[현대대수학-환, 체론] 2. 정역

[현대대수학-환, 체론] 2. 정역

$a,\,b\in\mathbb{R}$에 대하여 $ab=0$이면 $a$, $b$중 적어도 하나는 $0$이다. 실수 상에서 $x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0$이므로 이 이차방정식의 해는 $x=2$ 또는 $x=3$이다. 그러나 $\mathbb{Z}_{12}$에서는 $$\begin{align*}2\cdot6&=6\cdot2=3\cdot4=4\cdot3=0\\3\cdot8&=8\cdot3=4\cdot6=6\cdot4=0\\4\cdot9&=9\cdot4=6\cdot6=0\\6\cdot8&=8\cdot6=0\\6\cdot10&=10\cdot6=0\\8\cdot9&=9\cdot8=0\end{align*}$$ 이다. 따라서 $\mathbb{Z}_{12}$에서의 이차방정식 $x^{2}-5x+6=0$의 해는 $x=2$, $x=3$이외에도 $x=6$, $x=11$이 더 있다.

$R$을 환이라고 했을 때, $0$이 아닌 $a,\,b\in R$가 $ab=0$을 만족하면 $a$와 $b$를 $0$의 약수(zero divisor)라고 한다.

앞에서 보았듯이 $\mathbb{Z}_{12}$에서의 $0$의 약수는 $2,\,3,\,4,\,6,\,8,\,9$이고 이 원소들은 $12$와 서로소가 아닌 원소들이다.

환 $\mathbb{Z}_{n}$에서 $0$의 약수는 $n$과 서로소가 아닌 $0$이 아닌 원소들이다. 즉, $\{m\in\mathbb{Z}_{n}\,|\,m\,\text{is zero divisor}\}=\{m\in\mathbb{Z}_{n}\,|\,\text{gcd}(m,\,n)=1\}$

$(\Leftarrow):$ $m(\neq0)\in\mathbb{Z}_{n}$, $\text{gcd}(m,\,n)=d\neq1$이라 하자. 그러면 $\displaystyle m\left(\frac{n}{d}\right)=\left(\frac{m}{d}\right)n\equiv0\,(\text{mod}\,n)$이고 $m\neq0$, $\displaystyle\frac{n}{d}\neq0$이다. 그러면 $m$은

$0$의 약수이고 따라서 $\{m\in\mathbb{Z}_{n}\,|\,\text{gcd}(m,\,n)\neq1\}\subset\{m\in\mathbb{Z}_{n}\,|\,m\,\text{is zero divisor}\}$이다.

$(\Rightarrow$:\) $m\in\mathbb{Z}_{n}$, $\text{gcd}(m,\,n)=1$이라 하자. 만약 어떤 $s\in\mathbb{Z}_{n}$에 대하여 $ms=0$이면, $ms$는 $n$의 배수이고 $\text{gcd}(m,\,n)=1$이기 때문에 $s$는 $n$의 배수이다. 그러면 $\mathbb{Z}_{n}$에서 $s=0$이 되고 이는 $m$이 $\mathbb{Z}_{n}$에서 $0$의 약수가 아님을 뜻한다. 따라서 $\text{gcd}(m,\,n)\neq1$이고 $\{m\in\mathbb{Z}_{n}\,|\,m\,\text{is divisor of zero}\}\subset\{m\in\mathbb{Z}_{n}\,|\,\text{gcd}(m,\,n)\neq1\}$이다.(QED)

위의 결과를 이용하여 임의의 소수 $p$에 대하여 $\mathbb{Z}_{p}$에 $0$의 약수가 없다는 결과를 얻는다.

$R$을 환, $a,\,b,\,c,\in R$이라 하자. $ab=ac\,(a\neq0)$이면, $b=c$, $ba=ca\,(a\neq0)$이면, $b=c$가 성립하면, $R$이 소거법칙(cancellation law)을 만족한다고 한다.

환 $R$에서 소거법칙이 성립할 필요충분조건은 $R$이 $0$의 약수를 갖지 않는다.

$(\Rightarrow):$ $R$에서 소거법칙이 성립한다고 하고 적당한 $a,\,b\in R$에 대하여 $ab=0$이라 하자.

$a\neq0$이면, $ab=a0$이므로 $b=0$이고, $b=0$이면, $ab=0b$이므로 $a=0$이다. 따라서 $R$은 $0$의 약수를 갖지 않는다.

$(\Leftarrow)$: $R$이 $0$의 약수를 갖지 않는다고 하고 $ab=ac\,(a\neq0)$이라 하자. 그러면 $ab-ac=a(b-c)=0$이고 $a\neq0$, $R$이 $0$의 약수를 갖지 않기 때문에 $b-c=0$이어야 하고 따라서 $b=c$이다. 이와 같은 방법을 이용하여 $ba=ca$이면 $b=c$가 성립함을 보일 수 있다.(QED)

정역(integral domain) $D$는 $0$의 약수를 갖지 않는 단위원이 $1$인 가환환이다.

$\mathbb{Z}$와 $\mathbb{Z}_{p}$($p$는 소수)는 정역이고, $n$이 소수가 아니면, $\mathbb{Z}_{n}$은 정역이 아니다. $R$, $S$가 영환(zero ring)이 아니면, $R\times S$는 정역이 아니다. 그 이유는 $r(\neq0)\in R$, $s(\neq0)\in S$에 대하여 $R\times S$에서 $(r,\,0)(0,\,s)=(0,\,0)$이기 때문이다.

$\mathbb{Z}_{2}$는 정역이나 $M_{2}(\mathbb{Z}_{2})$는 정역이 아니다. 그 이유는 $$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$$ 이기 때문이다.

모든 체 $F$는 정역이다.

$a(\neq0),\,b\in F$라 하자. $ab=0$이면, $\displaystyle\left(\frac{1}{a}\right)ab=\frac{1}{a}\cdot0=0$이므로 $\displaystyle0=\left(\frac{1}{a}\right)ab=\left(\frac{1}{a}\cdot a\right)b=1\cdot b=b$이고 이는 $F$에 $0$의 약수가 없음을 뜻한다. 따라서 $F$는 정역이다.(QED)

(환, 정역, 체, 가환환, 단위원을 갖는 가환환의 포함관계)

모든 유한정역은 체가 된다.

$D=\{0,\,1,\,a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n}\}$를 유한정역이라 하자. 임의의 $a(\neq0)\in D$에 대하여 적당한 $b\in D$가 존재해서 $ab=1$이 됨을 보인다. 임의의 $a(\neq0)\in D$에 대하여 $a1,\,aa_{1},\,\cdots,\,aa_{n}$은 서로 다른 원소들이다. 만약 $aa_{i}=aa_{j}\,(i\neq j)$이면, 소거법칙에 의해 $a_{i}=a_{j}$이어야 한다. 또한 $D$에는 $0$의 약수가 없기 때문에, $a1,\,aa_{1},\,\cdots,\,aa_{n}$은 $0$이 아닌 $D$의 서로 다른 원소들이다. 따라서 $$\{0,\,1,\,a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n}\}=\{0,\,a1,\,aa_{1},\,\cdots,\,aa_{n}\}$$ 이므로 $a1=1$이거나 적당한 $a_{i}$에 대하여 $aa_{i}=1$이고 이는 $a$가 곱셈에 대한 역원을 가짐을 뜻한다.(QED) 

위의 결과를 토대로 임의의 소수 $p$에 대하여, $\mathbb{Z}_{p}$가 체가 됨을 알 수 있다. 왜냐하면 $\mathbb{Z}_{p}$는 유한정역이기 때문이다.

$R$을 환이라 하자. 임의의 $a\in R$에 대하여 적당한 $n$이 존재해서 $na=a+\cdots+a=0$($a$를 $n$번 더함)이면, 이러한 $n$ 중에서 가장 작은 수를 환 $R$의 표수(charcateristic)라고 한다. 이러한 자연수가 존재하지 않을 경우, $R$의 표수는 $0$으로 정의한다.

$\mathbb{Z}_{n}$의 표수는 $n$이고, $\mathbb{Z},\,\mathbb{Q},\,\mathbb{R},\,\mathbb{C}$의 표수는 $0$이다.

환 $R$이 단위원을 갖는다고 하자. 모든 $n\in\mathbb{Z}^{+}$에 대하여 $n\cdot1\neq0$이면, $R$의 표수는 $0$이고, 적당한 $n\in\mathbb{Z}^{+}$에 대하여 $n\cdot1=0$이면, $R$의 표수는 이러한 $n$ 중에서 가장 작은 양의 정수이다.

임의의 $n\in\mathbb{Z}^{+}$에 대하여 $n\cdot1\neq0$이면, 표수의 정의에 의해 $R$의 표수는 $0$이 된다.

어떤 $n\in\mathbb{Z}^{+}$에 대하여 $n\cdot1=0$이면, 임의의 $a\in R$에 대하여 $$n\cdot a=a+\cdots+a=a(1+\cdots+1)=a(n\cdot1)=a\cdot0=0$$ 이 되므로, 표수의 정의로부터 이러한 $n$ 중에서 가장 작은 양의 정수가 $R$의 표수이다.(QED)   

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley