[현대대수학-군론] 7. 잉여군(1)
G와 G′을 군, ϕ:G→G′을 준동형사상, H=Ker(ϕ)라 하자. 임의의 a∈G에 대하여 ϕ−1[{ϕ(a)}]=aH=Ha가 성립한다. 그러면 적당한 일대일 대응을 정의해서 G/H={aH|a∈G}와 ϕ[G]의 원소들을 일대일로 대응시킬 수 있다. 즉 임의의 aH∈G/H에 대하여 μ(aH)=ϕ(a)로 정의되는 일대일 대응 μ:G/H→ϕ[G]가 존재한다. 이를 다음의 정리로 나타낼 수 있다.
ϕ:G→G′를 군 준동형사상, H=Ker(ϕ), G/H={aH|a∈G}라 하고 임의의 aH,bH∈G/H에 대하여 (aH)(bH)=(ab)H로 정의하자. 그러면 G/H는 이 연산에 대해 군이 되고 μ(aH)=ϕ(a)로 정의되는 사상 μ:G/H→ϕ[G]는 동형사상이다.
먼저 앞에서 정의한 연산이 잘 정의됨을 보이자. a1,a2∈H이고 b1,b2∈H이면 aH=a1H=a2H, bH=b1H=b2H이고 (a1b1)H=(a1H)(b1H)=(a2H)(b2H)=(a2b2)H가 되는데 그 이유는 다음과 같다.
a1H=a2H, b1H=b2H이므로 a−11a2,b−11b2∈H이고 따라서 ϕ(a−11a2)=e′, ϕ(b−11b2)=e′이다. 그러면ϕ((a1b1)−1(a2b2))=ϕ(b−11a−11a2b2)=ϕ(b−11)ϕ(a−1)ϕ(a2)ϕ(b2)=ϕ(b−11)e′ϕ(b2)=ϕ(b−11)ϕ(b2)=e′
그 다음으로 G/H가 이 연산에 대해 군이 됨을 보이자.
(결합법칙): 임의의 aH,bH,cH∈G/H에 대하여[(aH)(bH)](cH)=[(ab)H](cH)=((ab)c)H=(a(bc))H=(aH)[(bc)H]=(aH)[(bH)(cH)]
(항등원): eH=H∈G/H이므로 임의의 aH∈G/H에 대하여(aH)(eH)=(ae)H=aH=(ea)H=(eH)(aH)
(역원): 임의의 aH∈G/H에 대하여 a−1H∈G/H이고(a−1H)(aH)=(a−1a)H=eH=(aa−1)H=(aH)(a−1)H
따라서 G/H는 군이다.
마지막으로 μ:G/H→ϕ[G]가 동형사상이 됨을 보이자.
(μ가 잘 정의됨): a1H=a2H라 하자. 그러면 a−11a2∈H이고 ϕ(a−11a2)=e′이다. 따라서 ϕ(a1)=ϕ(a2)이고 μ(a1H)=ϕ(a1)=ϕ(a2)=μ(a2H)이다.
(준동형사상 성질): ϕ가 준동형사상이므로 μ((aH)(bH))=μ((ab)H)=ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b)=μ(aH)μ(bH)이다.
(일대일): μ(aH)=μ(bH)라 하자. 그러면 ϕ(a)=ϕ(b)이고 [ϕ(a)]−1ϕ(b)=e′이다. 그러면 ϕ(a−1)ϕ(b)=ϕ(a−1b)=e′이고 따라서 a−1b∈H=Ker(ϕ)이므로 aH=bH이다.
(위로, onto): y∈ϕ[G]라 하자. 그러면 어떤 x∈G에 대하여 y=ϕ(x)이므로 xH∈G/H에 대하여 μ(xH)=ϕ(x)=y이다.(QED)
앞에서의 G/H={aH|a∈G}를 H를 법으로 하는 G의 잉여군(factor group of G modulo H)(또는 G over H 또는 G mod(ulo) H)이라고 한다. 이 개념은 동치관계로 만들어지는 상집합(quotient set)(또는 분할)의 개념과 비슷하다고 보면 된다.
γ:Z→Zn을 γ(m)=r(m=nq+r,0≤r<n)으로 정의되는 사상이라 하자. 그러면 γ는 준동형사상이고 Ker(γ)=nZ이다. 따라서 Z/Ker(γ)=Z/nZ≃Zn=γ[Z]이다. 여기서Z/Ker(γ)=Z/nZ={nZ,1+nZ,2+nZ,⋯,(n−1)+nZ}Zn={0,1,⋯,n−1}
앞에서는 H=Ker(ϕ)인 경우에 대해서 다루었지만 여기서는 H가 일반적인 경우에 대해 다루도록 하겠다.
H를 군 G의 부분군이라 하자. 임의의 aH,bH에 대하여 (aH)(bH)=(ab)H라 하자. 이 연산이 잘 정의될 필요충분조건은 H가 G의 정규부분군, 즉 임의의 g∈G에 대하여 gH=Hg가 성립하는 것이다.
(⇒): g∈G라 하자. gH=Hg가 됨을 보이면 된다.
먼저 gH⊂Hg가 성립함을 보이자. x∈gH, g−1∈g−1H라 하자. 그러면 xH=gH이고 (xH)(g−1H)=(xg−1)H, (gH)(g−1H)=(gg−1)H=eH이다. 가정으로부터 (xg−1)H=(xH)(g−1H)=(gH)(g−1H)=eH이고 xg−1∈H이다. 그러면 적당한 h∈H에 대하여 xg−1∈H이고 x=hg∈Hg이다.
Hg⊂gH가 성립함을 보이자. y∈Hg라 하자. 그러면 적당한 h1∈H에 대하여 y=h1g이고 y−1=g−1h−1이므로 y−1∈g−1H이고 y−1H=g−1H이다. 가정으로부터 (y−1H)(gH)=(g−1H)(gH)이므로 (y−1g)H=(g−1g)H=eH이고 y−1g∈eH=H이다. 적당한 h2∈H에 대하여 y−1g=h2이고 y=gh−12∈gH이다. 이렇게 하여 gH=Hg가 성립함이 증명되었다.
(⇐): a1H=a2H, b1H=b2H라 하자. 그러면 a−11a2∈H, b−11b2∈H이고 (a1b1)−1(a2b2)=b−11a−11a2b2∈b−11Hb2인데 가정에 의해 b−11Hb2=b−11(b2H)=(b−11b2)H=eH=H이므로 (a1b1)−1(a2b2)∈H이고 (a1b1)H=(a2b2)H이므로 따라서 (a1H)(b1H)=(a2H)(b2H)이다. (QED)
H를 G의 정규부분군이라 하자. 그러면 G/H는 연산 (aH)(bH)=(ab)H에 대해 군을 이룬다. 이에 대한 증명은 맨 위의 정리의 증명을 참고하면 된다.
군 G/H를 H에 대한 잉여군(factor(quotient) group)이라고 한다.
(Z,+)는 아벨군이므로 nZ는 Z의 정규부분군이고 따라서 Z/nZ≃Zn이 성립한다.
참고자료:
A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley
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