[현대대수학-군론] 1. 이항연산

[현대대수학-군론] 1. 이항연산

집합 \(S\)에서의 이항연산(binary operator) \(*\)는 \(S\times S\)에서 \(S\)로의 사상이다. 즉$$*:\,S\times S\,\rightarrow\,S$$이고 임의의 \((a,\,b)\in S\times S\)에 대하여 \(*\)에 의해 대응된 \(*((a,\,b))\in S\)를 \(a*b\)로 나타낸다. \(S\)의 부분집합을 \(H\)라 하자. 임의의 \(a,\,b\in H\)에 대하여 \(a*b\in H\)이면, \(H\)는 \(*\)에 대해 닫혀있다(closed)고 한다.  

\(M(\mathbb{R})\)을 실수 성분을 갖는 모든 행렬들의 집합이라고 하자. \(M(R)\)의 원소들은 일반적으로 크기가 제각각이기 때문에 임의의 \(A,\,B\in M(\mathbb{R})\)에 대하여 행렬의 덧셈이 정의되지 않는다. 그러므로 행렬의 덧셈 \(+\)는 이 집합에서의 이항연산이 아니다. 그러나 

\(M_{m\times n}(\mathbb{R})\)을 실수 성분을 갖는 모든 \(m\times n\)행렬들의 집합이라고 할 때, 행렬의 덧셈은 이 집합에서의 이항연산이 된다.

\(\mathbb{R}^{*}=\mathbb{R}-\{0\}\)이라 하자. 임의의 \(a,\,b\in\mathbb{R}^{*}\)는 \(0\)이 아니기 때문에 곱셈 \(\times\)은 이 집합에서의 이항연산이지만 덧셈 \(+\)는 아니다. 왜냐하면 \(1+(-1)=0\notin\mathbb{R}^{*}\)이기 때문이다. 

집합 \(S\) 에서 정의된 이항연선 \(*\)가 가환(commutative, 교환법칙이 성립)이기 위한 필요충분조건은 임의의 \(a,\,b\in S\)에 대하여 \(a*b=b*a\)가 성립하는 것이고, 결합적(associative, 결합법칙이 성립)이기 위한 필요충분조건은 임의의 \(a,\,b,\,c\in S\)에 대하여 \((a*b)*c=a*(b*c)\)가 성립하는 것이다.

실수 \(\mathbb{R}\)과 복소수 \(\mathbb{C}\)는 각각 덧셈에 대해서 가환이고 결합적이다.  

집합 \(S\)에서의 이항연산 \(*\)를 정의하기 위해서는 다음이 성립하는지 확인해야 한다.

1. \(S\)의 원소들의 각 순서쌍에 단 하나의 원소와 대응되어야 한다.

2. 1에서 대응한 원소는 \(S\)의 원소이다.

1을 만족하지 않으면 \(*\)는 잘 정의되지 않는다(not well-defined)라고 한다. 1을 만족하지 않는 상태에서는 2의 성립여부는 아무런 의미가 없다. 1을 만족하는데 2를 만족하지 않으면, \(S\)는 \(*\)에 대해 닫혀있지 않다(not closed)고 한다.

유리수 \(\mathbb{Q}\)에서의 이항연산을 임의의 \(a,\,b\in\mathbb{Q}\)에 대하여 \(\displaystyle a*b=\frac{a}{b}\)라 하자. 그러면 순서쌍 \((4,\,0)\)에 대응하는 유리수가 존재하지 않기 때문에 \(*\)는 잘 정의되지 않는다. 여기서 유리수 전체의 집합 \(\mathbb{Q}\) 대신 \(\mathbb{Q}^{*}=\mathbb{Q}-\{0\}\) 또는 \(\mathbb{Q}^{+}\)(양의 유리수 전체의 집합)으로 바꾸면 \(*\)는 1과 2를 만족하므로 \(*\)는 이 두 집합에서의 이항연산이 된다. 

집합 \(S\)와 \(S\)상에서 정의된 이항연산 \(*\)에 대하여 순서쌍 \(\langle S,\,*\rangle\)를 이항 대수적 구조(binary algebraic structure)라고 한다. 

두 이항구조 \(\langle S,\,*\rangle\)와 \(\langle S',\,*'\rangle\)에 대하여 이 두 이항구조가 구조적으로 같기 위해서는 \(x\in S\)와 \(x'\in S'\)사이에$$\text{만약}\,x\leftrightarrow x',\,y\leftrightarrow y'\text{이면,}\,x*y\leftrightarrow x'*y'$$인 일대일 대응관계를 가져야 한다. 

이항 대수적 구조 \(\langle S,\,*\rangle\)와 \(\langle S',\,*'\rangle\)에 대하여 \(\phi:\,S\,\rightarrow\,S'\)를 정의하자. 준동형사상 성질(homomorphism property)을 다음과 같이 정의한다.$$\text{모든}\,x,\,y\in S\text{에 대하여}\,\phi(x*y)=\phi(x)*'\phi(y)$$여기서 위의 성질을 만족하는 함수 \(\phi\)를 준동형사상(homomorphism)이라고 하며 \(\phi\)가 일대일이면, \(\phi\)를 동형사상(isomorphism) 이라고 한다. 이때 \(S\)와 \(S'\)는 동형 이항구조(isomorphic binary structure)이고 \(S\simeq S'\)로 나타낸다.

실수 또는 복소수집합(또는 유리수, 정수집합)의 원소 \(a\), \(b\)에 대하여 덧셈 \(+_{c}\)를 \(c\)를 법으로 하는 덧셈(addition modulo \(2\pi\))이라 하고 \(a+b-c\)로 정의한다. 이것을 쉽게 말하자면 \(a+b\)를 \(c\)로 나눈 나머지이다.  

집합 \(U_{n}=\{z\in\mathbb{C}\,|\,z^{n}=1\}\)의 원소들은$$z=\cos\left(\frac{2m\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{2m\pi}{n}\right)\,(m=0,\,1,\,\cdots,\,n-1,\,i=\sqrt{-1})$$이고, \(\mathbb{Z}_{n}\)을 임의의 정수를 자연수 \(n\)으로 나눈 나머지라고 하면,$$\mathbb{Z}_{n}=\{0,\,1,\,\cdots,\,n-1\}$$이다. 이때 \(\mathbb{Z}_{n}\)은 \(n\)을 법으로 하는 덧셈에 대해 닫혀있다. \(U_{n}\)의 원소의 개수와 \(\mathbb{Z}_{n}\)의 원소의 개수가 같으므로 두 이항 대수적 구조 \(\langle U_{n},\,\cdot\rangle\)와 \(\langle\mathbb{Z}_{n},\,+_{n}\rangle\)은 동형이라고 할 수 있다.(여기서 \(\cdot\)는 곱셈을 나타내는 기호이다.)

다음은 두 이항구조 \(\langle S,\,*\rangle\)와 \(\langle S',\,*'\rangle\)가 동형임을 보이기 위한 과정을 순서대로 나열한 것이다.

1. \(\langle S,\,*\rangle\)에서 \(\langle S',\,*'\rangle\)로의 동형사상 \(\phi\)를 정의한다. 

2. \(\phi\)가 일대일(one-to-one)임을 보인다. 즉, \(\phi(x)=\phi(y)\)이면 \(x=y\)임을 보인다.

3. \(\phi\)가 \(S'\) 위로(onto) 사상함을 보인다. 즉, \(s'\in S'\)에 대하여 \(\phi(s)=s'\)인 \(s\)가 존재함을 보인다.

4. 준동형사상 성질을 만족함을 보인다. 즉 모든 \(x,\,y\in S\)에 대하여 \(\phi(x*y)=\phi(x)*'\phi(y)\)임을 보인다.

위 과정을 이용하여 두 이항구조 \(\langle\mathbb{R},\,+\rangle\)와 \(\langle\mathbb{R}^{+},\,\cdot\rangle\)(\(\mathbb{R}^{+}\)는 양의 실수 전체의 집합을 뜻한다)가 동형임을 보이자.

1. 덧셈을 곱셈으로 바꾸어야 한다. 지수법칙 \(a^{b+c}=\left(a^{b}\right)\left(a^{c}\right)\,(a>0,\,a\neq1)\)을 상기하자. \(x\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(\phi(x)=e^{x}\)라 하면 \(e^{x}>0\)이므로 \(\phi:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{+}\)이고 \(\phi(x)\in\mathbb{R}^{+}\)이다.

2. \(\phi(x)=\phi(y)\)이면 \(e^{x}=e^{y}\)이고 따라서 \(x=\ln e^{x}=\ln e^{y}=y\)이다.

3. \(r\in\mathbb{R}^{+}\)이면 \(\ln r\in\mathbb{R}\)이고 \(\phi(\ln r)=e^{\ln r}=r\)이다. 그러므로 \(\phi\)는 \(\mathbb{R}^{+}\)위로 사상한다.

4. \(x,\,y\in\mathbb{R}\)에 대하여$$\phi(x+y)=e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}=\phi(x)\cdot\phi(y)$$이다. 

따라서 \(\langle\mathbb{R},\,+\rangle\)와 \(\langle\mathbb{R}^{+},\,\cdot\rangle\)는 동형이다.

반대로 동형이 아님을 보일때는 두 이항구조의 집합의 농도(cardinality)가 서로 다름(일대일 함수가 존재하지 않음)을 보이거나 준동형사상 성질을 만족하지 않음을 보이면 된다. 

유리수는 가산집합(countable set)인 반면 실수는 비가산집합(uncountable set)이다. 즉, \(\text{card}(\mathbb{Q})=\aleph_{0}\neq c=\text{card}(\mathbb{R})\)이므로 이항구조 \(\langle\mathbb{Q},\,+\rangle\)와 \(\langle\mathbb{R},\,+\rangle\)는 동형이 아니다.

집합 \(F\)를 실수 전체에서 미분가능한 함수들의 집합이라고 하자.$$\phi_{1}(f)(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}\\ \phi_{2}(f)(x)=\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}{f(t)dt}$$라 하자. \(\phi_{1}\)은 \(\langle F,\,+\rangle\)에서 \(\langle F,\,+\rangle\)로의 동형사상이 아닌 반면 \(\phi_{2}\)는 동형사상이다. 왜냐하면 \(\phi_{1}(f)(x)=x+1\)일 때,$$\phi_{1}(f)(0)=1\neq0=\int_{0}^{0}{f(t)dt}$$이고$$\phi_{2}(f)(x)=\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}{f(t)dt}=f(x)$$이기 때문이다.

이항구조 \(\langle S,\,*\rangle\)에서 모든 \(s\in S\)에 대하여 \(e*s=s*e=s\)를 만족하는 \(e\in S\)를 \(*\)에 대한 항등원(identity element)이라고 한다. 이때 항등원은 유일하다. 이항구조 \(\langle S,\,*\rangle\)의 항등원을 \(e\), \(e'\)이라고 하자. \(e*e'=e'*e=e\)이고 \(e*e'=e'*e=e'\)이므로 \(e=e'\)이다. 즉, 항등원은 유일하다.(QED)

이항구조 \(\langle S,\,*\rangle\)가 항등원 \(e\)를 가진다고 하고 \(\phi:\,S\,\rightarrow\,S'\)가 \(\langle S,\,*\rangle\)에서 \(\langle S',\,*'\rangle\)로의 동형사상이라고 하자. 그러면 \(\phi(e)\)는 \(S'\)에서의 이항연산 \(*'\)에 대한 항등원이다. 이를 보이자.

\(s'\in S'\)이라 하면 \(\phi\)가 동형사상이므로 \(s\in S\)가 존재해서 \(\phi(s)=s'\)이다. \(e\)가 이항연산 \(*\)에 대한 항등원이므로 \(s*e=e*s=s\)이고 \(\phi\)가 동형사상이므로 \(\phi(e*s)=\phi(s*e)=\phi(s)\)이다. 동형사상의 정의를 이용하면$$\phi(e)*'\phi(s)=\phi(s)*'\phi(e)=\phi(s)$$이므로 따라서 \(\phi(e)\)는 \(\langle S',\,*'\rangle\)에서의 항등원이다.(QED)  

참고자료:   

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, John B. Freleigh, Addison Wesley