[현대대수학-군론] 5. 직접곱과 생성되는 유한아벨군

[현대대수학-군론] 5. 직접곱과 생성되는 유한아벨군

$S_{1},\,S_{2},\,\cdots,\,S_{n}$들을 집합이라 하자. 이 집합들의 카테시안곱(cartesian product)은 다음과 같이 정의된다. $$S_{1}\times S_{2}\times\cdots\times S_{n}=\prod_{i=1}^{n}{S_{i}}=\{(a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n})\,|\,a_{i}\in S_{i}\,(i=1,\,2,\,\cdots,\,n)\}$$ $G_{1},\,G_{2},\,\cdots,\,G_{n}$을 군이라 하자. 임의의 $(a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n}),\,(b_{1},\,b_{2},\,\cdots,\,b_{n})\in\prod_{i=1}^{n}{G_{i}}$에 대하여 $$(a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n})(b_{1},\,b_{2},\,\cdots,\,b_{n})=(a_{1}b_{1},\,a_{2}b_{2},\,\cdots,\,a_{n}b_{n})$$ 으로 정의된 이 연산에 대해 $\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{G_{i}}$는 군이 된다. 여기서 $\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{G_{i}}$를 군 $G_{i}$들의 직접곱(direct product)이라고 한다.

앞에서 정의된 연산이 이항연산인것은 분명하고 $$\begin{align*}(a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n})[(b_{1},\,b_{2},\,\cdots,\,b_{n})(c_{1},\,c_{2},\,\cdots,\,c_{n})]&=(a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n})(b_{1}c_{1},\,b_{2}c_{2},\,\cdots,\,b_{n}c_{n})\\&=(a_{1}(b_{1}c_{1}),\,a_{2}(b_{2}c_{2}),\,\cdots,\,a_{n}(b_{n}c_{n}))\\&=((a_{1}b_{1})c_{1},\,(a_{2}b_{2})c_{2},\,\cdots,\,(a_{n}b_{n})c_{n})\\&=[(a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n})(b_{1},\,b_{2},\,\cdots,\,b_{n})](c_{1},\,c_{2},\,\cdots,\,c_{n})\end{align*}$$ 이므로 결합법칙이 성립한다.

$G_{i}$는 군이므로 항등원 $e_{i}$가 존재한다. 그러면 $\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{G_{i}}$의 항등원을 $(e_{1},\,e_{2},\,\cdots,\,e_{n})$으로 정의할 수 있으며 임의의 $a_{i}\in G_{i}$에 대하여 $a_{i}^{-1}\in G_{i}$이므로 $\displaystyle(a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n})\in\prod_{i=1}^{n}{G_{i}}$의 역원을 $(a_{1}^{-1},\,a_{2}^{-1},\,\cdots,\,a_{n}^{-1})$으로 정의할 수 있다.(QED)

$\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}$은 순환군이고 $\mathbb{Z}_{6}$과 동형이다. 즉 $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}\simeq\mathbb{Z}_{6}$. 그 이유는 다음과 같다.

우선 $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}=\{(0,\,0),\,(0,\,1),\,(0,\,2),\,(1,\,0),\,(1,\,1),\,(1,\,2)\}$이고 $$\begin{align*}&(1,\,1)^{0}=(0,\,0)\\&(1,\,1)^{1}=(1,\,1)\\&(1,\,1)^{2}=(1,\,1)+(1,\,1)=(0,\,2)\\&(1,\,1)^{3}=(1,\,1)+(0,\,2)=(1,\,0)\\&(1,\,1)^{4}=(1,\,1)+(1,\,0)=(0,\,1)\\&(1,\,1)^{5}=(1,\,1)+(0,\,1)=(1,\,2)\\&(1,\,1)^{6}=(1,\,2)+(1,\,1)=(0,\,0)\end{align*}$$ 총 6개의 원소를 갖기 때문에 $\mathbb{Z}_{6}$과 동형이다.

반대로 $\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}$과 $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}$는 순환군이 아니며 $\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}$도 순환군이 아니다. 그 이유는 임의의 $(a,\,b)\in\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}$에 대하여 $(a,\,b)^{3}=(3a,\,3b)=(0,\,0)$이며 임의의 $(a,\,b)\in\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}$에 대하여 $(a,\,b)^{2}=(2a,\,2b)=(0,\,0)$, 임의의 $(a,\,b)\in\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}$에 대하여 $(a,\,b)^{12}=(12a,\,12b)=(0,\,0)$이기 때문이다.

양의 정수 $r_{1},\,r_{2},\,\cdots,\,r_{n}$의 최소공배수(least common multiple)는 $r_{i}$의 모든 공배수의 순환군($r_{i}$에 의해 나누어지는 모든 정수집합 순환군의 양수의 생성원)이다. 이를 $\text{lcm}(r_{1},\,r_{2},\,\cdots,\,r_{n})$으로 나타낸다.  

$\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n}$이 순환군이고 $\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n}\simeq\mathbb{Z}_{mn}$일 필요충분조건은 $\text{gcd}(m,\,n)=1$이다.

(⇒): $\text{gcd}(m,\,n)=d>1$이라 하자. 그러면 $m$과 $n$은 $\displaystyle\frac{mn}{d}$의 약수이고 임의의 $(r,\,s)\in\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n}$에 대하여 $\displaystyle\frac{mn}{d}(r,\,s)=\left(\frac{mn}{d}r,\,\frac{mn}{d}s\right)=(0,\,0)$이다. 이는 $\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n}$이 순환군이 아님을 뜻하고 모순이다.

($\Leftarrow$): $\langle(1,\,1)\rangle$을 $\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n}$의 순환부분군이라 하자. $\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n}$에서 $k(1,\,1)=(0,\,0)$이면 $(k,\,k)=(0,\,0)$이고 $m$과 $n$은 $k$의 약수이다. 이때 $\langle(1,\,1)\rangle$의 위수는 $m$과 $n$의 최소공배수이고 $\text{gcd}(m,\,n)=1$이므로 $|\langle(1,\,1)\rangle|=mn$이다. 그러면 $\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n}=\langle(1,\,1)\rangle$은 순환군이고 $\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n}\simeq\mathbb{Z}_{mn}$이다.(QED)

앞의 결과를 이용하여 $\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{\mathbb{Z}_{m_{i}}}$가 순환군이고 $\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{\mathbb{Z}_{m_{i}}}\simeq\mathbb{Z}_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}$일 필요충분조건이 $\text{gcd}(m_{i},\,m_{j})=1\,(i,\,j=1,\,2,\,\cdots,\,n)$이라는 결론을 내릴 수 있다. 또한 $n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{r}^{n_{r}}$($p_{1},\,p_{2},\,\cdots,\,p_{n}$은 소수)일 때 $\mathbb{Z}_{n}\simeq\mathbb{Z}_{p_{1}^{n_{1}}}\times\mathbb{Z}_{p_{2}^{n_{2}}}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{p_{r}^{n_{r}}}$이다. 예를들면 $\mathbb{Z}_{72}\simeq\mathbb{Z}_{8}\times\mathbb{Z}_{9}=\mathbb{Z}_{2^{3}}\times\mathbb{Z}_{3^{2}}$이다.

$\displaystyle(a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n})\in\prod_{i=1}^{n}{G_{i}}$라 하자. 군 $G_{i}$에서 $a_{i}\in G_{i}$의 위수가 $r_{i}$이면, $\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{G_{i}}$에서의 $(a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n})$의 위수는 $\text{lcm}(r_{1},\,r_{2},\,\cdots,\,r_{n})$이다. $a_{i}^{m}=e_{i}$이려면 $m$이 $r_{1},\,r_{2},\,\cdots,\,r_{n}$의 배수이어야 하기 때문이다. 

$\mathbb{Z}_{12}\times\mathbb{Z}_{60}\times\mathbb{Z}_{24}$에서 $(8,\,4,\,10)$의 위수를 구하자. $\mathbb{Z}_{12}$에서 $8$의 위수가 $3$, $\mathbb{Z}_{60}$에서 $4$의 위수가 $15$, $\mathbb{Z}_{24}$에서 $10$의 위수는 $12$이다. 그러면 $(8,\,4,\,10)$에서의 위수는 $\text{lcm}(3,\,15,\,2)=60$이다.

참고자료

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Freleigh, Addison Wesley