[현대대수학-군론] 1. 이항연산

[현대대수학-군론] 1. 이항연산

집합 $S$에서의 이항연산(binary operator) $*$는 $S\times S$에서 $S$로의 사상이다. 즉 $$*:\,S\times S\,\rightarrow\,S$$ 이고 임의의 $(a,\,b)\in S\times S$에 대하여 $*$에 의해 대응된 $*((a,\,b))\in S$를 $a*b$로 나타낸다. $S$의 부분집합을 $H$라 하자. 임의의 $a,\,b\in H$에 대하여 $a*b\in H$이면, $H$는 $*$에 대해 닫혀있다(closed)고 한다.  

$M(\mathbb{R})$을 실수 성분을 갖는 모든 행렬들의 집합이라고 하자. $M(R)$의 원소들은 일반적으로 크기가 제각각이기 때문에 임의의 $A,\,B\in M(\mathbb{R})$에 대하여 행렬의 덧셈이 정의되지 않는다. 그러므로 행렬의 덧셈 $+$는 이 집합에서의 이항연산이 아니다. 그러나 

$M_{m\times n}(\mathbb{R})$을 실수 성분을 갖는 모든 $m\times n$행렬들의 집합이라고 할 때, 행렬의 덧셈은 이 집합에서의 이항연산이 된다.

$\mathbb{R}^{*}=\mathbb{R}-\{0\}$이라 하자. 임의의 $a,\,b\in\mathbb{R}^{*}$는 $0$이 아니기 때문에 곱셈 $\times$은 이 집합에서의 이항연산이지만 덧셈 $+$는 아니다. 왜냐하면 $1+(-1)=0\notin\mathbb{R}^{*}$이기 때문이다. 

집합 $S$ 에서 정의된 이항연선 $*$가 가환(commutative, 교환법칙이 성립)이기 위한 필요충분조건은 임의의 $a,\,b\in S$에 대하여 $a*b=b*a$가 성립하는 것이고, 결합적(associative, 결합법칙이 성립)이기 위한 필요충분조건은 임의의 $a,\,b,\,c\in S$에 대하여 $(a*b)*c=a*(b*c)$가 성립하는 것이다.

실수 $\mathbb{R}$과 복소수 $\mathbb{C}$는 각각 덧셈에 대해서 가환이고 결합적이다.  

집합 $S$에서의 이항연산 $*$를 정의하기 위해서는 다음이 성립하는지 확인해야 한다.

1. $S$의 원소들의 각 순서쌍에 단 하나의 원소와 대응되어야 한다.

2. 1에서 대응한 원소는 $S$의 원소이다.

1을 만족하지 않으면 $*$는 잘 정의되지 않는다(not well-defined)라고 한다. 1을 만족하지 않는 상태에서는 2의 성립여부는 아무런 의미가 없다. 1을 만족하는데 2를 만족하지 않으면, $S$는 $*$에 대해 닫혀있지 않다(not closed)고 한다.

유리수 $\mathbb{Q}$에서의 이항연산을 임의의 $a,\,b\in\mathbb{Q}$에 대하여 $\displaystyle a*b=\frac{a}{b}$라 하자. 그러면 순서쌍 $(4,\,0)$에 대응하는 유리수가 존재하지 않기 때문에 $*$는 잘 정의되지 않는다. 여기서 유리수 전체의 집합 $\mathbb{Q}$ 대신 $\mathbb{Q}^{*}=\mathbb{Q}-\{0\}$ 또는 $\mathbb{Q}^{+}$(양의 유리수 전체의 집합)으로 바꾸면 $*$는 1과 2를 만족하므로 $*$는 이 두 집합에서의 이항연산이 된다. 

집합 $S$와 $S$상에서 정의된 이항연산 $*$에 대하여 순서쌍 $\langle S,\,*\rangle$를 이항 대수적 구조(binary algebraic structure)라고 한다. 

두 이항구조 $\langle S,\,*\rangle$와 $\langle S',\,*'\rangle$에 대하여 이 두 이항구조가 구조적으로 같기 위해서는 $x\in S$와 $x'\in S'$사이에 $$\text{만약}\,x\leftrightarrow x',\,y\leftrightarrow y'\text{이면,}\,x*y\leftrightarrow x'*y'$$ 인 일대일 대응관계를 가져야 한다. 

이항 대수적 구조 $\langle S,\,*\rangle$와 $\langle S',\,*'\rangle$에 대하여 $\phi:\,S\,\rightarrow\,S'$를 정의하자. 준동형사상 성질(homomorphism property)을 다음과 같이 정의한다. $$\text{모든}\,x,\,y\in S\text{에 대하여}\,\phi(x*y)=\phi(x)*'\phi(y)$$ 여기서 위의 성질을 만족하는 함수 $\phi$를 준동형사상(homomorphism)이라고 하며 $\phi$가 일대일이면, $\phi$를 동형사상(isomorphism) 이라고 한다. 이때 $S$와 $S'$는 동형 이항구조(isomorphic binary structure)이고 $S\simeq S'$로 나타낸다.

실수 또는 복소수집합(또는 유리수, 정수집합)의 원소 $a$, $b$에 대하여 덧셈 $+_{c}$를 $c$를 법으로 하는 덧셈(addition modulo $2\pi$)이라 하고 $a+b-c$로 정의한다. 이것을 쉽게 말하자면 $a+b$를 $c$로 나눈 나머지이다.  

집합 $U_{n}=\{z\in\mathbb{C}\,|\,z^{n}=1\}$의 원소들은 $$z=\cos\left(\frac{2m\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{2m\pi}{n}\right)\,(m=0,\,1,\,\cdots,\,n-1,\,i=\sqrt{-1})$$ 이고, $\mathbb{Z}_{n}$을 임의의 정수를 자연수 $n$으로 나눈 나머지라고 하면, $$\mathbb{Z}_{n}=\{0,\,1,\,\cdots,\,n-1\}$$ 이다. 이때 $\mathbb{Z}_{n}$은 $n$을 법으로 하는 덧셈에 대해 닫혀있다. $U_{n}$의 원소의 개수와 $\mathbb{Z}_{n}$의 원소의 개수가 같으므로 두 이항 대수적 구조 $\langle U_{n},\,\cdot\rangle$와 $\langle\mathbb{Z}_{n},\,+_{n}\rangle$은 동형이라고 할 수 있다.(여기서 $\cdot$는 곱셈을 나타내는 기호이다.)

다음은 두 이항구조 $\langle S,\,*\rangle$와 $\langle S',\,*'\rangle$가 동형임을 보이기 위한 과정을 순서대로 나열한 것이다.

1. $\langle S,\,*\rangle$에서 $\langle S',\,*'\rangle$로의 동형사상 $\phi$를 정의한다. 

2. $\phi$가 일대일(one-to-one)임을 보인다. 즉, $\phi(x)=\phi(y)$이면 $x=y$임을 보인다.

3. $\phi$가 $S'$ 위로(onto) 사상함을 보인다. 즉, $s'\in S'$에 대하여 $\phi(s)=s'$인 $s$가 존재함을 보인다.

4. 준동형사상 성질을 만족함을 보인다. 즉 모든 $x,\,y\in S$에 대하여 $\phi(x*y)=\phi(x)*'\phi(y)$임을 보인다.

위 과정을 이용하여 두 이항구조 $\langle\mathbb{R},\,+\rangle$와 $\langle\mathbb{R}^{+},\,\cdot\rangle$($\mathbb{R}^{+}$는 양의 실수 전체의 집합을 뜻한다)가 동형임을 보이자.

1. 덧셈을 곱셈으로 바꾸어야 한다. 지수법칙 $a^{b+c}=\left(a^{b}\right)\left(a^{c}\right)\,(a>0,\,a\neq1)$을 상기하자. $x\in\mathbb{R}$에 대하여 $\phi(x)=e^{x}$라 하면 $e^{x}>0$이므로 $\phi:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{+}$이고 $\phi(x)\in\mathbb{R}^{+}$이다.

2. $\phi(x)=\phi(y)$이면 $e^{x}=e^{y}$이고 따라서 $x=\ln e^{x}=\ln e^{y}=y$이다.

3. $r\in\mathbb{R}^{+}$이면 $\ln r\in\mathbb{R}$이고 $\phi(\ln r)=e^{\ln r}=r$이다. 그러므로 $\phi$는 $\mathbb{R}^{+}$위로 사상한다.

4. $x,\,y\in\mathbb{R}$에 대하여 $$\phi(x+y)=e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}=\phi(x)\cdot\phi(y)$$ 이다. 

따라서 $\langle\mathbb{R},\,+\rangle$와 $\langle\mathbb{R}^{+},\,\cdot\rangle$는 동형이다.

반대로 동형이 아님을 보일때는 두 이항구조의 집합의 농도(cardinality)가 서로 다름(일대일 함수가 존재하지 않음)을 보이거나 준동형사상 성질을 만족하지 않음을 보이면 된다. 

유리수는 가산집합(countable set)인 반면 실수는 비가산집합(uncountable set)이다. 즉, $\text{card}(\mathbb{Q})=\aleph_{0}\neq c=\text{card}(\mathbb{R})$이므로 이항구조 $\langle\mathbb{Q},\,+\rangle$와 $\langle\mathbb{R},\,+\rangle$는 동형이 아니다.

집합 $F$를 실수 전체에서 미분가능한 함수들의 집합이라고 하자. $$\phi_{1}(f)(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}\\ \phi_{2}(f)(x)=\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}{f(t)dt}$$ 라 하자. $\phi_{1}$은 $\langle F,\,+\rangle$에서 $\langle F,\,+\rangle$로의 동형사상이 아닌 반면 $\phi_{2}$는 동형사상이다. 왜냐하면 $\phi_{1}(f)(x)=x+1$일 때, $$\phi_{1}(f)(0)=1\neq0=\int_{0}^{0}{f(t)dt}$$ 이고 $$\phi_{2}(f)(x)=\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}{f(t)dt}=f(x)$$ 이기 때문이다.

이항구조 $\langle S,\,*\rangle$에서 모든 $s\in S$에 대하여 $e*s=s*e=s$를 만족하는 $e\in S$를 $*$에 대한 항등원(identity element)이라고 한다. 이때 항등원은 유일하다. 이항구조 $\langle S,\,*\rangle$의 항등원을 $e$, $e'$이라고 하자. $e*e'=e'*e=e$이고 $e*e'=e'*e=e'$이므로 $e=e'$이다. 즉, 항등원은 유일하다.(QED)

이항구조 $\langle S,\,*\rangle$가 항등원 $e$를 가진다고 하고 $\phi:\,S\,\rightarrow\,S'$가 $\langle S,\,*\rangle$에서 $\langle S',\,*'\rangle$로의 동형사상이라고 하자. 그러면 $\phi(e)$는 $S'$에서의 이항연산 $*'$에 대한 항등원이다. 이를 보이자.

$s'\in S'$이라 하면 $\phi$가 동형사상이므로 $s\in S$가 존재해서 $\phi(s)=s'$이다. $e$가 이항연산 $*$에 대한 항등원이므로 $s*e=e*s=s$이고 $\phi$가 동형사상이므로 $\phi(e*s)=\phi(s*e)=\phi(s)$이다. 동형사상의 정의를 이용하면 $$\phi(e)*'\phi(s)=\phi(s)*'\phi(e)=\phi(s)$$ 이므로 따라서 $\phi(e)$는 $\langle S',\,*'\rangle$에서의 항등원이다.(QED)  

참고자료:   

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, John B. Freleigh, Addison Wesley