문에 \(r\leq n\)이고 \(b\in F\,(b\neq a_{i})\)에 대하여 \(f(b)=(b-a_{1})(b-a_{2})\cdots(b-a_{r})g_{r}(b)\neq0\)이다. 이는 \(F\)가 체이기 때문에 \(F\)의 모든 원소는 \(0\)의 약수가 아니기 때문이다. 따라서 \(a_{i}\,(i=1,\,\cdots,\,r)\)들은 \(F\)에서 \(f(x)\)의 근이다.(QED)

\(f(x)\in F[x]\)를 상수가 아닌 다항식이라 하자. 임의의 \(g(x),\,h(x)\in F[x]\,(\text{deg}g(x),\,\text{deg}h(x)<\text{deg}f(x))\)에 대하여 \(f(x)\neq g(x)h(x)\)이면, \(f(x)\)를 \(F\)에서 기약(irreducible, 인수분해가 더이상 되지 않음)(또는 \(F[x]\)에서 기약다항식(irreducible polynomial))이라고 한다.

\(f(x)\)가 \(F\)에서 기약이 아니면, \(F\)에서 가약(reducible, 인수분해가 가능)이라고 한다.

\(x^{2}-2\)는 \(\mathbb{Q}\)에서 근을 갖지 않으므로 \(\mathbb{Q}\)에서 기약이다. 그러나 \(x^{2}-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\)이기 때문에, \(x^{2}-2\)는 \(\mathbb{R}\)에서 가약이다.

\(F[x]\)상의 단원(가역원)은 \(F\)의 영이 아닌 원소들이다. 따라서 상수가 아닌 기약다항식 \(f(x)\)가 \(g(x),\,h(x)\in F[x]\)에 대하여 \(f(x)=g(x)h(x)\)이면, \(g(x)\) 또는 \(h(x)\) 둘 중 하나는 단원이다.

\(f(x)=x^{3}+3x+2\in\mathbb{Z}_{5}[x]\)는 \(\mathbb{Z}_{5}\)에서 기약다항식이다. 왜냐하면$$f(0)=2,\,f(1)=1,\,f(2)=1,\,f(3)=-2=3,\,f(4)=-2=3$$이기 때문이다.

\(f(x)\in F[x]\), \(\text{deg}f(x)=2\) 또는 \(\text{deg}f(x)=3\)이라 하자. \(f(x)\)가 \(F\)에서 가약일 필요충분조건은 \(f(x)\)가 \(F\)에서 근을 갖는다.

\((\Rightarrow)\): \(f(x)\)가 \(F\)에서 가약이라 하자. 그러면 \(f(x)=g(x)h(x)\,(\text{deg}g(x),\,\text{deg}h(x)<\text{deg}f(x))\)이고 \(\text{deg}f(x)=2\) 또는 \(\text{deg}f(x)=3\)이기 때문에, \(\text{deg}g(x)=1\) 또는 \(\text{deg}h(x)=1\)이어야 한다.

\(\text{deg}g(x)=1\)이라 하자. 그러면 적당한 \(a\in F\)에 대하여 \(g(x)=x-a\)이고 \(g(a)=0\)이므로 \(f(a)=0\)이 되어 \(f(x)\)는 \(F\)에서 근을 갖는다.

\((\Leftarrow)\): 어떤 \(a\in F\)에 대하여 \(f(a)=0\)이면, \(x-a\)는 \(f(x)\)의 인수이고 따라서 \(f(x)\)는 가약이다.(QED)

\(f(x)\in\mathbb{Z}[x]\), \(r,\,s\in\mathbb{Z}\)는 \(f(x)\)의 차수보다 작은 두 정수라 하자. 그러면 \(f(x)\)가 \(\mathbb{Q}[x]\)에서 차수가 각각 \(r\), \(s\)인 두 다항식의 곱으로 나타낼 수 있는것은 \(f(x)\)가 \(\mathbb{Z}[x]\)에서 차수가 가각ㄱ \(r\), \(s\)인 두 다항식의 곱으로 나타낼 수 있는것과 동치이다.(증명생략)

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley