[현대대수학-환, 체론] 4. 정역의 분수체

[현대대수학-환, 체론] 4. 정역의 분수체

영이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 갖는 정역은 체이다. 정수환은 유리수 체 $\mathbb{Q}$에 포함되고, 모든 유리수는 정수들의 분수 형태로 나타낼 수 있다. 정역의 분수체를 구성하는 모든 단계의 동기는 정수환에서 유리수체를 구성하는 것으로부터 유래하였다.

여기서는 정역 $D$를 분수체 $F$로 확장하는 방법을 다음의 절차를 거쳐서 다룰 것이다.

1. $F$의 원소를 정의한다.

2. $F$의 두 원소의 덧셈과 곱셈을 정의한다.

3. 정의한 연산이 $F$가 체가 되기 위한 모든 공리를 만족함을 확인한다.

4. $F$가 $D$를 부분환으로 포함함을 증명한다.

5. 유일성을 보인다.

1단계: $D$를 정역, $D\times D=\{(a,\,b)\,|\,a,\,b\in D\}$, $S=\{(a,\,b)\,|\,a,\,b\in D,\,b\neq0\}\subset D\times D$라 하자. 임의의 $(a,\,b),\,(c,\,d)\in S$에 대하여 관계 $(a,\,b)\sim(c,\,d)$를 $ad=bc$로 정의하자. 그러면 $\sim$은 $S$에서의 동치관계이다.

(반사): 임의의 $(a,\,b)\in S$에 대하여, $ab=ba$이므로, $(a,\,b)\sim(a,\,b)$이다.

(대칭): $(a,\,b)\sim(c,\,d)$이면, $ad=bc$이고, $cb=da$이므로 $(c,\,d)\sim(a,\,b)$이다.

(추이): $(a,\,b)\sim(c,\,d)$이고 $(c,\,d)\sim(r,\,s)$이면, $ad=bc$, $cs=dr$이고 따라서 $$asd=sad=sbc=sbc=bcs=bdr=brd$$ 이고 $d\neq0$, $D$가 정역이기 때문에, 소거법칙으로부터 $as=br$이고 $(a,\,b)\sim(r,\,s)$이다.(QED)

앞에서 언급한 동치관계 $\sim$를 이용하여 $S$를 분할할 수 있다.

2단계: $[(a,\,b)]=\{(x,\,y)\in S\,|\,(a,\,b)\sim(x,\,y)\}$는 $S$에서 $\sim$에 의한 $(a,\,b)$의 동치류이고, $F=\{[(a,\,b)]\,|\,(a,\,b)\in S\}$를 $(a,\,b)\in S$에 대한 동치류 $[(a,\,b)]$들의 집합이라 하자. 임의의 $[(a,\,b)],\,[(c,\,d)]\in F$에 대하여 덧셈과 곱셈을 각각 $$\begin{align*}[(a, \,b)]+[(c, \,d)]&=[(ad+bc, \,bd)]\\ [(a, \,b)]\cdot[(c, \,d)]&=[(ac, \,bd)]\end{align*}$$ 로 정의하자. 그러면 덧셈과 곱셈은 $F$에서 잘 정의된다.

(1) $[(a,\,b)],\,[(c,\,d)]\in F$이면, $(a,\,b),\,(c,\,d)\in S$이고, $b\neq0$, $d\neq0$이다. $D$는 정역이기 때문에, $bd\neq0$, $(ad+bc,\,bd),\,(ac,\,bd)\in S$이고 따라서 $[(ad+bc,\,bd)],\,[(ac,\,bd)]\in F$이다.

(2) $(a_{1},\,b_{1})\in[(a,\,b)]$, $(c_{1},\,d_{1})\in[(c,\,d)]$라 하자. 그러면 $(a_{1},\,b_{1})\sim(a,\,b)$이고 $(c_{1},\,d_{1})\sim(c,\,d)$이므로 $a_{1}b=b_{1}a$이고 $c_{1}d=d_{1}c$ $(*)$이다. 그러면 $a_{1}bd_{1}d=b_{1}ad_{1}d$, $c_{1}db_{1}b=d_{1}cb_{1}b$이고 $a_{1}bd_{1}d+c_{1}db_{1}b=b_{1}ad_{1}d+d_{1}cb_{1}b$이므로 $(a_{1}d_{1}+b_{1}c_{1})bd=b_{1}d_{1}(ad+bc)$이고 $(a_{1}d_{1}+b_{1}c_{1},\,b_{1}d_{1})\sim(ad+bc,\,bd)$가 되어 $(a_{1}d_{1}+b_{1}c_{1},\,b_{1}d_{1})\in[(ad+bc,\,bd)]$ 즉, $[(a_{1}d_{1}+b_{1}c_{1},\,b_{1}d_{1})]=[(ad+bc,\,bd)]$이다.

$(*)$에서 $a_{1}bc_{1}d=b_{1}ad_{1}c$이므로 $a_{1}c_{1}bd=b_{1}d_{1}ac$이고 곧 $(a_{1}c_{1},\,b_{1}d_{1})\sim(ac,\,bd)$이므로 $(a_{1}c_{1},\,b_{1}d_{1})\in[(ac,\,bd)]$, 즉 $[(a_{1}c_{1},\,b_{1}d_{1})]=[(ac,\,bd)]$이다.(QED)

3단계: 다음의 과정을 따라서 $F$가 체가 됨을 보인다.(증명생략)

1. $F$에서 덧셈은 교환법칙을 만족한다.

2. 덧셈은 결합법칙을 만족한다.

3. $[(0,\,1)]$은 덧셈에 대한 항등원이다.

4. $[(a,\,b)]$의 덧셈에 대한 역원은 $[(-a,\,b)]$이다.

5. $F$에서 곱셈은 결합법칙을 만족한다.

6. $F$에서 곱셈은 교환법칙을 만족한다.

7. $F$에서 분배법칙이 성립한다.

8. $[(1,\,1)]$은 $F$의 곱셈에 대한 항등원이다.

9. $[(a,\,b)]\in F$가 덧셈에 대한 항등원이 아니면, $[(b,\,a)]\in F\,(a\neq0)$가 $[(a,\,b)]$의 곱셈에 대한 역원이다.

4단계: $D\subset F$임을 보인다.

사상 $i:\,D\,\rightarrow\,F$를 임의의 $a\in D$에 대하여 $i(a)=[(a,\,1)]$로 정의하면, 이 사상에 의해 $D$는 $F$의 부분환과 동형이다.

임의의 $a,\,b\in D$에 대하여 $$\begin{align*}i(a+b)&=[(a+b,\,1)]=[(a1+1b,\,1)]\\&=[(a,\,1)]+[(b,\,1)]=i(a)+i(b)\end{align*}$$ 이고 $$i(ab)=[(ab,\,1)]=[(a,\,1)][(b,\,1)]=i(a)i(b)$$ 이므로 $i$는 환 준동형사상이다.

(일대일) $i(a)=i(b)$이면, $[(a,\,1)]=[(b,\,1)]$이고 $(a,\,1)\sim(b,\,1)$이므로 $a1=1b$가 되어 $a=b$이다.

따라서 $D$는 $F$의 부분정역 $i[D]$와 동형이다.(QED)

$\displaystyle[(a,\,b)]=[(a,\,1)][(1,\,b)]=[(a,\,1)][(b,\,1)]^{-1}=[(a,\,1)]/[(b,\,1)]=i(a)/i(b)$이므로, 모든 정역 $D$는 $D$의 두 원소의 몫(분수)으로 구성되는 체 $F$로 확장될 수 있다.(이 체를 $D$의 분수체(field of quotients)라고 한다.)

5단계: 유일성을 보인다.

$F$를 정역 $D$의 분수체, $L$을 $D$를 포함하는 임의의 체라고 하자. 그러면 사상 $\psi:\,F\,\rightarrow\,L$가 존재하여 $F\simeq\phi[F]\subset L$이고, 임의의 $a\in D$에 대하여 $\psi(a)=a$이다.

임의의 $a,\,b(\neq0)\in D$에 대하여 $a$를 $b$로 나눈 체 $F$의 원소를 $a/_{F}b$라 하자. $x\in F$이면, 적당한 $a,\,b(\neq0)\in D$에 대하여 $x=a/_{F}b$이다. $\psi:\,F\,\rightarrow\,L$를 임의의 $a\in D$에 대하여 $\psi(a)=a$, $\psi(a/_{F}b)=\psi(a)/_{L}\psi(b)$라 하자. $\psi$는 잘 정의된다. $D$에서 $\psi$는 항등사상이기 때문에 $b\neq0$이면, $\psi(b)\neq0$이어야 한다. 그러면 $\psi(a)/_{L}\psi(b)$는 의미가 있게 되고 이는 $\psi$가 의미가 있음을 뜻한다. 

다음으로 $F$에서 $a/_{F}b=c/_{F}d$이면, $D$에서 $ad=bc$이고 따라서 $\psi(ad)=\psi(bc)$이다. $\psi$는 $D$에서 항등사상이기 때문에, $$\psi(a)\psi(d)=ad=\psi(ad)=\psi(bc)=bc=\psi(b)\psi(c)$$ 이고 따라서 $\psi(a)/_{L}\psi(b)=\psi(c)/_{L}\psi(d)$이고 $\psi(a/_{F}b)=\psi(c/_{F}d)$이다.

$\psi$의 $F$에서의 정의와 $D$에서 항등사상이라는 사실로부터 $\psi(x+y)=\psi(x)+\psi(y)$, $\psi(xy)=\psi(x)\psi(y)$이므로, $\psi$는 준동형사상이다.

$\psi(a/_{F}b)=\psi(c/_{F}d)$이면, $\psi(a)/_{L}\psi(b)=\psi(c)/_{L}\psi(d)$이고 $\psi(a)\psi(d)=\psi(b)\psi(d)$이다. $D$에서 $\psi$가 항등사상이기 때문에 $ad=bc$이고 $a/_{F}b=c/_{F}d$가 되어 $\psi$는 일대일이 된다. $\psi$의 정의로부터 임의의 $a\in D$에 대하여 $\psi(a)=a$이고 따라서 $F$는 $L$의 부분체와 동형이다.(QED)

위의 결과를 이용하여 다음의 결과들을 얻는다.

(1) 정역 $D$를 포함하는 모든 체 $L$은 $D$의 분수체를 포함한다.

(2) 정역 $D$의 임의의 두 분수체는 동형이다.

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley