[현대대수학-환, 체론] 4. 정역의 분수체

[현대대수학-환, 체론] 4. 정역의 분수체

영이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 갖는 정역은 체이다. 정수환은 유리수 체 \(\mathbb{Q}\)에 포함되고, 모든 유리수는 정수들의 분수 형태로 나타낼 수 있다. 정역의 분수체를 구성하는 모든 단계의 동기는 정수환에서 유리수체를 구성하는 것으로부터 유래하였다.

여기서는 정역 \(D\)를 분수체 \(F\)로 확장하는 방법을 다음의 절차를 거쳐서 다룰 것이다.

1. \(F\)의 원소를 정의한다.

2. \(F\)의 두 원소의 덧셈과 곱셈을 정의한다.

3. 정의한 연산이 \(F\)가 체가 되기 위한 모든 공리를 만족함을 확인한다.

4. \(F\)가 \(D\)를 부분환으로 포함함을 증명한다.

5. 유일성을 보인다.

1단계: \(D\)를 정역, \(D\times D=\{(a,\,b)\,|\,a,\,b\in D\}\), \(S=\{(a,\,b)\,|\,a,\,b\in D,\,b\neq0\}\subset D\times D\)라 하자. 임의의 \((a,\,b),\,(c,\,d)\in S\)에 대하여 관계 \((a,\,b)\sim(c,\,d)\)를 \(ad=bc\)로 정의하자. 그러면 \(\sim\)은 \(S\)에서의 동치관계이다.

(반사): 임의의 \((a,\,b)\in S\)에 대하여, \(ab=ba\)이므로, \((a,\,b)\sim(a,\,b)\)이다.

(대칭): \((a,\,b)\sim(c,\,d)\)이면, \(ad=bc\)이고, \(cb=da\)이므로 \((c,\,d)\sim(a,\,b)\)이다.

(추이): \((a,\,b)\sim(c,\,d)\)이고 \((c,\,d)\sim(r,\,s)\)이면, \(ad=bc\), \(cs=dr\)이고 따라서$$asd=sad=sbc=sbc=bcs=bdr=brd$$이고 \(d\neq0\), \(D\)가 정역이기 때문에, 소거법칙으로부터 \(as=br\)이고 \((a,\,b)\sim(r,\,s)\)이다.(QED)

앞에서 언급한 동치관계 \(\sim\)를 이용하여 \(S\)를 분할할 수 있다.

2단계: \([(a,\,b)]=\{(x,\,y)\in S\,|\,(a,\,b)\sim(x,\,y)\}\)는 \(S\)에서 \(\sim\)에 의한 \((a,\,b)\)의 동치류이고, \(F=\{[(a,\,b)]\,|\,(a,\,b)\in S\}\)를 \((a,\,b)\in S\)에 대한 동치류 \([(a,\,b)]\)들의 집합이라 하자. 임의의 \([(a,\,b)],\,[(c,\,d)]\in F\)에 대하여 덧셈과 곱셈을 각각$$\begin{align*}[(a, \,b)]+[(c, \,d)]&=[(ad+bc, \,bd)]\\ [(a, \,b)]\cdot[(c, \,d)]&=[(ac, \,bd)]\end{align*}$$로 정의하자. 그러면 덧셈과 곱셈은 \(F\)에서 잘 정의된다.

(1) \([(a,\,b)],\,[(c,\,d)]\in F\)이면, \((a,\,b),\,(c,\,d)\in S\)이고, \(b\neq0\), \(d\neq0\)이다. \(D\)는 정역이기 때문에, \(bd\neq0\), \((ad+bc,\,bd),\,(ac,\,bd)\in S\)이고 따라서 \([(ad+bc,\,bd)],\,[(ac,\,bd)]\in F\)이다.

(2) \((a_{1},\,b_{1})\in[(a,\,b)]\), \((c_{1},\,d_{1})\in[(c,\,d)]\)라 하자. 그러면 \((a_{1},\,b_{1})\sim(a,\,b)\)이고 \((c_{1},\,d_{1})\sim(c,\,d)\)이므로 \(a_{1}b=b_{1}a\)이고 \(c_{1}d=d_{1}c\) \((*)\)이다. 그러면 \(a_{1}bd_{1}d=b_{1}ad_{1}d\), \(c_{1}db_{1}b=d_{1}cb_{1}b\)이고 \(a_{1}bd_{1}d+c_{1}db_{1}b=b_{1}ad_{1}d+d_{1}cb_{1}b\)이므로 \((a_{1}d_{1}+b_{1}c_{1})bd=b_{1}d_{1}(ad+bc)\)이고 \((a_{1}d_{1}+b_{1}c_{1},\,b_{1}d_{1})\sim(ad+bc,\,bd)\)가 되어 \((a_{1}d_{1}+b_{1}c_{1},\,b_{1}d_{1})\in[(ad+bc,\,bd)]\) 즉, \([(a_{1}d_{1}+b_{1}c_{1},\,b_{1}d_{1})]=[(ad+bc,\,bd)]\)이다.

\((*)\)에서 \(a_{1}bc_{1}d=b_{1}ad_{1}c\)이므로 \(a_{1}c_{1}bd=b_{1}d_{1}ac\)이고 곧 \((a_{1}c_{1},\,b_{1}d_{1})\sim(ac,\,bd)\)이므로 \((a_{1}c_{1},\,b_{1}d_{1})\in[(ac,\,bd)]\), 즉 \([(a_{1}c_{1},\,b_{1}d_{1})]=[(ac,\,bd)]\)이다.(QED)

3단계: 다음의 과정을 따라서 \(F\)가 체가 됨을 보인다.(증명생략)

1. \(F\)에서 덧셈은 교환법칙을 만족한다.

2. 덧셈은 결합법칙을 만족한다.

3. \([(0,\,1)]\)은 덧셈에 대한 항등원이다.

4. \([(a,\,b)]\)의 덧셈에 대한 역원은 \([(-a,\,b)]\)이다.

5. \(F\)에서 곱셈은 결합법칙을 만족한다.

6. \(F\)에서 곱셈은 교환법칙을 만족한다.

7. \(F\)에서 분배법칙이 성립한다.

8. \([(1,\,1)]\)은 \(F\)의 곱셈에 대한 항등원이다.

9. \([(a,\,b)]\in F\)가 덧셈에 대한 항등원이 아니면, \([(b,\,a)]\in F\,(a\neq0)\)가 \([(a,\,b)]\)의 곱셈에 대한 역원이다.

4단계: \(D\subset F\)임을 보인다.

사상 \(i:\,D\,\rightarrow\,F\)를 임의의 \(a\in D\)에 대하여 \(i(a)=[(a,\,1)]\)로 정의하면, 이 사상에 의해 \(D\)는 \(F\)의 부분환과 동형이다.

임의의 \(a,\,b\in D\)에 대하여$$\begin{align*}i(a+b)&=[(a+b,\,1)]=[(a1+1b,\,1)]\\&=[(a,\,1)]+[(b,\,1)]=i(a)+i(b)\end{align*}$$이고$$i(ab)=[(ab,\,1)]=[(a,\,1)][(b,\,1)]=i(a)i(b)$$이므로 \(i\)는 환 준동형사상이다.

(일대일) \(i(a)=i(b)\)이면, \([(a,\,1)]=[(b,\,1)]\)이고 \((a,\,1)\sim(b,\,1)\)이므로 \(a1=1b\)가 되어 \(a=b\)이다.

따라서 \(D\)는 \(F\)의 부분정역 \(i[D]\)와 동형이다.(QED)

\(\displaystyle[(a,\,b)]=[(a,\,1)][(1,\,b)]=[(a,\,1)][(b,\,1)]^{-1}=[(a,\,1)]/[(b,\,1)]=i(a)/i(b)\)이므로, 모든 정역 \(D\)는 \(D\)의 두 원소의 몫(분수)으로 구성되는 체 \(F\)로 확장될 수 있다.(이 체를 \(D\)의 분수체(field of quotients)라고 한다.)

5단계: 유일성을 보인다.

\(F\)를 정역 \(D\)의 분수체, \(L\)을 \(D\)를 포함하는 임의의 체라고 하자. 그러면 사상 \(\psi:\,F\,\rightarrow\,L\)가 존재하여 \(F\simeq\phi[F]\subset L\)이고, 임의의 \(a\in D\)에 대하여 \(\psi(a)=a\)이다.

임의의 \(a,\,b(\neq0)\in D\)에 대하여 \(a\)를 \(b\)로 나눈 체 \(F\)의 원소를 \(a/_{F}b\)라 하자. \(x\in F\)이면, 적당한 \(a,\,b(\neq0)\in D\)에 대하여 \(x=a/_{F}b\)이다. \(\psi:\,F\,\rightarrow\,L\)를 임의의 \(a\in D\)에 대하여 \(\psi(a)=a\), \(\psi(a/_{F}b)=\psi(a)/_{L}\psi(b)\)라 하자. \(\psi\)는 잘 정의된다. \(D\)에서 \(\psi\)는 항등사상이기 때문에 \(b\neq0\)이면, \(\psi(b)\neq0\)이어야 한다. 그러면 \(\psi(a)/_{L}\psi(b)\)는 의미가 있게 되고 이는 \(\psi\)가 의미가 있음을 뜻한다. 

다음으로 \(F\)에서 \(a/_{F}b=c/_{F}d\)이면, \(D\)에서 \(ad=bc\)이고 따라서 \(\psi(ad)=\psi(bc)\)이다. \(\psi\)는 \(D\)에서 항등사상이기 때문에,$$\psi(a)\psi(d)=ad=\psi(ad)=\psi(bc)=bc=\psi(b)\psi(c)$$이고 따라서 \(\psi(a)/_{L}\psi(b)=\psi(c)/_{L}\psi(d)\)이고 \(\psi(a/_{F}b)=\psi(c/_{F}d)\)이다.

\(\psi\)의 \(F\)에서의 정의와 \(D\)에서 항등사상이라는 사실로부터 \(\psi(x+y)=\psi(x)+\psi(y)\), \(\psi(xy)=\psi(x)\psi(y)\)이므로, \(\psi\)는 준동형사상이다.

\(\psi(a/_{F}b)=\psi(c/_{F}d)\)이면, \(\psi(a)/_{L}\psi(b)=\psi(c)/_{L}\psi(d)\)이고 \(\psi(a)\psi(d)=\psi(b)\psi(d)\)이다. \(D\)에서 \(\psi\)가 항등사상이기 때문에 \(ad=bc\)이고 \(a/_{F}b=c/_{F}d\)가 되어 \(\psi\)는 일대일이 된다. \(\psi\)의 정의로부터 임의의 \(a\in D\)에 대하여 \(\psi(a)=a\)이고 따라서 \(F\)는 \(L\)의 부분체와 동형이다.(QED)

위의 결과를 이용하여 다음의 결과들을 얻는다.

(1) 정역 \(D\)를 포함하는 모든 체 \(L\)은 \(D\)의 분수체를 포함한다.

(2) 정역 \(D\)의 임의의 두 분수체는 동형이다.

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley