[현대대수학-군론] 10. 단순군

[현대대수학-군론] 10. 단순군

\(G\)를 군이라 하자. \(G\neq\{e\}\)이고, \(G\)가 비자명 진정규부분군을 갖지 않으면, \(G\)를 단순군(simple group)이라고 한다.

\(\phi:\,G\,\rightarrow\,G'\)을 군 준동형사상이라 하자.

(1) \(N\)이 \(G\)의 정규부분군이면, \(\phi[N]\)은 \(\phi[G]\)의 정규부분군이다.

(2) \(N'\)이 \(\phi[G]\)의 정규부분군이면, \(\phi^{-1}[N']\)은 \(G\)의 정규부분군이다.

(1): \(\phi[N]\)은 \(\phi[G]\)의 부분군이다. \(\phi(x)\in\phi[N]\), \(\phi(g)\in\phi[G]\)라 하자. 그러면 임의의 \(g\in G\), \(x\in N\)에 대하여 \(gxg^{-1}\in N\)이므로 \(\phi(g)\phi(x)\phi(g^{-1})=\phi(gxg^{-1})\in\phi[N]\)이므로 임의의 \(\phi(g)\in\phi[G]\)에 대하여 \(\phi(g)\phi[N]\{\phi(g)\}^{-1}\subset\phi[N]\)이고 따라서 \(\phi[N]\)은 \(\phi[G]\)의 정규부분군이다.

(2): \(x\in\phi^{-1}[N']\)이라 하자. 그러면 \(\phi(x)\in N'\)이고, 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(\phi(gxg^{-1})=\phi(g)\phi(x)\{\phi(g)\}^{-1}\subset N'\)이다. 그러면 \(gxg^{-1}\in\phi^{-1}[N']\)이고 따라서 \(\phi^{-1}[N]\)은 \(G\)의 정규부분군이다.(QED)

\(\phi:\,\mathbb{Z}_{2}\,\rightarrow\,S_{3}\)을 \(\displaystyle\phi(0)=\rho_{0}=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}\), \(\displaystyle\phi(1)=\mu_{1}=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}\)로 정의하자. 그러면 \(\phi\)는 준동형사상이고 \(\mathbb{Z}_{2}\)는 자신의 정규부분군이나 \(\phi[\mathbb{Z}_{2}]=\{\rho_{0},\,\mu_{1}\}\)은 \(S_{3}\)의 정규부분군이 아니다.

\(M\)을 \(G\)의 정규부분군이라 하자.\(M\)과 \(G\)사이에 어떠한 \(G\)의 정규부분군이 존재하지 않으면, 즉 \(M\subset N\subset G\)를 만족하는 \(N\)이 존재하지 않으면, \(M\)을 \(G\)의 극대정규부분군(maximal normal subgroup)이라고 한다.

임의의 소수 \(p\)에 대하여, \(p\mathbb{Z}\)는 \(\mathbb{Z}\)의 극대정규부분군이다.

\(G\)를 군이라 하자. \(M\)이 \(G\)의 극대정규부분군이 될 필요충분조건은 \(G/M\)이 단순군이다.

\((\Rightarrow)\): \(M\)을 \(G\)의 극대정규부분군, \(\gamma:\,G\,\rightarrow\,G/M\)을 임의의 \(x\in G\)에 대하여 \(\gamma(x)=xM\)으로 정의하자. \(N'\)이 \(\{M\}\subset N'\subset G/M,\,M\neq N,\,N\neq G/M\)을 만족하는 \(G/M\)의 정규부분군이면, \(\gamma^{-1}[N']\)은 \(M\subset\gamma^{-1}[N']\subset G\)를 만족하는 \(G\)의 정규부분군이다. 그런데 \(M\)은 \(G\)의 극대정규부분군이므로 이는 모순이다. 따라서 \(G/M\)은 단순군이다.

\((\Leftarrow)\): \(N\)을 \(M\subset N\subset G,\,M\neq N\)를 만족하는 \(G\)의 정규부분군이라 하자. \(\gamma[N]\)은 \(\gamma[G]=G/M\)의 정규부분군이고, \(\gamma[N]\neq\{M\}(=\{eM\})\)이고 \(G/M\)이 단순군이므로 \(\gamma[N]=G/M\)이다. 따라서 \(N=G\)이고 \(M\)은 \(G\)의 극대정규부분군이다.(QED) 

\(G\)를 군이라 하자. \(Z(G)=\{z\in G\,|\,zg=gz,\,g\in G\}\)를 \(G\)의 중심(center)이라고 한다. \(Z(G)\)는 \(G\)의 아벨(가환)부분군이고 정규부분군이다. 만약 \(G\)가 아벨군이면, \(Z(G)=G\)이다.

\(G\)를 군이라 하자. 임의의 \(a,\,b\in G\)에 대하여, \(aba^{-1}b^{-1}\)을 \(G\)의 교환자(commutator)라고 한다.

\(C\)를 \(\{aba^{-1}b^{-1}\,|\,a,\,b\in G\}\)에 의해 생성되는 \(G\)의 부분군이라 하자.

(1) \(C\)는 \(G\)의 정규부분군이고 \(G/C\)는 아벨군이다.

(2) \(G/N\)이 아벨군일 필요충분조건은 \(C\leq N\)이다.

(1): \(x\in C\)이면, 적당한 \(a_{i},\,b_{i}\in G\)에 대하여 \(x=(a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1})(a_{2}b_{2}a_{2}^{-1}b_{2}^{-1})\cdots(a_{n}b_{n}a_{n}^{-1}b_{n}^{-1})\)이고 임의의 \(a_{i}b_{i}a_{i}^{-1}b_{i}^{-1}\)과 \(g\in G\)에 대하여 \(g^{-1}(a_{i}b_{i}a_{i}^{-1}b_{i}^{-1})g=g^{-1}(a_{i}b_{i}a_{i}^{-1}b_{i}^{-1})g(a_{i}b_{i}a_{i}b_{i})^{-1}(a_{i}b_{i}a_{i}^{-1}b_{i}^{-1})^{-1}\in C\)이다. 따라서 임의의 \(x\in G\)와 \(g\in G\)에 대하여 \(g^{-1}xg=g^{-1}(a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1})gg^{-1}(a_{2}b_{2}a_{2}^{-1}b_{2}^{-1})g\cdots g^{-1}(a_{n}b_{n}a_{n}^{-1}b_{n}^{-1})g\in C\)이고 \(C\)는 \(G\)의 정규부분군이다.

앞의 결과로부터 임의의 \(a,\,b\in G\)에 대하여$$\begin{align*}(aC)(bC)[(bC)(aC)]^{-1}&=[(ab)C][(ba)C]^{-1}=[(ab)C][(ba)^{-1}C]\\&=(aba^{-1}b^{-1})C=C\,(\because\,aba^{-1}b^{-1}\in C)\end{align*}$$이고 따라서 임의의 \(aC,\,bC\in G/C\)에 대하여 \((aC)(bC)=(bC)(aC)\)이다.

(2):\((\Rightarrow)\) \(G/N\)을 아벨군이라 하자. 그러면 임의의 \(a,\,b\in G\)에 대하여 \((a^{-1}N)(b^{-1}N)=(b^{-1}N)(a^{-1}N)\)이고 \(abab^{-1}N=N\,(\because(a^{-1}b^{-1})N=(b^{-1}a^{-1})N)\)이므로 \(aba^{-1}b^{-1}\in N\)이고 따라서 \(C\leq N\)이다.

\((\Leftarrow)\) \(C\leq N\)이라 하자. 그러면 \((aN)(bN)=(ab)N=ab(b^{-1}a^{-1}ba)N=(ba)N=(bN)(aN)\)이고 따라서 \(G/N\)은 아벨군이다.

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley