[현대대수학-군론] 2. 군과 부분군

[현대대수학-군론] 2. 군과 부분군

이항구조 \(\langle G,\,*\rangle\)가 다음의 공리들을 만족하면 군(group)이라고 한다. 

1.(결합법칙) 임의의 \(a,\,b,\,c\in G\)에 대하여 \((a*b)*c=a*(b*c)\).

2.(항등원) 임의의 \(x\in G\)에 대하여 \(e*x=x*e=x\)를 만족하는 \(e\in G\)가 존재한다.

3.(역원) \(a\in G\)에 대하여 \(a'*a=a*a'=e\)를 만족하는 \(a'\in G\)이 존재한다.

군 \(G\)에서 이항연산 \(*\)가 가환이면 군 \(G\)를 아벨군(Abelian group)이라고 한다.  

집합 \(U_{n}=\{z\in\mathbb{C}\,|\,z^{n}=1\}\)에 대하여 이항구조 \(\langle U_{n},\,\cdot\rangle\)는 군이다. 그 이유는 복소수의 곱셈은 결합적이고 곱셈에 대한 항등원 \(1\)은 \(U_{n}\)의 원소이며, 또한 임의의 \(z^{k}\in U_{n}\,(k=0,\,1,\,\cdots,\,n-1)\)에 대하여 \(z^{k}\cdot z^{n-k}=z^{n-k}\cdot z^{k}=z^{n}=1\)이므로 \(U_{n}\)의 모든 원소들이 역원을 가진다.

자연수 전체의 집합 \(\mathbb{N}\)에 대하여 \(\langle\mathbb{N},\,+\rangle\)와 \(\langle\mathbb{N},\,\cdot\rangle\)는 군이 아니다. 왜냐하면 덧셈에 대한 항등원과 역원이 존재하지 않고, 곱셈에 대한 항등원은 존재하나 역원이 존재하지 않기 때문이다.   

군을 나타낼 때, 편의상 연산 \(*\)를 사용하지 않고 간단히 \(G\)로 나타내고 필요하다면 연산 \(*\)를 표시한다.

좌우소거법칙(left and right cancellation laws): 군 \(\langle G,\,*\rangle\)의 임의의 \(a,\,b,\,c\in G\)에 대하여 \(a*b=a*c\)이면 \(b=c\)이고, \(b*a=c*a\)이면 \(b=c\)이다.

\(a\)는 역원 \(a'\)을 가지므로 등식 \(a*b=a*c\)와 \(b*a=c*a\)의 왼쪽과 오른쪽에 \(a'\)을 연산해주면 \(b=c\)를 얻는다.(QED)

\(\langle G,\,*\rangle\)를 군이라고 하자. \(a,\,b\in G\)이면, 방정식 \(a*x=b\), \(y*a=b\)는 \(G\)상에서 유일한 근을 갖는다.

\(a\)의 역원을 \(a'\)이라고 하면 \(x=a'*(a*x)=a'*b\), \(y=(y*a)*a'=b*a'\)이다.(QED)

(항등원과 역원의 유일성): \(\langle G,\,*\rangle\)를 군이라고 하자. 이 군에서의 항등원과 역원은 유일하다.

이미 항등원의 유일성을 보였기 때문에 역원의 유일성만 보이면 된다. \(a'\)과 \(a''\)을 \(a\in G\)의 역원이라고 하자. 그러면 \(a'*a=a*a'=e\), \(a''*a=a*a''=e\)이므로 \(a*a'=a*a''=e\)이고 \(a'=a''\)이다. 따라서 역원은 유일하다.(QED)

곱셈을 연산으로 갖는 군에서 항등원을 \(a^{0}=e\), 역원을 \(a^{-1}\), 덧셈을 연산으로 갖는 군에서 항등원을 \(0a=0\), 역원을 \(-a\)로 나타낸다. 이때 \(a^{-1}\)과 \(-a\)를 \(n\)번 연산한 것을 다음과 같이 나타낸다.$$a^{-1}a^{-1}\cdots a^{-1}=a^{-n}\\(-a)+(-a)+\cdots+(-a)=-na$$여기서 \(n\in\mathbb{Z}\)이다.  

군 \(G\)의 원소의 개수를 \(G\)의 위수(order)라 하고 \(|G|\)로 나타낸다. 즉 \(\text{card}(G)=|G|\) 이다. 

군 \(\langle G,\,*\rangle\)에서 \(G\)의 부분집합 \(H(\neq\phi)\)가 \(G\)에서의 연산 \(*\)에 대하여 군이 되면, \(H\)를 군 \(G\)의 부분군(subgroup)이라고 하고 이를 \(H\leq G\) 또는 \(G\geq H\)로 나타낸다. 이때 \(H<G\) 또는 \(G>H\)는 \(H\leq G\)이면서 \(H\neq G\)를 의미한다.

군 \(G\)에서 부분군 \(G\) 자신은 비진부분군(improper subgroup), 다른 부분군은 진부분군(proper subgroup), 부분군 \(\{e\}\)는 \(G\)의 자명부분군(trivial subgroup)이라고 하고, 다른 모든 부분군은 비자명부분군(nontrivial subgroup)이다.

군 \(G\)의 부분집합 \(H\)가 부분군일 필요충분조건은 임의의 \(a,\,b\in H\)에 대하여 \(ab^{-1}\in H\)인 것이다. 원명제 "\(H\)가 \(G\)의 부분군이면 \(ab^{-1}\in H\)"는 분명하기 때문에 역을 증명하자. \(a\in H\)와 \(G\)에서의 항등원 \(e\)에 대하여 \(e=aa^{-1}\in H\)이므로 \(a^{-1}=ea^{-1}\in H\)이고, 따라서 \(H\)는 \(G\)의 부분군이다.(QED) 

 

\(F=\{f\in C(\mathbb{R})\,|\,f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\}\), \(G=\{f\in C^{(1)}(\mathbb{R})\,|\,f\in F\}\)라 하자. 여기서 \(C(\mathbb{R})\)과 \(C^{(1)}(\mathbb{R})\)은 각각 실수 전체를 정의역으로 갖는 연속함수들의 집합, 미분가능한 함수들의 집합이다. \(\langle F,\,+\rangle\)와 \(\langle G,\,+\rangle\)는 각각 군이고 \(\langle G,\,+\rangle\)는 \(\langle F,\,+\rangle\)의 부분군이다. 즉 \(\langle G,\,+\rangle\leq\langle F,\,+\rangle\).

\(G\)를 군, \(a\in G\)라 하자. 그러면 \(H=\{a^{n}\,|\,n\in\mathbb{Z}\}\)는 \(G\)의 부분군이고, 이 부분군은 \(a\)를 포함하는 가장 작은 부분군이다. 즉, \(a\)를 포함하는 모든 부분군은 \(H\)를 포함한다.

이를 증명하면 모든 \(r,\,s\in\mathbb{Z}\)에 대하여 \(a^{r}a^{s}=a^{r+s}\)이므로 \(H\)의 두 원소의 \(G\)에서의 연산은 \(H\)의 원소가 되고 따라서 \(H\)는 \(G\)의 연산에 대해 닫혀있다. 또한 \(e=a^{0}\in H\)이고 \(a^{r}\in H\)에 대하여 \(a^{-r}\in H\)이므로 \(e=a^{-r}a^{r}=a^{r}a^{-r}\in H\)이다. 그러므로 \(H\leq G\)이다.(QED)

이 정리의 부분군 \(H\)를 \(a\)에 의해 생성된(generated by \(a\)) \(G\)의 순환부분군(cyclic subgroup)이라고 하고 이를 \(\langle a\rangle\)로 나타낸다. 여기서 \(\langle a\rangle=G\)이면, \(a\)가 \(G\)를 생성한다고 하고 \(a\)를 \(G\)의 생성원(generator)이라 한다. \(G\)를 생성하는 \(a\in G\)가 존재하면 \(G\)를 순환군(cyclic subgroup)이라고 한다. 

\(G\)의 순환부분군 \(\langle a\rangle\)가 유한하면, \(|\langle a\rangle|\)는 \(a\)의 위수(order) 이고 무한한 경우에는 무한위수(infinite order)라고 한다. \(a\in G\)가 유한위수 \(m\)을 가지면, \(m\)은 \(a^{m}=e\)인 최소의 양의 정수(자연수)이다.

*여기서부터 자연수를 양의 정수 \(\mathbb{Z}^{+}\)라고 하겠다.

  

\(\mathbb{Z}_{n}\)은 모든 정수를 \(n\)으로 나눈 나머지들의 집합이다. 그러면 \(\mathbb{Z}_{4}=\{0,\,1,\,2,\,3\}\)이고 \(\langle\mathbb{Z}_{4},\,+\rangle\)는 순환군이다. 왜냐하면 \(\langle1\rangle=\langle3\rangle=\mathbb{Z}_{4}\)이기 때문이다. (참고: \(\mathbb{Z}_{4}\)에서 \(1+3=2+2=4=0\), \(2+3=5=1\), \(3+3=6=2\), \(3+3+1=3+2+2=7=3\))

\(H\leq G\), \(K\leq G\)이면, \(H\cap K\leq G\)이다. \(x,\,y\in H\cap K\)라 하자. 그러면 \(x,\,y\in H\), \(x,\,y\in K\)이고 \(xy^{-1}\in H\), \(xy^{-1}\in K\)이다. 따라서 \(xy^{-1}\in H\cap K\)이고 앞의 결과로부터 \(H\cap K\leq G\)이다. (QED)

\(G\)를 군, \(a\in G\)라 하자. 집합 \(H_{a}=\{x\in G\,|\,xa=ax\}\)는 \(G\)의 부분군이다. \(x,\,y\in H_{a}\)라 하자. \(y\in H_{a}\)이므로 \(ya=ay\)이고 \(yay^{-1}=a\)가 되어 \(ay^{-1}=y^{-1}a\)이다. 따라서 \((xy^{-1})a=x(y^{-1}a)=x(ay^{-1})\)이고 \(xy^{-1}\in H_{a}\)이다.(QED)

비자명 진부분군을 갖지 않는 군은 순환군이다. \(a(\neq e)\in G\)라 하자. \(\langle a\rangle=\{a^{n}\,|\,n\in\mathbb{Z}\}\)는 \(G\)의 부분군이다. \(a\neq e\)이기 때문에 \(\langle a\rangle\neq\{e\}\)이고 따라서 \(G=\langle a\rangle\)이다. 이는 \(\langle a\rangle\)가 순환군임을 나타낸다.(QED)

모든 순환군은 가환이다. 그 이유는 \(G\)를 순환군이라 하고 \(a\)를 \(G\)의 생성원이라고 하면 \(G=\langle a\rangle=\{a^{n}\,|\,n\in\mathbb{Z}\}\)이고 \(g_{1},\,g_{2}\in G\)에 대하여 \(r,\,s\in\mathbb{Z}\)가 존재해서 \(g_{1}=a^{r}\), \(g_{2}=a^{s}\)이며$$g_{1}g_{2}=a^{r}a^{s}=a^{r+s}=a^{s+r}=a^{s}a^{r}=g_{2}g_{1}$$이다.(QED)

순환군의 성질을 증명할 때, 다음의 나눗셈 알고리즘이 사용된다. 이에 대한 증명은 하지 않겠다.

\(m\in\mathbb{Z}^{+}\)이고, \(n\in\mathbb{Z}\)이면, \(q,\,r\in\mathbb{Z}\)가 유일하게 존재해서$$n=mq+r\,(0\leq r<m)$$이다. 여기서 \(n\)을 \(m\)으로 나누었을 때 \(q\)를 몫(quotient)이라 하고, \(r\)은 나머지(remainder)라고 한다.

순환군의 부분군은 순환군이다. 이를 보이기 위해 \(G=\langle a\rangle\)를 순환군, \(H\leq G\)라 하자. \(H=\{e\}\)이면, \(H=\langle e\rangle\)는 순환군이고 \(H\neq\{e\}\)이면, 어떤 \(n\in\mathbb{Z}^{+}\)에 대하여 \(a^{n}\in H\)이다. \(m\in\mathbb{Z}^{+}\)을 \(a^{m}\in H\)가 되게 하는 최소의 수라 하자. 그러면 \(H=\langle a^{m}\rangle\)이고 \(H\)는 순환군이다. 이를 밝히자. \(\langle a\rangle\subset H\)임은 분명하다. \(H\subset\langle a\rangle\)임을 보이자. \(b\in H\)라 하면 \(b\in H\leq G\)이기 때문에 어떤 \(n\in\mathbb{Z}^{+}\)에 대하여 \(b=a^{n}\)이다. 이때 나눗셈 알고리즘으로부터 정수 \(q\)와 \(0\leq r<m\)이 존재해서 \(n=mq+r\)이다. 그러면 \(a^{n}=a^{mq+r}=(a^{m})^{q}a^{r}\)이고 \(a^{r}=(a^{m})^{-q}a^{n}\)이다. 이때 \(a^{m},\,a^{n}\in H\)이고 \(H\)가 군이기 때문에 \(a^{r}=(a^{m})^{-q}a^{n}\in H\)이고 \(m\)이 \(a^{m}\in H\)가 되게 하는 최소의 정수이고 \(0\leq r<m\)이기 때문에 \(r=0\)이고 \(n=mq\)이다. 그러면 \(b=a^{n}=a^{mq}=(a^{m})^{q}\in\langle a^{m}\rangle\)이고 따라서 \(H\subset\langle a\rangle\)이다.(QED)

위의 결과를 이용하여 \(H\)가 \(\langle\mathbb{Z},\,+\rangle\)의 부분군일 때, 어떤 \(n\in\mathbb{Z}^{+}\)에 대하여 \(H=n\mathbb{Z}\)가 됨을 보일 수 있다. 여기서 \(n\mathbb{Z}\)는 \(n\)의 배수 전체의 집합을 나타낸다. 즉, \(n\mathbb{Z}=\{kn\,|\,k\in\mathbb{Z}\}\) 

양의 정수 \(r\), \(s\)에 대하여 덧셈 연산에 대한 순환군 \(H=\{nr+ms\,|\,n,\,m\in\mathbb{Z}\}\)의 생성원 \(d\)를 \(r\)과 \(s\)의 최대공약수(greatest common divisor, gcd)라 하고 이를 \(d=\text{gcd}(r,\,s)\)로 나타낸다.

\(G=\langle a\rangle\)를 순환군이라고 하자. \(G\)의 위수가 무한이면 \(G\)는 \(\langle\mathbb{Z},\,+\rangle\)와 동형이고, 유한위수 \(n\)을 가지면, \(G\)는 \(\langle\mathbb{Z}_{n},\,+_{n}\rangle\)과 동형이다.

(1) \(G\)의 위수가 무한이라고 하자. 그러면 모든 \(m\in\mathbb{Z}^{+}\)에 대하여 \(a^{m}\neq e\)이고 모든 \(h\neq k\)에 대하여 \(a^{h}\neq a^{k}\)이다. 만약 \(h>k\)이고 \(a^{h}=a^{k}\)이면, \(a^{h}a^{-k}=a^{h-k}=e\)가 되어 \(h\neq k\)라는 사실에 모순이다. 이 사실로부터 \(G\)의 모든 원소들을 유일한 \(m\in\mathbb{Z}\)에 대하여 \(a^{m}\)으로 나타낼 수 있고, \(\phi(a^{i})=i\)로 정의되는 사상 \(\phi:\,G\,\rightarrow\,\mathbb{Z}\)는 잘 정의되고 일대일이며 \(\mathbb{Z}\)위로 사상한다. 또한 \(\phi(a^{i}a^{j})=\phi(a^{i+j})=i+j=\phi(a^{i})+\phi(a^{j})\)이므로 \(\phi\)는 동형사상이고 따라서 \(G\)와 \(\langle\mathbb{Z},\,+\rangle\)는 동형이다.

(2) \(G\)가 유한위수 \(n\)을 갖는다고 하자. 그러면 \(n\)은 \(a^{n}=e\)인 최소의 양의 정수이다. 이때 \(s\in\mathbb{Z}\)이고 \(s=nq+r\,(0\leq r<n)\)이면, \(a^{s}=a^{nq+r}=(a^{n})^{q}a^{r}=e^{q}a^{r}=a^{r}\)이다. 만약 \(0<k<h<n\)이고 \(a^{h}=a^{k}\)이면, \(a^{h-k}=e\)가 되는데 이는 \(0<h-k<n\)이라는 사실에 모순이다. 따라서 \(e=a^{0},\,a^{1},\,a^{2},\,\cdots,\,a^{n-1}\)은 서로 다른 원소들이다. \(\psi(a^{i})=i\)로 정의되는 사상 \(\psi:\,G\,\rightarrow\,\mathbb{Z}_{n}\)는 잘 정의되고 일대일이며 \(\mathbb{Z}_{n}\)위로 사상한다. 또한 \(\psi(a^{i}a^{j})=i+_{n}+j=\psi(a^{i})+_{n}\psi(a^{j})\)이므로 \(\psi\)는 동형사상이고 따라서 \(G\)와 \(\langle\mathbb{Z}_{n},\,+_{n}\rangle\)는 동형이다.(QED)

\(G\)를 \(a\in G\)에 의해 생성되는 위수가 \(n\)인 순환군이라 하고 \(b=a^{s}\in G\)라 하자. 그러면 \(b\)는 \(G\)의 부분군 \(H\)를 생성하고 이때 \(\displaystyle|H|=\frac{n}{d}\), \(d=\text{gcd}(n,\,s)\)이다. 또한 \(\langle a^{s}\rangle=\langle a^{t}\rangle\)일 필요충분조건은 \(\text{gcd}(s,\,n)=\text{gcd}(t,\,n)\)이다.

\(b\)가 \(H\)를 생성함은 분명하므로 \(\displaystyle|H|=\frac{n}{d}\)임을 보이자. \(b=a^{s}\)이므로 \(b^{m}=e\)일 필요충분조건은 \((a^{s})^{m}=e\)이거나 \(n|ms\)(\(n\)이 \(ms\)를 나눔)이어야 한다. \(d=\text{gcd}(s,\,n)\)이라 하자. 그러면 \(u,\,v\in\mathbb{Z}\)가 존재해서 \(d=un+vs\)이고 \(d\)는 \(n\)과 \(s\)의 최대공약수이므로 \(\displaystyle1=u\left(\frac{n}{d}\right)+v\left(\frac{s}{d}\right)\)로 나타낼 수 있다. 이 식은 \(\displaystyle\frac{n}{d}\)와 \(\displaystyle\frac{s}{d}\)의 최대공약수가 \(1\)임을 뜻하고 따라서 \(\displaystyle\frac{n}{d}\)와 \(\displaystyle\frac{s}{d}\)는 서로소이다.$$\frac{ms}{n}=\frac{m\left(\frac{s}{d}\right)}{\left(\frac{n}{d}\right)}$$가 정수가 되게 하는 가장 작은 정수 \(m\)을 찾자. 이때 \(\displaystyle\frac{n}{d}\)와 \(\displaystyle\frac{s}{d}\)는 서로소이므로 \(\displaystyle\frac{n}{d}\)는 \(m\)을 나누어야 한다. 따라서 \(\displaystyle|H|=m=\frac{n}{d}\)이다. "\(\langle a^{s}\rangle=\langle a^{t}\rangle\)일 필요충분조건은 \(\text{gcd}(s,\,n)=\text{gcd}(t,\,n)\)"에 대한 증명은 생략하겠다.(QED)

\(G=\langle a\rangle\)이고 \(|G|=n\)이면, \(G=\langle a^{r}\rangle\)이고 이때 \(\text{gcd}(r,\,n)=1\)이다. 이는 위의 정리의 결과이다.  

   

\(\mathbb{Z}_{18}=\langle1\rangle\)의 위수는 \(|\mathbb{Z}_{18}|=18\)이다. \(b=3=1^{3}\), \(H=\langle3\rangle=\langle1^{3}\rangle\)라 하자. 그러면 \(\langle3\rangle=\{0,\,3,\,6,\,9,\,12,\,15\}\)이므로 \(\displaystyle|H|=|\langle3\rangle|=\frac{18}{\text{gcd}(3,\,18)}=\frac{18}{3}=6\)이다. \(\mathbb{Z}_{18}\)의 생성원은 \(18\)과 서로소인 \(1,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17\)이다. \(18\)의 약수인 \(2,\,3,\,6,\,9\)에 대하여 \(\langle2\rangle=\{0,\,2,\,4,\,6,\,8,\,10,\,12,\,14,\,16\}\), \(\langle3\rangle=\{0,\,3,\,6,\,9,\,12,\,15\}\), \(\langle6\rangle=\{0,\,6,\,12\}\), \(\langle9\rangle=\{0,\,9\}\)이다.  

참고자료

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Freleigh, Addison Wesley

현대대수학 8판, 김응태, 박승안, 경문사