[현대대수학-군론] 5. 직접곱과 생성되는 유한아벨군

[현대대수학-군론] 5. 직접곱과 생성되는 유한아벨군

\(S_{1},\,S_{2},\,\cdots,\,S_{n}\)들을 집합이라 하자. 이 집합들의 카테시안곱(cartesian product)은 다음과 같이 정의된다.$$S_{1}\times S_{2}\times\cdots\times S_{n}=\prod_{i=1}^{n}{S_{i}}=\{(a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n})\,|\,a_{i}\in S_{i}\,(i=1,\,2,\,\cdots,\,n)\}$$\(G_{1},\,G_{2},\,\cdots,\,G_{n}\)을 군이라 하자. 임의의 \((a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n}),\,(b_{1},\,b_{2},\,\cdots,\,b_{n})\in\prod_{i=1}^{n}{G_{i}}\)에 대하여$$(a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n})(b_{1},\,b_{2},\,\cdots,\,b_{n})=(a_{1}b_{1},\,a_{2}b_{2},\,\cdots,\,a_{n}b_{n})$$으로 정의된 이 연산에 대해 \(\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{G_{i}}\)는 군이 된다. 여기서 \(\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{G_{i}}\)를 군 \(G_{i}\)들의 직접곱(direct product)이라고 한다.

앞에서 정의된 연산이 이항연산인것은 분명하고$$\begin{align*}(a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n})[(b_{1},\,b_{2},\,\cdots,\,b_{n})(c_{1},\,c_{2},\,\cdots,\,c_{n})]&=(a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n})(b_{1}c_{1},\,b_{2}c_{2},\,\cdots,\,b_{n}c_{n})\\&=(a_{1}(b_{1}c_{1}),\,a_{2}(b_{2}c_{2}),\,\cdots,\,a_{n}(b_{n}c_{n}))\\&=((a_{1}b_{1})c_{1},\,(a_{2}b_{2})c_{2},\,\cdots,\,(a_{n}b_{n})c_{n})\\&=[(a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n})(b_{1},\,b_{2},\,\cdots,\,b_{n})](c_{1},\,c_{2},\,\cdots,\,c_{n})\end{align*}$$이므로 결합법칙이 성립한다.

\(G_{i}\)는 군이므로 항등원 \(e_{i}\)가 존재한다. 그러면 \(\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{G_{i}}\)의 항등원을 \((e_{1},\,e_{2},\,\cdots,\,e_{n})\)으로 정의할 수 있으며 임의의 \(a_{i}\in G_{i}\)에 대하여 \(a_{i}^{-1}\in G_{i}\)이므로 \(\displaystyle(a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n})\in\prod_{i=1}^{n}{G_{i}}\)의 역원을 \((a_{1}^{-1},\,a_{2}^{-1},\,\cdots,\,a_{n}^{-1})\)으로 정의할 수 있다.(QED)

\(\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}\)은 순환군이고 \(\mathbb{Z}_{6}\)과 동형이다. 즉 \(\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}\simeq\mathbb{Z}_{6}\). 그 이유는 다음과 같다.

우선 \(\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}=\{(0,\,0),\,(0,\,1),\,(0,\,2),\,(1,\,0),\,(1,\,1),\,(1,\,2)\}\)이고$$\begin{align*}&(1,\,1)^{0}=(0,\,0)\\&(1,\,1)^{1}=(1,\,1)\\&(1,\,1)^{2}=(1,\,1)+(1,\,1)=(0,\,2)\\&(1,\,1)^{3}=(1,\,1)+(0,\,2)=(1,\,0)\\&(1,\,1)^{4}=(1,\,1)+(1,\,0)=(0,\,1)\\&(1,\,1)^{5}=(1,\,1)+(0,\,1)=(1,\,2)\\&(1,\,1)^{6}=(1,\,2)+(1,\,1)=(0,\,0)\end{align*}$$총 6개의 원소를 갖기 때문에 \(\mathbb{Z}_{6}\)과 동형이다.

반대로 \(\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\)과 \(\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\)는 순환군이 아니며 \(\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}\)도 순환군이 아니다. 그 이유는 임의의 \((a,\,b)\in\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\)에 대하여 \((a,\,b)^{3}=(3a,\,3b)=(0,\,0)\)이며 임의의 \((a,\,b)\in\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\)에 대하여 \((a,\,b)^{2}=(2a,\,2b)=(0,\,0)\), 임의의 \((a,\,b)\in\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}\)에 대하여 \((a,\,b)^{12}=(12a,\,12b)=(0,\,0)\)이기 때문이다.

양의 정수 \(r_{1},\,r_{2},\,\cdots,\,r_{n}\)의 최소공배수(least common multiple)는 \(r_{i}\)의 모든 공배수의 순환군(\(r_{i}\)에 의해 나누어지는 모든 정수집합 순환군의 양수의 생성원)이다. 이를 \(\text{lcm}(r_{1},\,r_{2},\,\cdots,\,r_{n})\)으로 나타낸다.  

\(\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n}\)이 순환군이고 \(\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n}\simeq\mathbb{Z}_{mn}\)일 필요충분조건은 \(\text{gcd}(m,\,n)=1\)이다.

(⇒): \(\text{gcd}(m,\,n)=d>1\)이라 하자. 그러면 \(m\)과 \(n\)은 \(\displaystyle\frac{mn}{d}\)의 약수이고 임의의 \((r,\,s)\in\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n}\)에 대하여 \(\displaystyle\frac{mn}{d}(r,\,s)=\left(\frac{mn}{d}r,\,\frac{mn}{d}s\right)=(0,\,0)\)이다. 이는 \(\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n}\)이 순환군이 아님을 뜻하고 모순이다.

(\(\Leftarrow\)): \(\langle(1,\,1)\rangle\)을 \(\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n}\)의 순환부분군이라 하자. \(\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n}\)에서 \(k(1,\,1)=(0,\,0)\)이면 \((k,\,k)=(0,\,0)\)이고 \(m\)과 \(n\)은 \(k\)의 약수이다. 이때 \(\langle(1,\,1)\rangle\)의 위수는 \(m\)과 \(n\)의 최소공배수이고 \(\text{gcd}(m,\,n)=1\)이므로 \(|\langle(1,\,1)\rangle|=mn\)이다. 그러면 \(\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n}=\langle(1,\,1)\rangle\)은 순환군이고 \(\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n}\simeq\mathbb{Z}_{mn}\)이다.(QED)

앞의 결과를 이용하여 \(\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{\mathbb{Z}_{m_{i}}}\)가 순환군이고 \(\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{\mathbb{Z}_{m_{i}}}\simeq\mathbb{Z}_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}\)일 필요충분조건이 \(\text{gcd}(m_{i},\,m_{j})=1\,(i,\,j=1,\,2,\,\cdots,\,n)\)이라는 결론을 내릴 수 있다. 또한 \(n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{r}^{n_{r}}\)(\(p_{1},\,p_{2},\,\cdots,\,p_{n}\)은 소수)일 때 \(\mathbb{Z}_{n}\simeq\mathbb{Z}_{p_{1}^{n_{1}}}\times\mathbb{Z}_{p_{2}^{n_{2}}}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{p_{r}^{n_{r}}}\)이다. 예를들면 \(\mathbb{Z}_{72}\simeq\mathbb{Z}_{8}\times\mathbb{Z}_{9}=\mathbb{Z}_{2^{3}}\times\mathbb{Z}_{3^{2}}\)이다.

\(\displaystyle(a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n})\in\prod_{i=1}^{n}{G_{i}}\)라 하자. 군 \(G_{i}\)에서 \(a_{i}\in G_{i}\)의 위수가 \(r_{i}\)이면, \(\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{G_{i}}\)에서의 \((a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n})\)의 위수는 \(\text{lcm}(r_{1},\,r_{2},\,\cdots,\,r_{n})\)이다. \(a_{i}^{m}=e_{i}\)이려면 \(m\)이 \(r_{1},\,r_{2},\,\cdots,\,r_{n}\)의 배수이어야 하기 때문이다. 

\(\mathbb{Z}_{12}\times\mathbb{Z}_{60}\times\mathbb{Z}_{24}\)에서 \((8,\,4,\,10)\)의 위수를 구하자. \(\mathbb{Z}_{12}\)에서 \(8\)의 위수가 \(3\), \(\mathbb{Z}_{60}\)에서 \(4\)의 위수가 \(15\), \(\mathbb{Z}_{24}\)에서 \(10\)의 위수는 \(12\)이다. 그러면 \((8,\,4,\,10)\)에서의 위수는 \(\text{lcm}(3,\,15,\,2)=60\)이다.

참고자료

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Freleigh, Addison Wesley