[현대대수학-군론] 2. 군과 부분군

[현대대수학-군론] 2. 군과 부분군

이항구조 $\langle G,\,*\rangle$가 다음의 공리들을 만족하면 군(group)이라고 한다. 

1.(결합법칙) 임의의 $a,\,b,\,c\in G$에 대하여 $(a*b)*c=a*(b*c)$.

2.(항등원) 임의의 $x\in G$에 대하여 $e*x=x*e=x$를 만족하는 $e\in G$가 존재한다.

3.(역원) $a\in G$에 대하여 $a'*a=a*a'=e$를 만족하는 $a'\in G$이 존재한다.

군 $G$에서 이항연산 $*$가 가환이면 군 $G$를 아벨군(Abelian group)이라고 한다.  

집합 $U_{n}=\{z\in\mathbb{C}\,|\,z^{n}=1\}$에 대하여 이항구조 $\langle U_{n},\,\cdot\rangle$는 군이다. 그 이유는 복소수의 곱셈은 결합적이고 곱셈에 대한 항등원 $1$은 $U_{n}$의 원소이며, 또한 임의의 $z^{k}\in U_{n}\,(k=0,\,1,\,\cdots,\,n-1)$에 대하여 $z^{k}\cdot z^{n-k}=z^{n-k}\cdot z^{k}=z^{n}=1$이므로 $U_{n}$의 모든 원소들이 역원을 가진다.

자연수 전체의 집합 $\mathbb{N}$에 대하여 $\langle\mathbb{N},\,+\rangle$와 $\langle\mathbb{N},\,\cdot\rangle$는 군이 아니다. 왜냐하면 덧셈에 대한 항등원과 역원이 존재하지 않고, 곱셈에 대한 항등원은 존재하나 역원이 존재하지 않기 때문이다.   

군을 나타낼 때, 편의상 연산 $*$를 사용하지 않고 간단히 $G$로 나타내고 필요하다면 연산 $*$를 표시한다.

좌우소거법칙(left and right cancellation laws): 군 $\langle G,\,*\rangle$의 임의의 $a,\,b,\,c\in G$에 대하여 $a*b=a*c$이면 $b=c$이고, $b*a=c*a$이면 $b=c$이다.

$a$는 역원 $a'$을 가지므로 등식 $a*b=a*c$와 $b*a=c*a$의 왼쪽과 오른쪽에 $a'$을 연산해주면 $b=c$를 얻는다.(QED)

$\langle G,\,*\rangle$를 군이라고 하자. $a,\,b\in G$이면, 방정식 $a*x=b$, $y*a=b$는 $G$상에서 유일한 근을 갖는다.

$a$의 역원을 $a'$이라고 하면 $x=a'*(a*x)=a'*b$, $y=(y*a)*a'=b*a'$이다.(QED)

(항등원과 역원의 유일성): $\langle G,\,*\rangle$를 군이라고 하자. 이 군에서의 항등원과 역원은 유일하다.

이미 항등원의 유일성을 보였기 때문에 역원의 유일성만 보이면 된다. $a'$과 $a''$을 $a\in G$의 역원이라고 하자. 그러면 $a'*a=a*a'=e$, $a''*a=a*a''=e$이므로 $a*a'=a*a''=e$이고 $a'=a''$이다. 따라서 역원은 유일하다.(QED)

곱셈을 연산으로 갖는 군에서 항등원을 $a^{0}=e$, 역원을 $a^{-1}$, 덧셈을 연산으로 갖는 군에서 항등원을 $0a=0$, 역원을 $-a$로 나타낸다. 이때 $a^{-1}$과 $-a$를 $n$번 연산한 것을 다음과 같이 나타낸다. $$a^{-1}a^{-1}\cdots a^{-1}=a^{-n}\\(-a)+(-a)+\cdots+(-a)=-na$$ 여기서 $n\in\mathbb{Z}$이다.  

군 $G$의 원소의 개수를 $G$의 위수(order)라 하고 $|G|$로 나타낸다. 즉 $\text{card}(G)=|G|$ 이다. 

군 $\langle G,\,*\rangle$에서 $G$의 부분집합 $H(\neq\phi)$가 $G$에서의 연산 $*$에 대하여 군이 되면, $H$를 군 $G$의 부분군(subgroup)이라고 하고 이를 $H\leq G$ 또는 $G\geq H$로 나타낸다. 이때 $H<G$ 또는 $G>H$는 $H\leq G$이면서 $H\neq G$를 의미한다.

군 $G$에서 부분군 $G$ 자신은 비진부분군(improper subgroup), 다른 부분군은 진부분군(proper subgroup), 부분군 $\{e\}$는 $G$의 자명부분군(trivial subgroup)이라고 하고, 다른 모든 부분군은 비자명부분군(nontrivial subgroup)이다.

군 $G$의 부분집합 $H$가 부분군일 필요충분조건은 임의의 $a,\,b\in H$에 대하여 $ab^{-1}\in H$인 것이다. 원명제 "$H$가 $G$의 부분군이면 $ab^{-1}\in H$"는 분명하기 때문에 역을 증명하자. $a\in H$와 $G$에서의 항등원 $e$에 대하여 $e=aa^{-1}\in H$이므로 $a^{-1}=ea^{-1}\in H$이고, 따라서 $H$는 $G$의 부분군이다.(QED) 

 

$F=\{f\in C(\mathbb{R})\,|\,f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\}$, $G=\{f\in C^{(1)}(\mathbb{R})\,|\,f\in F\}$라 하자. 여기서 $C(\mathbb{R})$과 $C^{(1)}(\mathbb{R})$은 각각 실수 전체를 정의역으로 갖는 연속함수들의 집합, 미분가능한 함수들의 집합이다. $\langle F,\,+\rangle$와 $\langle G,\,+\rangle$는 각각 군이고 $\langle G,\,+\rangle$는 $\langle F,\,+\rangle$의 부분군이다. 즉 $\langle G,\,+\rangle\leq\langle F,\,+\rangle$.

$G$를 군, $a\in G$라 하자. 그러면 $H=\{a^{n}\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$는 $G$의 부분군이고, 이 부분군은 $a$를 포함하는 가장 작은 부분군이다. 즉, $a$를 포함하는 모든 부분군은 $H$를 포함한다.

이를 증명하면 모든 $r,\,s\in\mathbb{Z}$에 대하여 $a^{r}a^{s}=a^{r+s}$이므로 $H$의 두 원소의 $G$에서의 연산은 $H$의 원소가 되고 따라서 $H$는 $G$의 연산에 대해 닫혀있다. 또한 $e=a^{0}\in H$이고 $a^{r}\in H$에 대하여 $a^{-r}\in H$이므로 $e=a^{-r}a^{r}=a^{r}a^{-r}\in H$이다. 그러므로 $H\leq G$이다.(QED)

이 정리의 부분군 $H$를 $a$에 의해 생성된(generated by $a$) $G$의 순환부분군(cyclic subgroup)이라고 하고 이를 $\langle a\rangle$로 나타낸다. 여기서 $\langle a\rangle=G$이면, $a$가 $G$를 생성한다고 하고 $a$를 $G$의 생성원(generator)이라 한다. $G$를 생성하는 $a\in G$가 존재하면 $G$를 순환군(cyclic subgroup)이라고 한다. 

$G$의 순환부분군 $\langle a\rangle$가 유한하면, $|\langle a\rangle|$는 $a$의 위수(order) 이고 무한한 경우에는 무한위수(infinite order)라고 한다. $a\in G$가 유한위수 $m$을 가지면, $m$은 $a^{m}=e$인 최소의 양의 정수(자연수)이다.

*여기서부터 자연수를 양의 정수 $\mathbb{Z}^{+}$라고 하겠다.

  

$\mathbb{Z}_{n}$은 모든 정수를 $n$으로 나눈 나머지들의 집합이다. 그러면 $\mathbb{Z}_{4}=\{0,\,1,\,2,\,3\}$이고 $\langle\mathbb{Z}_{4},\,+\rangle$는 순환군이다. 왜냐하면 $\langle1\rangle=\langle3\rangle=\mathbb{Z}_{4}$이기 때문이다. (참고: $\mathbb{Z}_{4}$에서 $1+3=2+2=4=0$, $2+3=5=1$, $3+3=6=2$, $3+3+1=3+2+2=7=3$)

$H\leq G$, $K\leq G$이면, $H\cap K\leq G$이다. $x,\,y\in H\cap K$라 하자. 그러면 $x,\,y\in H$, $x,\,y\in K$이고 $xy^{-1}\in H$, $xy^{-1}\in K$이다. 따라서 $xy^{-1}\in H\cap K$이고 앞의 결과로부터 $H\cap K\leq G$이다. (QED)

$G$를 군, $a\in G$라 하자. 집합 $H_{a}=\{x\in G\,|\,xa=ax\}$는 $G$의 부분군이다. $x,\,y\in H_{a}$라 하자. $y\in H_{a}$이므로 $ya=ay$이고 $yay^{-1}=a$가 되어 $ay^{-1}=y^{-1}a$이다. 따라서 $(xy^{-1})a=x(y^{-1}a)=x(ay^{-1})$이고 $xy^{-1}\in H_{a}$이다.(QED)

비자명 진부분군을 갖지 않는 군은 순환군이다. $a(\neq e)\in G$라 하자. $\langle a\rangle=\{a^{n}\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$는 $G$의 부분군이다. $a\neq e$이기 때문에 $\langle a\rangle\neq\{e\}$이고 따라서 $G=\langle a\rangle$이다. 이는 $\langle a\rangle$가 순환군임을 나타낸다.(QED)

모든 순환군은 가환이다. 그 이유는 $G$를 순환군이라 하고 $a$를 $G$의 생성원이라고 하면 $G=\langle a\rangle=\{a^{n}\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$이고 $g_{1},\,g_{2}\in G$에 대하여 $r,\,s\in\mathbb{Z}$가 존재해서 $g_{1}=a^{r}$, $g_{2}=a^{s}$이며 $$g_{1}g_{2}=a^{r}a^{s}=a^{r+s}=a^{s+r}=a^{s}a^{r}=g_{2}g_{1}$$ 이다.(QED)

순환군의 성질을 증명할 때, 다음의 나눗셈 알고리즘이 사용된다. 이에 대한 증명은 하지 않겠다.

$m\in\mathbb{Z}^{+}$이고, $n\in\mathbb{Z}$이면, $q,\,r\in\mathbb{Z}$가 유일하게 존재해서 $$n=mq+r\,(0\leq r<m)$$ 이다. 여기서 $n$을 $m$으로 나누었을 때 $q$를 몫(quotient)이라 하고, $r$은 나머지(remainder)라고 한다.

순환군의 부분군은 순환군이다. 이를 보이기 위해 $G=\langle a\rangle$를 순환군, $H\leq G$라 하자. $H=\{e\}$이면, $H=\langle e\rangle$는 순환군이고 $H\neq\{e\}$이면, 어떤 $n\in\mathbb{Z}^{+}$에 대하여 $a^{n}\in H$이다. $m\in\mathbb{Z}^{+}$을 $a^{m}\in H$가 되게 하는 최소의 수라 하자. 그러면 $H=\langle a^{m}\rangle$이고 $H$는 순환군이다. 이를 밝히자. $\langle a\rangle\subset H$임은 분명하다. $H\subset\langle a\rangle$임을 보이자. $b\in H$라 하면 $b\in H\leq G$이기 때문에 어떤 $n\in\mathbb{Z}^{+}$에 대하여 $b=a^{n}$이다. 이때 나눗셈 알고리즘으로부터 정수 $q$와 $0\leq r<m$이 존재해서 $n=mq+r$이다. 그러면 $a^{n}=a^{mq+r}=(a^{m})^{q}a^{r}$이고 $a^{r}=(a^{m})^{-q}a^{n}$이다. 이때 $a^{m},\,a^{n}\in H$이고 $H$가 군이기 때문에 $a^{r}=(a^{m})^{-q}a^{n}\in H$이고 $m$이 $a^{m}\in H$가 되게 하는 최소의 정수이고 $0\leq r<m$이기 때문에 $r=0$이고 $n=mq$이다. 그러면 $b=a^{n}=a^{mq}=(a^{m})^{q}\in\langle a^{m}\rangle$이고 따라서 $H\subset\langle a\rangle$이다.(QED)

위의 결과를 이용하여 $H$가 $\langle\mathbb{Z},\,+\rangle$의 부분군일 때, 어떤 $n\in\mathbb{Z}^{+}$에 대하여 $H=n\mathbb{Z}$가 됨을 보일 수 있다. 여기서 $n\mathbb{Z}$는 $n$의 배수 전체의 집합을 나타낸다. 즉, $n\mathbb{Z}=\{kn\,|\,k\in\mathbb{Z}\}$ 

양의 정수 $r$, $s$에 대하여 덧셈 연산에 대한 순환군 $H=\{nr+ms\,|\,n,\,m\in\mathbb{Z}\}$의 생성원 $d$를 $r$과 $s$의 최대공약수(greatest common divisor, gcd)라 하고 이를 $d=\text{gcd}(r,\,s)$로 나타낸다.

$G=\langle a\rangle$를 순환군이라고 하자. $G$의 위수가 무한이면 $G$는 $\langle\mathbb{Z},\,+\rangle$와 동형이고, 유한위수 $n$을 가지면, $G$는 $\langle\mathbb{Z}_{n},\,+_{n}\rangle$과 동형이다.

(1) $G$의 위수가 무한이라고 하자. 그러면 모든 $m\in\mathbb{Z}^{+}$에 대하여 $a^{m}\neq e$이고 모든 $h\neq k$에 대하여 $a^{h}\neq a^{k}$이다. 만약 $h>k$이고 $a^{h}=a^{k}$이면, $a^{h}a^{-k}=a^{h-k}=e$가 되어 $h\neq k$라는 사실에 모순이다. 이 사실로부터 $G$의 모든 원소들을 유일한 $m\in\mathbb{Z}$에 대하여 $a^{m}$으로 나타낼 수 있고, $\phi(a^{i})=i$로 정의되는 사상 $\phi:\,G\,\rightarrow\,\mathbb{Z}$는 잘 정의되고 일대일이며 $\mathbb{Z}$위로 사상한다. 또한 $\phi(a^{i}a^{j})=\phi(a^{i+j})=i+j=\phi(a^{i})+\phi(a^{j})$이므로 $\phi$는 동형사상이고 따라서 $G$와 $\langle\mathbb{Z},\,+\rangle$는 동형이다.

(2) $G$가 유한위수 $n$을 갖는다고 하자. 그러면 $n$은 $a^{n}=e$인 최소의 양의 정수이다. 이때 $s\in\mathbb{Z}$이고 $s=nq+r\,(0\leq r<n)$이면, $a^{s}=a^{nq+r}=(a^{n})^{q}a^{r}=e^{q}a^{r}=a^{r}$이다. 만약 $0<k<h<n$이고 $a^{h}=a^{k}$이면, $a^{h-k}=e$가 되는데 이는 $0<h-k<n$이라는 사실에 모순이다. 따라서 $e=a^{0},\,a^{1},\,a^{2},\,\cdots,\,a^{n-1}$은 서로 다른 원소들이다. $\psi(a^{i})=i$로 정의되는 사상 $\psi:\,G\,\rightarrow\,\mathbb{Z}_{n}$는 잘 정의되고 일대일이며 $\mathbb{Z}_{n}$위로 사상한다. 또한 $\psi(a^{i}a^{j})=i+_{n}+j=\psi(a^{i})+_{n}\psi(a^{j})$이므로 $\psi$는 동형사상이고 따라서 $G$와 $\langle\mathbb{Z}_{n},\,+_{n}\rangle$는 동형이다.(QED)

$G$를 $a\in G$에 의해 생성되는 위수가 $n$인 순환군이라 하고 $b=a^{s}\in G$라 하자. 그러면 $b$는 $G$의 부분군 $H$를 생성하고 이때 $\displaystyle|H|=\frac{n}{d}$, $d=\text{gcd}(n,\,s)$이다. 또한 $\langle a^{s}\rangle=\langle a^{t}\rangle$일 필요충분조건은 $\text{gcd}(s,\,n)=\text{gcd}(t,\,n)$이다.

$b$가 $H$를 생성함은 분명하므로 $\displaystyle|H|=\frac{n}{d}$임을 보이자. $b=a^{s}$이므로 $b^{m}=e$일 필요충분조건은 $(a^{s})^{m}=e$이거나 $n|ms$($n$이 $ms$를 나눔)이어야 한다. $d=\text{gcd}(s,\,n)$이라 하자. 그러면 $u,\,v\in\mathbb{Z}$가 존재해서 $d=un+vs$이고 $d$는 $n$과 $s$의 최대공약수이므로 $\displaystyle1=u\left(\frac{n}{d}\right)+v\left(\frac{s}{d}\right)$로 나타낼 수 있다. 이 식은 $\displaystyle\frac{n}{d}$와 $\displaystyle\frac{s}{d}$의 최대공약수가 $1$임을 뜻하고 따라서 $\displaystyle\frac{n}{d}$와 $\displaystyle\frac{s}{d}$는 서로소이다. $$\frac{ms}{n}=\frac{m\left(\frac{s}{d}\right)}{\left(\frac{n}{d}\right)}$$ 가 정수가 되게 하는 가장 작은 정수 $m$을 찾자. 이때 $\displaystyle\frac{n}{d}$와 $\displaystyle\frac{s}{d}$는 서로소이므로 $\displaystyle\frac{n}{d}$는 $m$을 나누어야 한다. 따라서 $\displaystyle|H|=m=\frac{n}{d}$이다. "$\langle a^{s}\rangle=\langle a^{t}\rangle$일 필요충분조건은 $\text{gcd}(s,\,n)=\text{gcd}(t,\,n)$"에 대한 증명은 생략하겠다.(QED)

$G=\langle a\rangle$이고 $|G|=n$이면, $G=\langle a^{r}\rangle$이고 이때 $\text{gcd}(r,\,n)=1$이다. 이는 위의 정리의 결과이다.  

   

$\mathbb{Z}_{18}=\langle1\rangle$의 위수는 $|\mathbb{Z}_{18}|=18$이다. $b=3=1^{3}$, $H=\langle3\rangle=\langle1^{3}\rangle$라 하자. 그러면 $\langle3\rangle=\{0,\,3,\,6,\,9,\,12,\,15\}$이므로 $\displaystyle|H|=|\langle3\rangle|=\frac{18}{\text{gcd}(3,\,18)}=\frac{18}{3}=6$이다. $\mathbb{Z}_{18}$의 생성원은 $18$과 서로소인 $1,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17$이다. $18$의 약수인 $2,\,3,\,6,\,9$에 대하여 $\langle2\rangle=\{0,\,2,\,4,\,6,\,8,\,10,\,12,\,14,\,16\}$, $\langle3\rangle=\{0,\,3,\,6,\,9,\,12,\,15\}$, $\langle6\rangle=\{0,\,6,\,12\}$, $\langle9\rangle=\{0,\,9\}$이다.  

참고자료

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Freleigh, Addison Wesley

현대대수학 8판, 김응태, 박승안, 경문사