[현대대수학-환, 체론] 2. 정역
a,b∈R에 대하여 ab=0이면 a, b중 적어도 하나는 0이다. 실수 상에서 x2−5x+6=(x−2)(x−3)=0이므로 이 이차방정식의 해는 x=2 또는 x=3이다. 그러나 Z12에서는2⋅6=6⋅2=3⋅4=4⋅3=03⋅8=8⋅3=4⋅6=6⋅4=04⋅9=9⋅4=6⋅6=06⋅8=8⋅6=06⋅10=10⋅6=08⋅9=9⋅8=0이다. 따라서 Z12에서의 이차방정식 x2−5x+6=0의 해는 x=2, x=3이외에도 x=6, x=11이 더 있다.
R을 환이라고 했을 때, 0이 아닌 a,b∈R가 ab=0을 만족하면 a와 b를 0의 약수(zero divisor)라고 한다.
앞에서 보았듯이 Z12에서의 0의 약수는 2,3,4,6,8,9이고 이 원소들은 12와 서로소가 아닌 원소들이다.
환 Zn에서 0의 약수는 n과 서로소가 아닌 0이 아닌 원소들이다. 즉, {m∈Zn|mis zero divisor}={m∈Zn|gcd(m,n)=1}
(⇐): m(≠0)∈Zn, gcd(m,n)=d≠1이라 하자. 그러면 m(nd)=(md)n≡0(modn)이고 m≠0, nd≠0이다. 그러면 m은
0의 약수이고 따라서 {m∈Zn|gcd(m,n)≠1}⊂{m∈Zn|mis zero divisor}이다.
(⇒:\) m∈Zn, gcd(m,n)=1이라 하자. 만약 어떤 s∈Zn에 대하여 ms=0이면, ms는 n의 배수이고 gcd(m,n)=1이기 때문에 s는 n의 배수이다. 그러면 Zn에서 s=0이 되고 이는 m이 Zn에서 0의 약수가 아님을 뜻한다. 따라서 gcd(m,n)≠1이고 {m∈Zn|mis divisor of zero}⊂{m∈Zn|gcd(m,n)≠1}이다.(QED)
위의 결과를 이용하여 임의의 소수 p에 대하여 Zp에 0의 약수가 없다는 결과를 얻는다.
R을 환, a,b,c,∈R이라 하자. ab=ac(a≠0)이면, b=c, ba=ca(a≠0)이면, b=c가 성립하면, R이 소거법칙(cancellation law)을 만족한다고 한다.
환 R에서 소거법칙이 성립할 필요충분조건은 R이 0의 약수를 갖지 않는다.
(⇒): R에서 소거법칙이 성립한다고 하고 적당한 a,b∈R에 대하여 ab=0이라 하자.
a≠0이면, ab=a0이므로 b=0이고, b=0이면, ab=0b이므로 a=0이다. 따라서 R은 0의 약수를 갖지 않는다.
(⇐): R이 0의 약수를 갖지 않는다고 하고 ab=ac(a≠0)이라 하자. 그러면 ab−ac=a(b−c)=0이고 a≠0, R이 0의 약수를 갖지 않기 때문에 b−c=0이어야 하고 따라서 b=c이다. 이와 같은 방법을 이용하여 ba=ca이면 b=c가 성립함을 보일 수 있다.(QED)
정역(integral domain) D는 0의 약수를 갖지 않는 단위원이 1인 가환환이다.
Z와 Zp(p는 소수)는 정역이고, n이 소수가 아니면, Zn은 정역이 아니다. R, S가 영환(zero ring)이 아니면, R×S는 정역이 아니다. 그 이유는 r(≠0)∈R, s(≠0)∈S에 대하여 R×S에서 (r,0)(0,s)=(0,0)이기 때문이다.
Z2는 정역이나 M2(Z2)는 정역이 아니다. 그 이유는(1000)(0010)=(0000)이기 때문이다.
모든 체 F는 정역이다.
a(≠0),b∈F라 하자. ab=0이면, (1a)ab=1a⋅0=0이므로 0=(1a)ab=(1a⋅a)b=1⋅b=b이고 이는 F에 0의 약수가 없음을 뜻한다. 따라서 F는 정역이다.(QED)
(환, 정역, 체, 가환환, 단위원을 갖는 가환환의 포함관계)
모든 유한정역은 체가 된다.
D={0,1,a1,a2,⋯,an}를 유한정역이라 하자. 임의의 a(≠0)∈D에 대하여 적당한 b∈D가 존재해서 ab=1이 됨을 보인다. 임의의 a(≠0)∈D에 대하여 a1,aa1,⋯,aan은 서로 다른 원소들이다. 만약 aai=aaj(i≠j)이면, 소거법칙에 의해 ai=aj이어야 한다. 또한 D에는 0의 약수가 없기 때문에, a1,aa1,⋯,aan은 0이 아닌 D의 서로 다른 원소들이다. 따라서{0,1,a1,a2,⋯,an}={0,a1,aa1,⋯,aan}이므로 a1=1이거나 적당한 ai에 대하여 aai=1이고 이는 a가 곱셈에 대한 역원을 가짐을 뜻한다.(QED)
위의 결과를 토대로 임의의 소수 p에 대하여, Zp가 체가 됨을 알 수 있다. 왜냐하면 Zp는 유한정역이기 때문이다.
R을 환이라 하자. 임의의 a∈R에 대하여 적당한 n이 존재해서 na=a+⋯+a=0(a를 n번 더함)이면, 이러한 n 중에서 가장 작은 수를 환 R의 표수(charcateristic)라고 한다. 이러한 자연수가 존재하지 않을 경우, R의 표수는 0으로 정의한다.
Zn의 표수는 n이고, Z,Q,R,C의 표수는 0이다.
환 R이 단위원을 갖는다고 하자. 모든 n∈Z+에 대하여 n⋅1≠0이면, R의 표수는 0이고, 적당한 n∈Z+에 대하여 n⋅1=0이면, R의 표수는 이러한 n 중에서 가장 작은 양의 정수이다.
임의의 n∈Z+에 대하여 n⋅1≠0이면, 표수의 정의에 의해 R의 표수는 0이 된다.
어떤 n∈Z+에 대하여 n⋅1=0이면, 임의의 a∈R에 대하여n⋅a=a+⋯+a=a(1+⋯+1)=a(n⋅1)=a⋅0=0이 되므로, 표수의 정의로부터 이러한 n 중에서 가장 작은 양의 정수가 R의 표수이다.(QED)
참고자료:
A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley
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