[현대대수학-군론] 3. 치환군

[현대대수학-군론] 3. 치환군

공집합이 아닌 집합 \(A\)에 대하여 전단사함수 \(\sigma:\,A\,\rightarrow\,A\)를 집합 \(A\)의 치환(permutation, 순열)이라고 한다. 집합 \(A=\{1,\,2,\,\cdots,\,n\}\)에 대하여 치환 \(\sigma:\,A\,\rightarrow\,A\)는 다음과 같이 정의된다.$$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\ \sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}$$

예를들어 집합 \(A=\{1,\,2,\,3,\,4,\,5\}\)에 대하여$$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&5&3&1\end{pmatrix},\,\tau=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&5&4&2&1\end{pmatrix}$$로 정의된 \(\sigma\), \(\tau\)는 \(A\)의 치환이고 이때 \(\sigma(3)=5\), \(\tau(4)=2\)이다. 앞에서의 집합 \(A\)에 대한 항등치환 \(1_{A}\)를 다음과 같이 정의한다.$$1_{A}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&2&3&4&5\end{pmatrix}$$\(A\)의 치환들을 모은 집합을 \(S_{A}\)라 하자. 임의의 치환 \(\sigma,\,\tau\in S_{A}\)에 대하여 \(\sigma\), \(\tau\)의 합성 \(\sigma\circ\tau\)를 치환곱(permutation multiplication, 간단히 곱)이라 하고 \(\sigma\cdot\tau\)로 나타낸다. 즉 \(\sigma\circ\tau=\sigma\cdot\tau\)이다. 이때 \(\sigma\cdot\tau\)는 \(A\)의 치환이다. 즉 \(\sigma\cdot\tau\in S_{A}\)이다. 그 이유를 살펴보자. 우선 \(\sigma\cdot\tau=\sigma\circ\tau\)는 \(A\)에서 \(A\)로의 사상이다. 그 다음으로 \(\sigma\cdot\tau\)가 일대일이고 위로(onto)임을 보여야 한다.

(일대일): \((\sigma\cdot\tau)(a_{1})=(\sigma\cdot\tau)(a_{2})\,(a_{1},\,a_{2}\in A)\)라 하자. 그러면 \(\sigma(\tau(a_{1}))=\sigma(\tau(a_{2}))\)이고 \(\sigma\)와 \(\tau\)가 전단사이기 때문에 \(\tau(a_{1})=\tau(a_{2})\)이고 \(a_{1}=a_{2}\)이다. 그러므로 \(\sigma\cdot\tau\)는 일대일이다.

(위로, onto): \(a\in A\)라 하자. 그러면 \(\sigma\)와 \(\tau\)가 전단사이기 때문에 \(\sigma\)와 \(\tau\)는 위로이고 \(a',\,a''\in A\)가 존재해서 \(\sigma(a')=a\), \(\tau(a'')=a'\)이다. 그러므로 \(a=\sigma(a')=\sigma(\tau(a''))\)이고 따라서 \(\sigma\cdot\tau\)는 위로(onto)이다. (QED)

앞에서 언급했던 집합 \(A=\{1,\,2,\,3,\,4,\,5\}\)와 치환 \(\sigma\), \(\tau\)에 대하여$$\sigma\cdot\tau=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&5&3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&5&4&2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&1&3&2&4\end{pmatrix}$$이다. 왜냐하면 \(\tau(1)=3\), \(\tau(2)=5\), \(\tau(3)=4\), \(\tau(4)=2\), \(\tau(5)=1\)이므로$$\sigma(\tau(1))=\sigma(3)=5,\,\sigma(\tau(2))=\sigma(5)=1,\,\sigma(\tau(3))=\sigma(4)=3,\,\sigma(\tau(4))=\sigma(2)=2,\,\sigma(\tau(5))=\sigma(1)=4$$이기 때문이다.     

집합 \(A\)의 모든 치환들의 집합 \(S_{A}\)는 치환곱 연산에서 군을 이룬다.

앞에서 치환 \(\sigma\)와 \(\tau\)의 치환곱 \(\sigma\cdot\tau\)가 다시 \(S_{A}\)의 원소가 됨은 앞에서 보였다. 치환곱은 합성이고 합성은 결합법칙이 성립한다. 또한 \(S_{A}\)에는 항등원인 항등치환 \(1_{A}\)가 존재하며 치환이 전단사이기 때문에 그 역함수가 존재한다.(QED)

\(A=\{1,\,2,\,\cdots,\,n\}\)에 대하여 \(A\)의 모든 치환들의 군을 \(n\)개 문자에 대한 대칭군(symmetric group on \(n\) letters)이라 하고 이를 \(S_{n}\)으로 나타낸다. 이때 \(|S_{n}|=n!\)인데 이는 \(n\)개의 원소를 갖는 집합 \(A\)에 대하여 \(A\)에서 \(A\)로의 일대일 대응의 갯수와 같다. 

\(S_{3}=\{\rho_{0},\,\rho_{1},\,\rho_{2},\,\mu_{1},\,\mu_{2},\,\mu_{3}\}\)이고 여기서$$\rho_{0}=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix},\,\rho_{1}=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix},\,\rho_{2}=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}\\ \mu_{1}=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix},\,\mu_{2}=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix},\,\mu_{3}=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}$$이다.

집합 \(A\), \(B\)에 대하여 \(H\subset A\), \(f:\,A\,\rightarrow\,B\)라 하자. \(f\)에 의한 \(H\)의 상(image)을 \(f[H]=\{f(h)\,|\,h\in H\}\)로 나타낸다.

\(G\)와 \(G'\)을 군이라 하고, \(\phi:\,G\,\rightarrow\,G'\)를 일대일 준동형사상이라 하자. 그러면 \(\phi[G]\)는 \(G'\)의 부분군이고 \(G\)와 동형이다.

\(x,\,y\in\phi[G]\)라 하자. 그러면 \(a,\,b\in G\)가 존재해서 \(\phi(a)=x\), \(\phi(b)=y\)이다. \([\phi(a)]^{-1}=\phi(a^{-1})\)가 성립함을 보이자. \(\phi(a)\phi(a^{-1})=\phi(aa^{-1})=\phi(e)=e'\)(\(\phi[G]\)에서의 항등원)이므로 \([\phi(a)]^{-1}=\phi(a^{-1})\)이다. 그러면 \(xy^{-1}=\phi(a)[\phi(b)]^{-1}=\phi(a)\phi(b^{-1})=\phi(ab^{-1})\)이고 따라서 \(xy^{-1}\in\phi[G]\)이므로 \(\phi[G]\)는 \(G'\)의 부분군이다.

\(\phi\)가 일대일 준동형사상이므로 동형사상이고 따라서 \(G\)와 \(\phi[G]\)는 동형이다.(QED)

(케일리 정리) 모든 군은 치환군에 동형이다.

\(G\)를 군이라 하자. \(x\in G\)에 대하여 \(\lambda_{x}:\,G\,\rightarrow\,G\)를 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(\lambda_{x}(g)=xg\)로 정의하자. 그러면 \(\lambda_{x}\)는 \(G\)의 한 치환이다. 

(일대일): \(a,\,b\in G\)에 대하여 \(\lambda_{x}(a)=\lambda_{x}(b)\)라 하자. 그러면 \(xa=xb\)이고 \(a=b\)이다.

(위로, onto): 임의의 \(c\in G\)에 대하여 \(x^{-1}c\in G\)가 존재해서 \(\lambda_{x}(x^{-1}c)=x(x^{-1}c)=(xx^{-1})c=c\)이다.

이제 임의의 \(x\in G\)에 대하여 \(\phi:\,G\,\rightarrow\,S_{G}\)를 \(\phi(x)=\lambda x\)로 정의하자. 그러면 \(\phi\)는 일대일 준동형사상이다.

(일대일): 임의의 \(x,\,y\in G\)에 대하여 \(\phi(x)=\phi(y)\)라 하자. 그러면 \(\lambda_{x}=\lambda_{y}\)이고 \(\lambda_{x}(e)=\lambda_{y}(e)\)이므로 \(xe=ye\)이고 따라서 \(x=y\)이다.

(준동형사상): 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(\lambda_{xy}(g)=(xy)(g)=x(yg)=\lambda_{x}(\lambda_{y}(g))\)이다. 그러면 \(\lambda_{xy}=\lambda_{x}\lambda_{y}\)이고 따라서 \(\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)\)이다.

앞의 결과로부터 \(\phi[G]\)는 \(S_{G}\)의 부분군이고 따라서 \(G\)와 \(\phi[G]\)는 동형이다.(QED) 

참고자료:          

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Freleigh, Addison Wesley