[현대대수학-군론] 6. 준동형사상

[현대대수학-군론] 6. 준동형사상

$G$와 $G'$을 군이라 하자. 임의의 $a,\,b\in G$에 대하여 $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$로 정의되는 사상 $\phi:\,G\,\rightarrow\,G'$을 군 준동형사상(group homomorphism)이라고 한다.

임의의 군 $G$, $G'$에 대하여 $g\in G$, $e'$을 $G'$에서의 항등원이라 하자. $\phi(g)=e'$으로 정의되는 사상 $\phi:\,G\,\rightarrow\,G'$은 준동형사상이고 자명 준동형사상(trivial homomorphism)이라고 한다.

$\phi:\,G\,\rightarrow\,G'$를 $G$에서 $G'$위로(onto) 사상하는 군 준동형사상이라 하자. $G$가 아벨군이면, $G'$도 아벨군이다.

$a',\,b'\in G$라 하자. $\phi$가 위로이기 때문에 $a,\,b\in G$가 존재해서 $\phi(a)=a'$, $\phi(b)=b'$이고 $$a'b'=\phi(a)\phi(b)=\phi(ab)=\phi(ba)=\phi(b)\phi(a)=b'a'$$ 이다.

$F=\{f\,|\,f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\}$을 실함수들의 덧셈군, $\mathbb{R}$을 실수들의 덧셈군, $c\in\mathbb{R}$이라 하자. $\phi_{c}:\,F\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 임의의 $f\in F$에 대하여 $\phi_{c}(f)=f(c)$로 정의하면 임의의 $f,\,g\in F$에 대하여 $$\phi_{c}(f+g)=(f+g)(c)=f(c)+g(c)=\phi_{c}(f)+\phi_{c}(g)$$ 이므로 $\phi_{c}$는 준동형사상이고 이를 대입 준동형사상(evaluation homomorphism)이라고 한다.     

$F=C([a,\,b])$를 구간 $[a,\,b]$에서 연속인 함수들의 덧셈군, $\mathbb{R}$을 실수들의 덧셈군이라 하자. $I:\,F\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 임의의 $f\in F$에 대하여 $$I(f)=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$ 로 정의하면 임의의 $f,\,g\in F$에 대하여 $$I(f+g)=\int_{a}^{b}{(f+g)(x)dx}=\int_{a}^{b}{[f(x)+g(x)]dx}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\int_{a}^{b}{g(x)dx}=I(f)+I(g)$$ 이므로 $I$는 준동형사상이다.

$\phi:\,X\,\rightarrow\,Y$를 사상, $A\subset X$, $B\subset Y$라 하자. $\phi[A]=\{\phi(a)\,|\,a\in A\}$를 $\phi$에 의한 $Y$에서의 $A$의 상(image of $A$ in $Y$ under $\phi$), $\phi^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,\phi(x)\in B\}$를 $X$에서의 $B$의 역상(inverse image of $B$ in $X$)이다.

$G$, $G'$을 군, $\phi:\,G\,\rightarrow\,G'$을 군 준동형사상이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. $\phi(e)=e'$($e$는 $G$에서의 항등원, $e'$은 $G'$에서의 항등원) 

2. 임의의 $a\in G$에 대하여 $\phi(a^{-1})=[\phi(a)]^{-1}$

3. $H\leq G$이면, $\phi[H]\leq G'$

4. $K'\leq G'$이면, $\phi^{-1}[K']\leq G$

1부터 보이자. 임의의 $a\in G$에 대하여 $\phi(a)=\phi(ae)=\phi(a)\phi(e)$이고 따라서 $\phi(e)=e'$이다.

2를 보이면 $\phi(a)\phi(a^{-1})=\phi(aa^{-1})=\phi(e)=e'$이므로 따라서 $\phi(a^{-1})=[\phi(a)]^{-1}$이다.

3에서 $x,\,y\in\phi[H]$라 하자. $a,\,b\in H$가 존재해서 $\phi(a)=x$, $\phi(b)=y$이다. 그러면 $$xy^{-1}=\phi(a)[\phi(b)]^{-1}=\phi(a)\phi(b^{-1})=\phi(ab^{-1})\in\phi[H]$$ 이므로 $\phi[H]\leq G'$이다.

4에서 $a,\,b\in\phi^{-1}[K]$라 하자. 그러면 $\phi(a),\,\phi(b)\in K'$이고 $$\phi(ab^{-1})=\phi(a)\phi(b^{-1})=\phi(a)[\phi(b)]^{-1}$$ 인데 $K'\leq G'$이기 때문에 $\phi(a)[\phi(b)]^{-1}\in K'$이다. 따라서 $\phi(ab^{-1})\in K'$이고 $ab^{-1}\in\phi^{-1}[K']$이다.(QED)

$\phi:\,G\,\rightarrow\,G'$를 군 준동형사상이라 하자. $\text{Ker}(\phi)=\phi^{-1}[\{e'\}]=\{x\in G\,|\,\phi(x)=e'\}$를 $\phi$의 핵(kernel)이라고 한다. 

$\phi:\,G\,\rightarrow\,G'$를 군 준동형사상, $H=\text{Ker}(\phi)$, $a\in G$라 하자. 그러면 $$\phi^{-1}[\{\phi(a)\}]=\{x\in G\,|\,\phi(x)=\phi(a)\}=aH=Ha$$ 가 성립한다.

먼저 $\{x\in G\,|\,\phi(x)=\phi(a)\}\subset aH$가 성립함을 보이자. $\phi(x)=\phi(a)$라 하자. 그러면 $[\phi(a)]^{-1}\phi(x)=e'$이므로 $\phi(a^{-1})\phi(x)=\phi(a^{-1}x)=e'$이고 여기서 $e'$은 $G'$에서의 항등원이다. $a^{-1}x\in H=\text{Ker}(\phi)$이고 적당한 $h\in H$에 대하여 $a^{-1}x=h$이다. 따라서 $x=ah\in aH$이다.

마지막으로 $\{x\in G\,|\,\phi(x)=\phi(a)\}\supset aH$가 성립함을 보이자. $y\in aH$라 하자. 그러면 적당한 $h\in H$에 대하여 $y=ah$이고 $$\phi(y)=\phi(ah)=\phi(a)\phi(h)=\phi(a)e'=\phi(a)$$ 이므로 $y\in\{x\in G\,|\,\phi(x)=\phi(a)\}$이다.(QED)

$\phi:\,G\,\rightarrow\,G'$를 군 준동형사상이라 하자. $\phi$가 일대일(1-1)일 필요충분조건은 $\text{Ker}(\phi)=\{e\}$이다.

$(\Leftarrow)$: $\text{Ker}(\phi)=\{e\}$라 하자. $\phi(a)=\phi(b)$이면 $e'=\phi(a)[\phi(b)]^{-1}=\phi(ab^{-1})$이고 $ab^{-1}\in\text{Ker}(\phi)=\{e\}$이므로 $ab^{-1}=e$이고 $a=b$이다. $\phi$가 일대일임이 증명되었다.

$(\Rightarrow)$: $\phi$가 일대일이고 $\phi(e)=e'$이므로 $\text{Ker}(\phi)=\{e\}$이다.(QED)

$G$를 군, $H\leq G$라 하자. 임의의 $g\in G$에 대하여 $gH=Hg$이면, $H$를 $G$의 정규부분군(normal subgroup)이라고 한다.

$\phi:\,G\,\rightarrow\,G'$가 군 준동형사상일 때, $\text{Ker}(\phi)$는 $G$의 정규부분군이다.         

참고자료

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Freleigh, Addison Wesley