[현대대수학-환, 체론] 2. 정역

[현대대수학-환, 체론] 2. 정역

\(a,\,b\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(ab=0\)이면 \(a\), \(b\)중 적어도 하나는 \(0\)이다. 실수 상에서 \(x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0\)이므로 이 이차방정식의 해는 \(x=2\) 또는 \(x=3\)이다. 그러나 \(\mathbb{Z}_{12}\)에서는$$\begin{align*}2\cdot6&=6\cdot2=3\cdot4=4\cdot3=0\\3\cdot8&=8\cdot3=4\cdot6=6\cdot4=0\\4\cdot9&=9\cdot4=6\cdot6=0\\6\cdot8&=8\cdot6=0\\6\cdot10&=10\cdot6=0\\8\cdot9&=9\cdot8=0\end{align*}$$이다. 따라서 \(\mathbb{Z}_{12}\)에서의 이차방정식 \(x^{2}-5x+6=0\)의 해는 \(x=2\), \(x=3\)이외에도 \(x=6\), \(x=11\)이 더 있다.

\(R\)을 환이라고 했을 때, \(0\)이 아닌 \(a,\,b\in R\)가 \(ab=0\)을 만족하면 \(a\)와 \(b\)를 \(0\)의 약수(zero divisor)라고 한다.

앞에서 보았듯이 \(\mathbb{Z}_{12}\)에서의 \(0\)의 약수는 \(2,\,3,\,4,\,6,\,8,\,9\)이고 이 원소들은 \(12\)와 서로소가 아닌 원소들이다.

환 \(\mathbb{Z}_{n}\)에서 \(0\)의 약수는 \(n\)과 서로소가 아닌 \(0\)이 아닌 원소들이다. 즉, \(\{m\in\mathbb{Z}_{n}\,|\,m\,\text{is zero divisor}\}=\{m\in\mathbb{Z}_{n}\,|\,\text{gcd}(m,\,n)=1\}\)

\((\Leftarrow):\) \(m(\neq0)\in\mathbb{Z}_{n}\), \(\text{gcd}(m,\,n)=d\neq1\)이라 하자. 그러면 \(\displaystyle m\left(\frac{n}{d}\right)=\left(\frac{m}{d}\right)n\equiv0\,(\text{mod}\,n)\)이고 \(m\neq0\), \(\displaystyle\frac{n}{d}\neq0\)이다. 그러면 \(m\)은

\(0\)의 약수이고 따라서 \(\{m\in\mathbb{Z}_{n}\,|\,\text{gcd}(m,\,n)\neq1\}\subset\{m\in\mathbb{Z}_{n}\,|\,m\,\text{is zero divisor}\}\)이다.

\((\Rightarrow\):\) \(m\in\mathbb{Z}_{n}\), \(\text{gcd}(m,\,n)=1\)이라 하자. 만약 어떤 \(s\in\mathbb{Z}_{n}\)에 대하여 \(ms=0\)이면, \(ms\)는 \(n\)의 배수이고 \(\text{gcd}(m,\,n)=1\)이기 때문에 \(s\)는 \(n\)의 배수이다. 그러면 \(\mathbb{Z}_{n}\)에서 \(s=0\)이 되고 이는 \(m\)이 \(\mathbb{Z}_{n}\)에서 \(0\)의 약수가 아님을 뜻한다. 따라서 \(\text{gcd}(m,\,n)\neq1\)이고 \(\{m\in\mathbb{Z}_{n}\,|\,m\,\text{is divisor of zero}\}\subset\{m\in\mathbb{Z}_{n}\,|\,\text{gcd}(m,\,n)\neq1\}\)이다.(QED)

위의 결과를 이용하여 임의의 소수 \(p\)에 대하여 \(\mathbb{Z}_{p}\)에 \(0\)의 약수가 없다는 결과를 얻는다.

\(R\)을 환, \(a,\,b,\,c,\in R\)이라 하자. \(ab=ac\,(a\neq0)\)이면, \(b=c\), \(ba=ca\,(a\neq0)\)이면, \(b=c\)가 성립하면, \(R\)이 소거법칙(cancellation law)을 만족한다고 한다.

환 \(R\)에서 소거법칙이 성립할 필요충분조건은 \(R\)이 \(0\)의 약수를 갖지 않는다.

\((\Rightarrow):\) \(R\)에서 소거법칙이 성립한다고 하고 적당한 \(a,\,b\in R\)에 대하여 \(ab=0\)이라 하자.

\(a\neq0\)이면, \(ab=a0\)이므로 \(b=0\)이고, \(b=0\)이면, \(ab=0b\)이므로 \(a=0\)이다. 따라서 \(R\)은 \(0\)의 약수를 갖지 않는다.

\((\Leftarrow)\): \(R\)이 \(0\)의 약수를 갖지 않는다고 하고 \(ab=ac\,(a\neq0)\)이라 하자. 그러면 \(ab-ac=a(b-c)=0\)이고 \(a\neq0\), \(R\)이 \(0\)의 약수를 갖지 않기 때문에 \(b-c=0\)이어야 하고 따라서 \(b=c\)이다. 이와 같은 방법을 이용하여 \(ba=ca\)이면 \(b=c\)가 성립함을 보일 수 있다.(QED)

정역(integral domain) \(D\)는 \(0\)의 약수를 갖지 않는 단위원이 \(1\)인 가환환이다.

\(\mathbb{Z}\)와 \(\mathbb{Z}_{p}\)(\(p\)는 소수)는 정역이고, \(n\)이 소수가 아니면, \(\mathbb{Z}_{n}\)은 정역이 아니다. \(R\), \(S\)가 영환(zero ring)이 아니면, \(R\times S\)는 정역이 아니다. 그 이유는 \(r(\neq0)\in R\), \(s(\neq0)\in S\)에 대하여 \(R\times S\)에서 \((r,\,0)(0,\,s)=(0,\,0)\)이기 때문이다.

\(\mathbb{Z}_{2}\)는 정역이나 \(M_{2}(\mathbb{Z}_{2})\)는 정역이 아니다. 그 이유는$$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$$이기 때문이다.

모든 체 \(F\)는 정역이다.

\(a(\neq0),\,b\in F\)라 하자. \(ab=0\)이면, \(\displaystyle\left(\frac{1}{a}\right)ab=\frac{1}{a}\cdot0=0\)이므로 \(\displaystyle0=\left(\frac{1}{a}\right)ab=\left(\frac{1}{a}\cdot a\right)b=1\cdot b=b\)이고 이는 \(F\)에 \(0\)의 약수가 없음을 뜻한다. 따라서 \(F\)는 정역이다.(QED)

(환, 정역, 체, 가환환, 단위원을 갖는 가환환의 포함관계)

모든 유한정역은 체가 된다.

\(D=\{0,\,1,\,a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n}\}\)를 유한정역이라 하자. 임의의 \(a(\neq0)\in D\)에 대하여 적당한 \(b\in D\)가 존재해서 \(ab=1\)이 됨을 보인다. 임의의 \(a(\neq0)\in D\)에 대하여 \(a1,\,aa_{1},\,\cdots,\,aa_{n}\)은 서로 다른 원소들이다. 만약 \(aa_{i}=aa_{j}\,(i\neq j)\)이면, 소거법칙에 의해 \(a_{i}=a_{j}\)이어야 한다. 또한 \(D\)에는 \(0\)의 약수가 없기 때문에, \(a1,\,aa_{1},\,\cdots,\,aa_{n}\)은 \(0\)이 아닌 \(D\)의 서로 다른 원소들이다. 따라서$$\{0,\,1,\,a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n}\}=\{0,\,a1,\,aa_{1},\,\cdots,\,aa_{n}\}$$이므로 \(a1=1\)이거나 적당한 \(a_{i}\)에 대하여 \(aa_{i}=1\)이고 이는 \(a\)가 곱셈에 대한 역원을 가짐을 뜻한다.(QED) 

위의 결과를 토대로 임의의 소수 \(p\)에 대하여, \(\mathbb{Z}_{p}\)가 체가 됨을 알 수 있다. 왜냐하면 \(\mathbb{Z}_{p}\)는 유한정역이기 때문이다.

\(R\)을 환이라 하자. 임의의 \(a\in R\)에 대하여 적당한 \(n\)이 존재해서 \(na=a+\cdots+a=0\)(\(a\)를 \(n\)번 더함)이면, 이러한 \(n\) 중에서 가장 작은 수를 환 \(R\)의 표수(charcateristic)라고 한다. 이러한 자연수가 존재하지 않을 경우, \(R\)의 표수는 \(0\)으로 정의한다.

\(\mathbb{Z}_{n}\)의 표수는 \(n\)이고, \(\mathbb{Z},\,\mathbb{Q},\,\mathbb{R},\,\mathbb{C}\)의 표수는 \(0\)이다.

환 \(R\)이 단위원을 갖는다고 하자. 모든 \(n\in\mathbb{Z}^{+}\)에 대하여 \(n\cdot1\neq0\)이면, \(R\)의 표수는 \(0\)이고, 적당한 \(n\in\mathbb{Z}^{+}\)에 대하여 \(n\cdot1=0\)이면, \(R\)의 표수는 이러한 \(n\) 중에서 가장 작은 양의 정수이다.

임의의 \(n\in\mathbb{Z}^{+}\)에 대하여 \(n\cdot1\neq0\)이면, 표수의 정의에 의해 \(R\)의 표수는 \(0\)이 된다.

어떤 \(n\in\mathbb{Z}^{+}\)에 대하여 \(n\cdot1=0\)이면, 임의의 \(a\in R\)에 대하여$$n\cdot a=a+\cdots+a=a(1+\cdots+1)=a(n\cdot1)=a\cdot0=0$$이 되므로, 표수의 정의로부터 이러한 \(n\) 중에서 가장 작은 양의 정수가 \(R\)의 표수이다.(QED)   

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley