[현대대수학-군론] 6. 준동형사상

[현대대수학-군론] 6. 준동형사상

\(G\)와 \(G'\)을 군이라 하자. 임의의 \(a,\,b\in G\)에 대하여 \(\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\)로 정의되는 사상 \(\phi:\,G\,\rightarrow\,G'\)을 군 준동형사상(group homomorphism)이라고 한다.

임의의 군 \(G\), \(G'\)에 대하여 \(g\in G\), \(e'\)을 \(G'\)에서의 항등원이라 하자. \(\phi(g)=e'\)으로 정의되는 사상 \(\phi:\,G\,\rightarrow\,G'\)은 준동형사상이고 자명 준동형사상(trivial homomorphism)이라고 한다.

\(\phi:\,G\,\rightarrow\,G'\)를 \(G\)에서 \(G'\)위로(onto) 사상하는 군 준동형사상이라 하자. \(G\)가 아벨군이면, \(G'\)도 아벨군이다.

\(a',\,b'\in G\)라 하자. \(\phi\)가 위로이기 때문에 \(a,\,b\in G\)가 존재해서 \(\phi(a)=a'\), \(\phi(b)=b'\)이고$$a'b'=\phi(a)\phi(b)=\phi(ab)=\phi(ba)=\phi(b)\phi(a)=b'a'$$이다.

\(F=\{f\,|\,f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\}\)을 실함수들의 덧셈군, \(\mathbb{R}\)을 실수들의 덧셈군, \(c\in\mathbb{R}\)이라 하자. \(\phi_{c}:\,F\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 임의의 \(f\in F\)에 대하여 \(\phi_{c}(f)=f(c)\)로 정의하면 임의의 \(f,\,g\in F\)에 대하여$$\phi_{c}(f+g)=(f+g)(c)=f(c)+g(c)=\phi_{c}(f)+\phi_{c}(g)$$이므로 \(\phi_{c}\)는 준동형사상이고 이를 대입 준동형사상(evaluation homomorphism)이라고 한다.     

\(F=C([a,\,b])\)를 구간 \([a,\,b]\)에서 연속인 함수들의 덧셈군, \(\mathbb{R}\)을 실수들의 덧셈군이라 하자. \(I:\,F\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 임의의 \(f\in F\)에 대하여$$I(f)=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$로 정의하면 임의의 \(f,\,g\in F\)에 대하여$$I(f+g)=\int_{a}^{b}{(f+g)(x)dx}=\int_{a}^{b}{[f(x)+g(x)]dx}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\int_{a}^{b}{g(x)dx}=I(f)+I(g)$$이므로 \(I\)는 준동형사상이다.

\(\phi:\,X\,\rightarrow\,Y\)를 사상, \(A\subset X\), \(B\subset Y\)라 하자. \(\phi[A]=\{\phi(a)\,|\,a\in A\}\)를 \(\phi\)에 의한 \(Y\)에서의 \(A\)의 상(image of \(A\) in \(Y\) under \(\phi\)), \(\phi^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,\phi(x)\in B\}\)를 \(X\)에서의 \(B\)의 역상(inverse image of \(B\) in \(X\))이다.

\(G\), \(G'\)을 군, \(\phi:\,G\,\rightarrow\,G'\)을 군 준동형사상이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(\phi(e)=e'\)(\(e\)는 \(G\)에서의 항등원, \(e'\)은 \(G'\)에서의 항등원) 

2. 임의의 \(a\in G\)에 대하여 \(\phi(a^{-1})=[\phi(a)]^{-1}\)

3. \(H\leq G\)이면, \(\phi[H]\leq G'\)

4. \(K'\leq G'\)이면, \(\phi^{-1}[K']\leq G\)

1부터 보이자. 임의의 \(a\in G\)에 대하여 \(\phi(a)=\phi(ae)=\phi(a)\phi(e)\)이고 따라서 \(\phi(e)=e'\)이다.

2를 보이면 \(\phi(a)\phi(a^{-1})=\phi(aa^{-1})=\phi(e)=e'\)이므로 따라서 \(\phi(a^{-1})=[\phi(a)]^{-1}\)이다.

3에서 \(x,\,y\in\phi[H]\)라 하자. \(a,\,b\in H\)가 존재해서 \(\phi(a)=x\), \(\phi(b)=y\)이다. 그러면$$xy^{-1}=\phi(a)[\phi(b)]^{-1}=\phi(a)\phi(b^{-1})=\phi(ab^{-1})\in\phi[H]$$이므로 \(\phi[H]\leq G'\)이다.

4에서 \(a,\,b\in\phi^{-1}[K]\)라 하자. 그러면 \(\phi(a),\,\phi(b)\in K'\)이고$$\phi(ab^{-1})=\phi(a)\phi(b^{-1})=\phi(a)[\phi(b)]^{-1}$$인데 \(K'\leq G'\)이기 때문에 \(\phi(a)[\phi(b)]^{-1}\in K'\)이다. 따라서 \(\phi(ab^{-1})\in K'\)이고 \(ab^{-1}\in\phi^{-1}[K']\)이다.(QED)

\(\phi:\,G\,\rightarrow\,G'\)를 군 준동형사상이라 하자. \(\text{Ker}(\phi)=\phi^{-1}[\{e'\}]=\{x\in G\,|\,\phi(x)=e'\}\)를 \(\phi\)의 핵(kernel)이라고 한다. 

\(\phi:\,G\,\rightarrow\,G'\)를 군 준동형사상, \(H=\text{Ker}(\phi)\), \(a\in G\)라 하자. 그러면$$\phi^{-1}[\{\phi(a)\}]=\{x\in G\,|\,\phi(x)=\phi(a)\}=aH=Ha$$가 성립한다.

먼저 \(\{x\in G\,|\,\phi(x)=\phi(a)\}\subset aH\)가 성립함을 보이자. \(\phi(x)=\phi(a)\)라 하자. 그러면 \([\phi(a)]^{-1}\phi(x)=e'\)이므로 \(\phi(a^{-1})\phi(x)=\phi(a^{-1}x)=e'\)이고 여기서 \(e'\)은 \(G'\)에서의 항등원이다. \(a^{-1}x\in H=\text{Ker}(\phi)\)이고 적당한 \(h\in H\)에 대하여 \(a^{-1}x=h\)이다. 따라서 \(x=ah\in aH\)이다.

마지막으로 \(\{x\in G\,|\,\phi(x)=\phi(a)\}\supset aH\)가 성립함을 보이자. \(y\in aH\)라 하자. 그러면 적당한 \(h\in H\)에 대하여 \(y=ah\)이고$$\phi(y)=\phi(ah)=\phi(a)\phi(h)=\phi(a)e'=\phi(a)$$이므로 \(y\in\{x\in G\,|\,\phi(x)=\phi(a)\}\)이다.(QED)

\(\phi:\,G\,\rightarrow\,G'\)를 군 준동형사상이라 하자. \(\phi\)가 일대일(1-1)일 필요충분조건은 \(\text{Ker}(\phi)=\{e\}\)이다.

\((\Leftarrow)\): \(\text{Ker}(\phi)=\{e\}\)라 하자. \(\phi(a)=\phi(b)\)이면 \(e'=\phi(a)[\phi(b)]^{-1}=\phi(ab^{-1})\)이고 \(ab^{-1}\in\text{Ker}(\phi)=\{e\}\)이므로 \(ab^{-1}=e\)이고 \(a=b\)이다. \(\phi\)가 일대일임이 증명되었다.

\((\Rightarrow)\): \(\phi\)가 일대일이고 \(\phi(e)=e'\)이므로 \(\text{Ker}(\phi)=\{e\}\)이다.(QED)

\(G\)를 군, \(H\leq G\)라 하자. 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(gH=Hg\)이면, \(H\)를 \(G\)의 정규부분군(normal subgroup)이라고 한다.

\(\phi:\,G\,\rightarrow\,G'\)가 군 준동형사상일 때, \(\text{Ker}(\phi)\)는 \(G\)의 정규부분군이다.         

참고자료

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Freleigh, Addison Wesley