[현대대수학-군론] 8. 잉여군(2: 준동형사상의 기본정리)

[현대대수학-군론] 8. 잉여군(2: 준동형사상의 기본정리)

$H$를 군 $G$의 정규부분군이라 하자. 그러면 $\gamma(x)=xH$로 정의되는 $\gamma:\,G\,\rightarrow\,G/H$는 준동형사상이고 $\text{Ker}(\gamma)=H$이다.

$x,\,y\in G$라 하자. 그러면 $\gamma(xy)=(xy)H=(xH)(yH)=\gamma(x)\gamma(y)$이므로 $\gamma$는 준동형사상이다. 또한 $xH=eH=H$일 필요충분조건이 $x\in H$이므로 $H=\text{Ker}(\gamma)$이다.(QED)

(준동형사상의 기본정리, Fundamental Theorem on Homomorphism) $\phi:\,G\,\rightarrow\,G'$을 군 준동형사상, $H=\text{Ker}(\phi)$라 하자. 그러면 $\phi[G]$는 군이고 $\mu(gH)=\phi(g)$로 정의되는 사상 $\mu:\,G/H\,\rightarrow\,\phi[G]$는 준동형사상이다. $\gamma:\,G\,\rightarrow\,G/H$가 $\gamma(g)=gH$로 정의되는 준동형사상이면, 임의의 $g\in G$에 대하여 $\phi(g)=\mu(\gamma(g))$이다.

$\pi_{1}(x,\,y)=x$로 정의되는 사상 $\pi_{1}:\,\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{2}\,\rightarrow\,\mathbb{Z}_{4}$은 준동형사상이고 $\text{Ker}(\pi_{1})=\{0\}\times\mathbb{Z}_{2}$이다. 준동형사상의 기본정리로부터 $\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{2}/\{0\}\times\mathbb{Z}_{2}$는 $\mathbb{Z}_{4}$와 동형이다.

$H$를 군 $G$의 부분군이라 하자. 그러면 다음 명제들은 서로 동치이다.

(1) 임의의 $g\in G$와 $h\in H$에 대하여 $ghg^{-1}\in H$이다. 즉 임의의 $g\in G$에 대하여 $gHg^{-1}\subset H$

(2) 임의의 $g\in G$에 대하여 $gHg^{-1}\in H$.

(3) 임의의 $g\in G$에 대하여 $gH=Hg$

$(1)\Rightarrow(2)$: 가정에 의해 임의의 $g\in G$에 대하여 $gHg^{-1}\subset H$이므로 $H\subset gHg^{-1}$임을 보이자. 임의의 $g\in G$와 $h\in H$에 대하여 $ghg^{-1}\in H$이므로 $g^{-1}h(g^{-1})^{-1}\in H$이고 적당한 $h_{1}\in H$에 대하여 $g^{-1}h(g^{-1})^{-1}=g^{-1}hg=h_{1}$이다. 그러면 $h=gh_{1}g^{-1}\in gHg^{-1}$이고 따라서 $H\subset gHg^{-1}$이다. 이렇게 하여 $gHg^{-1}=H$임이 증명되었다.

$(2)\Rightarrow(3)$: 임의의 $g\in H$에 대하여 $gHg^{-1}=H$라 하자. 그러면 적당한 $h_{1}\in H$에 대하여 $ghg^{-1}=h_{1}$이고 $gh=h_{1}g\in Hg$이다. 따라서 임의의 $g\in G$에 대하여 $gH\subset Hg$이다. 또한 적당한 $h_{2}\in G$에 대하여 $g^{-1}hg=h_{2}$이므로 $hg=gh_{2}\in gH$이고 임의의 $g\in G$에 대하여 $Hg\subset gH$이다. 이렇게 하여 $gH=Hg$임이 증명되었다.

$(3)\Rightarrow(1)$: 임의의 $g\in G$에 대하여 $gH=Hg$라 하자. 그러면 적당한 $h_{1}\in G$에 대하여 $gh=h_{1}g$이고 따라서 $ghg^{-1}=h_{1}\in H$이다.(QED)

$G$를 아벨군, $H$를 $G$의 부분군이라 하자. 그러면 $H$는 $G$의 정규부분군인데 그 이유는 임의의 $g\in G$, $h\in H$에 대하여 $ghg^{-1}=gg^{-1}h=h\in H$이기 때문이다.    

$G$를 군이라 하자. 동형사상 $\phi:\,G\,\rightarrow\,G$를 $G$의 자기동형사상(automorphism)이라고 한다. 임의의 $x\in G$에 대하여 $i_{g}(x)=gxg^{-1}$로 정의되는 자기동형사상 $i_{g}:\,G\,\rightarrow\,G$ $g$에 의한 $G$의 내부자기동형사상(inner automorphism)이라고 한다. 여기서의 $i_{g}(x)=gxg^{-1}$를 $g$에 의한 $x$의 공액(conjugation)이라고 한다.

참고자료:       

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley