[현대대수학-군론] 10. 단순군

[현대대수학-군론] 10. 단순군

$G$를 군이라 하자. $G\neq\{e\}$이고, $G$가 비자명 진정규부분군을 갖지 않으면, $G$를 단순군(simple group)이라고 한다.

$\phi:\,G\,\rightarrow\,G'$을 군 준동형사상이라 하자.

(1) $N$이 $G$의 정규부분군이면, $\phi[N]$은 $\phi[G]$의 정규부분군이다.

(2) $N'$이 $\phi[G]$의 정규부분군이면, $\phi^{-1}[N']$은 $G$의 정규부분군이다.

(1): $\phi[N]$은 $\phi[G]$의 부분군이다. $\phi(x)\in\phi[N]$, $\phi(g)\in\phi[G]$라 하자. 그러면 임의의 $g\in G$, $x\in N$에 대하여 $gxg^{-1}\in N$이므로 $\phi(g)\phi(x)\phi(g^{-1})=\phi(gxg^{-1})\in\phi[N]$이므로 임의의 $\phi(g)\in\phi[G]$에 대하여 $\phi(g)\phi[N]\{\phi(g)\}^{-1}\subset\phi[N]$이고 따라서 $\phi[N]$은 $\phi[G]$의 정규부분군이다.

(2): $x\in\phi^{-1}[N']$이라 하자. 그러면 $\phi(x)\in N'$이고, 임의의 $g\in G$에 대하여 $\phi(gxg^{-1})=\phi(g)\phi(x)\{\phi(g)\}^{-1}\subset N'$이다. 그러면 $gxg^{-1}\in\phi^{-1}[N']$이고 따라서 $\phi^{-1}[N]$은 $G$의 정규부분군이다.(QED)

$\phi:\,\mathbb{Z}_{2}\,\rightarrow\,S_{3}$을 $\displaystyle\phi(0)=\rho_{0}=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}$, $\displaystyle\phi(1)=\mu_{1}=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}$로 정의하자. 그러면 $\phi$는 준동형사상이고 $\mathbb{Z}_{2}$는 자신의 정규부분군이나 $\phi[\mathbb{Z}_{2}]=\{\rho_{0},\,\mu_{1}\}$은 $S_{3}$의 정규부분군이 아니다.

$M$을 $G$의 정규부분군이라 하자.$M$과 $G$사이에 어떠한 $G$의 정규부분군이 존재하지 않으면, 즉 $M\subset N\subset G$를 만족하는 $N$이 존재하지 않으면, $M$을 $G$의 극대정규부분군(maximal normal subgroup)이라고 한다.

임의의 소수 $p$에 대하여, $p\mathbb{Z}$는 $\mathbb{Z}$의 극대정규부분군이다.

$G$를 군이라 하자. $M$이 $G$의 극대정규부분군이 될 필요충분조건은 $G/M$이 단순군이다.

$(\Rightarrow)$: $M$을 $G$의 극대정규부분군, $\gamma:\,G\,\rightarrow\,G/M$을 임의의 $x\in G$에 대하여 $\gamma(x)=xM$으로 정의하자. $N'$이 $\{M\}\subset N'\subset G/M,\,M\neq N,\,N\neq G/M$을 만족하는 $G/M$의 정규부분군이면, $\gamma^{-1}[N']$은 $M\subset\gamma^{-1}[N']\subset G$를 만족하는 $G$의 정규부분군이다. 그런데 $M$은 $G$의 극대정규부분군이므로 이는 모순이다. 따라서 $G/M$은 단순군이다.

$(\Leftarrow)$: $N$을 $M\subset N\subset G,\,M\neq N$를 만족하는 $G$의 정규부분군이라 하자. $\gamma[N]$은 $\gamma[G]=G/M$의 정규부분군이고, $\gamma[N]\neq\{M\}(=\{eM\})$이고 $G/M$이 단순군이므로 $\gamma[N]=G/M$이다. 따라서 $N=G$이고 $M$은 $G$의 극대정규부분군이다.(QED) 

$G$를 군이라 하자. $Z(G)=\{z\in G\,|\,zg=gz,\,g\in G\}$를 $G$의 중심(center)이라고 한다. $Z(G)$는 $G$의 아벨(가환)부분군이고 정규부분군이다. 만약 $G$가 아벨군이면, $Z(G)=G$이다.

$G$를 군이라 하자. 임의의 $a,\,b\in G$에 대하여, $aba^{-1}b^{-1}$을 $G$의 교환자(commutator)라고 한다.

$C$를 $\{aba^{-1}b^{-1}\,|\,a,\,b\in G\}$에 의해 생성되는 $G$의 부분군이라 하자.

(1) $C$는 $G$의 정규부분군이고 $G/C$는 아벨군이다.

(2) $G/N$이 아벨군일 필요충분조건은 $C\leq N$이다.

(1): $x\in C$이면, 적당한 $a_{i},\,b_{i}\in G$에 대하여 $x=(a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1})(a_{2}b_{2}a_{2}^{-1}b_{2}^{-1})\cdots(a_{n}b_{n}a_{n}^{-1}b_{n}^{-1})$이고 임의의 $a_{i}b_{i}a_{i}^{-1}b_{i}^{-1}$과 $g\in G$에 대하여 $g^{-1}(a_{i}b_{i}a_{i}^{-1}b_{i}^{-1})g=g^{-1}(a_{i}b_{i}a_{i}^{-1}b_{i}^{-1})g(a_{i}b_{i}a_{i}b_{i})^{-1}(a_{i}b_{i}a_{i}^{-1}b_{i}^{-1})^{-1}\in C$이다. 따라서 임의의 $x\in G$와 $g\in G$에 대하여 $g^{-1}xg=g^{-1}(a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1})gg^{-1}(a_{2}b_{2}a_{2}^{-1}b_{2}^{-1})g\cdots g^{-1}(a_{n}b_{n}a_{n}^{-1}b_{n}^{-1})g\in C$이고 $C$는 $G$의 정규부분군이다.

앞의 결과로부터 임의의 $a,\,b\in G$에 대하여 $$\begin{align*}(aC)(bC)[(bC)(aC)]^{-1}&=[(ab)C][(ba)C]^{-1}=[(ab)C][(ba)^{-1}C]\\&=(aba^{-1}b^{-1})C=C\,(\because\,aba^{-1}b^{-1}\in C)\end{align*}$$ 이고 따라서 임의의 $aC,\,bC\in G/C$에 대하여 $(aC)(bC)=(bC)(aC)$이다.

(2):$(\Rightarrow)$ $G/N$을 아벨군이라 하자. 그러면 임의의 $a,\,b\in G$에 대하여 $(a^{-1}N)(b^{-1}N)=(b^{-1}N)(a^{-1}N)$이고 $abab^{-1}N=N\,(\because(a^{-1}b^{-1})N=(b^{-1}a^{-1})N)$이므로 $aba^{-1}b^{-1}\in N$이고 따라서 $C\leq N$이다.

$(\Leftarrow)$ $C\leq N$이라 하자. 그러면 $(aN)(bN)=(ab)N=ab(b^{-1}a^{-1}ba)N=(ba)N=(bN)(aN)$이고 따라서 $G/N$은 아벨군이다.

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley