[현대대수학-군론] 8. 잉여군(2: 준동형사상의 기본정리)

[현대대수학-군론] 8. 잉여군(2: 준동형사상의 기본정리)

\(H\)를 군 \(G\)의 정규부분군이라 하자. 그러면 \(\gamma(x)=xH\)로 정의되는 \(\gamma:\,G\,\rightarrow\,G/H\)는 준동형사상이고 \(\text{Ker}(\gamma)=H\)이다.

\(x,\,y\in G\)라 하자. 그러면 \(\gamma(xy)=(xy)H=(xH)(yH)=\gamma(x)\gamma(y)\)이므로 \(\gamma\)는 준동형사상이다. 또한 \(xH=eH=H\)일 필요충분조건이 \(x\in H\)이므로 \(H=\text{Ker}(\gamma)\)이다.(QED)

(준동형사상의 기본정리, Fundamental Theorem on Homomorphism) \(\phi:\,G\,\rightarrow\,G'\)을 군 준동형사상, \(H=\text{Ker}(\phi)\)라 하자. 그러면 \(\phi[G]\)는 군이고 \(\mu(gH)=\phi(g)\)로 정의되는 사상 \(\mu:\,G/H\,\rightarrow\,\phi[G]\)는 준동형사상이다. \(\gamma:\,G\,\rightarrow\,G/H\)가 \(\gamma(g)=gH\)로 정의되는 준동형사상이면, 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(\phi(g)=\mu(\gamma(g))\)이다.

\(\pi_{1}(x,\,y)=x\)로 정의되는 사상 \(\pi_{1}:\,\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{2}\,\rightarrow\,\mathbb{Z}_{4}\)은 준동형사상이고 \(\text{Ker}(\pi_{1})=\{0\}\times\mathbb{Z}_{2}\)이다. 준동형사상의 기본정리로부터 \(\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{2}/\{0\}\times\mathbb{Z}_{2}\)는 \(\mathbb{Z}_{4}\)와 동형이다.

\(H\)를 군 \(G\)의 부분군이라 하자. 그러면 다음 명제들은 서로 동치이다.

(1) 임의의 \(g\in G\)와 \(h\in H\)에 대하여 \(ghg^{-1}\in H\)이다. 즉 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(gHg^{-1}\subset H\)

(2) 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(gHg^{-1}\in H\).

(3) 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(gH=Hg\)

\((1)\Rightarrow(2)\): 가정에 의해 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(gHg^{-1}\subset H\)이므로 \(H\subset gHg^{-1}\)임을 보이자. 임의의 \(g\in G\)와 \(h\in H\)에 대하여 \(ghg^{-1}\in H\)이므로 \(g^{-1}h(g^{-1})^{-1}\in H\)이고 적당한 \(h_{1}\in H\)에 대하여 \(g^{-1}h(g^{-1})^{-1}=g^{-1}hg=h_{1}\)이다. 그러면 \(h=gh_{1}g^{-1}\in gHg^{-1}\)이고 따라서 \(H\subset gHg^{-1}\)이다. 이렇게 하여 \(gHg^{-1}=H\)임이 증명되었다.

\((2)\Rightarrow(3)\): 임의의 \(g\in H\)에 대하여 \(gHg^{-1}=H\)라 하자. 그러면 적당한 \(h_{1}\in H\)에 대하여 \(ghg^{-1}=h_{1}\)이고 \(gh=h_{1}g\in Hg\)이다. 따라서 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(gH\subset Hg\)이다. 또한 적당한 \(h_{2}\in G\)에 대하여 \(g^{-1}hg=h_{2}\)이므로 \(hg=gh_{2}\in gH\)이고 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(Hg\subset gH\)이다. 이렇게 하여 \(gH=Hg\)임이 증명되었다.

\((3)\Rightarrow(1)\): 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(gH=Hg\)라 하자. 그러면 적당한 \(h_{1}\in G\)에 대하여 \(gh=h_{1}g\)이고 따라서 \(ghg^{-1}=h_{1}\in H\)이다.(QED)

\(G\)를 아벨군, \(H\)를 \(G\)의 부분군이라 하자. 그러면 \(H\)는 \(G\)의 정규부분군인데 그 이유는 임의의 \(g\in G\), \(h\in H\)에 대하여 \(ghg^{-1}=gg^{-1}h=h\in H\)이기 때문이다.    

\(G\)를 군이라 하자. 동형사상 \(\phi:\,G\,\rightarrow\,G\)를 \(G\)의 자기동형사상(automorphism)이라고 한다. 임의의 \(x\in G\)에 대하여 \(i_{g}(x)=gxg^{-1}\)로 정의되는 자기동형사상 \(i_{g}:\,G\,\rightarrow\,G\) \(g\)에 의한 \(G\)의 내부자기동형사상(inner automorphism)이라고 한다. 여기서의 \(i_{g}(x)=gxg^{-1}\)를 \(g\)에 의한 \(x\)의 공액(conjugation)이라고 한다.

참고자료:       

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley