[현대대수학-군론] 7. 잉여군(1)

[현대대수학-군론] 7. 잉여군(1)

\(G\)와 \(G'\)을 군, \(\phi:\,G\,\rightarrow\,G'\)을 준동형사상, \(H=\text{Ker}(\phi)\)라 하자. 임의의 \(a\in G\)에 대하여 \(\phi^{-1}[\{\phi(a)\}]=aH=Ha\)가 성립한다. 그러면 적당한 일대일 대응을 정의해서 \(G/H=\{aH\,|\,a\in G\}\)와 \(\phi[G]\)의 원소들을 일대일로 대응시킬 수 있다. 즉 임의의 \(aH\in G/H\)에 대하여 \(\mu(aH)=\phi(a)\)로 정의되는 일대일 대응 \(\mu:\,G/H\,\rightarrow\,\phi[G]\)가 존재한다. 이를 다음의 정리로 나타낼 수 있다.

\(\phi:\,G\,\rightarrow\,G'\)를 군 준동형사상, \(H=\text{Ker}(\phi)\), \(G/H=\{aH\,|\,a\in G\}\)라 하고 임의의 \(aH,\,bH\in G/H\)에 대하여 \((aH)(bH)=(ab)H\)로 정의하자. 그러면 \(G/H\)는 이 연산에 대해 군이 되고 \(\mu(aH)=\phi(a)\)로 정의되는 사상 \(\mu:\,G/H\,\rightarrow\,\phi[G]\)는 동형사상이다.

먼저 앞에서 정의한 연산이 잘 정의됨을 보이자. \(a_{1},\,a_{2}\in H\)이고 \(b_{1},\,b_{2}\in H\)이면 \(aH=a_{1}H=a_{2}H\), \(bH=b_{1}H=b_{2}H\)이고 \((a_{1}b_{1})H=(a_{1}H)(b_{1}H)=(a_{2}H)(b_{2}H)=(a_{2}b_{2})H\)가 되는데 그 이유는 다음과 같다.

\(a_{1}H=a_{2}H\), \(b_{1}H=b_{2}H\)이므로 \(a_{1}^{-1}a_{2},\,b_{1}^{-1}b_{2}\in H\)이고 따라서 \(\phi(a_{1}^{-1}a_{2})=e'\), \(\phi(b_{1}^{-1}b_{2})=e'\)이다. 그러면$$\begin{align*}\phi((a_{1}b_{1})^{-1}(a_{2}b_{2}))&=\phi(b_{1}^{-1}a_{1}^{-1}a_{2}b_{2})=\phi(b_{1}^{-1})\phi(a^{-1})\phi(a_{2})\phi(b_{2})\\&=\phi(b_{1}^{-1})e'\phi(b_{2})=\phi(b_{1}^{-1})\phi(b_{2})\\&=e'\end{align*}$$이므로 \((a_{1}b_{1})^{-1}(a_{2}b_{2})\in H=\text{Ker}(\phi)\)이고 따라서 \((a_{1}b_{1})H=(a_{2}b_{2})H\)이다.

그 다음으로 \(G/H\)가 이 연산에 대해 군이 됨을 보이자.

(결합법칙): 임의의 \(aH,\,bH,\,cH\in G/H\)에 대하여$$\begin{align*}[(aH)(bH)](cH)&=[(ab)H](cH)=((ab)c)H\\&=(a(bc))H=(aH)[(bc)H]\\&=(aH)[(bH)(cH)]\end{align*}$$이므로 결합법칙이 성립한다.

(항등원): \(eH=H\in G/H\)이므로 임의의 \(aH\in G/H\)에 대하여$$(aH)(eH)=(ae)H=aH=(ea)H=(eH)(aH)$$이다.

(역원): 임의의 \(aH\in G/H\)에 대하여 \(a^{-1}H\in G/H\)이고$$(a^{-1}H)(aH)=(a^{-1}a)H=eH=(aa^{-1})H=(aH)(a^{-1})H$$이다.

따라서 \(G/H\)는 군이다.

마지막으로 \(\mu:\,G/H\,\rightarrow\,\phi[G]\)가 동형사상이 됨을 보이자.

(\(\mu\)가 잘 정의됨): \(a_{1}H=a_{2}H\)라 하자. 그러면 \(a_{1}^{-1}a_{2}\in H\)이고 \(\phi(a_{1}^{-1}a_{2})=e'\)이다. 따라서 \(\phi(a_{1})=\phi(a_{2})\)이고 \(\mu(a_{1}H)=\phi(a_{1})=\phi(a_{2})=\mu(a_{2}H)\)이다.

(준동형사상 성질): \(\phi\)가 준동형사상이므로 \(\mu((aH)(bH))=\mu((ab)H)=\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)=\mu(aH)\mu(bH)\)이다.

(일대일): \(\mu(aH)=\mu(bH)\)라 하자. 그러면 \(\phi(a)=\phi(b)\)이고 \([\phi(a)]^{-1}\phi(b)=e'\)이다. 그러면 \(\phi(a^{-1})\phi(b)=\phi(a^{-1}b)=e'\)이고 따라서 \(a^{-1}b\in H=\text{Ker}(\phi)\)이므로 \(aH=bH\)이다. 

(위로, onto): \(y\in\phi[G]\)라 하자. 그러면 어떤 \(x\in G\)에 대하여 \(y=\phi(x)\)이므로 \(xH\in G/H\)에 대하여 \(\mu(xH)=\phi(x)=y\)이다.(QED)

앞에서의 \(G/H=\{aH\,|\,a\in G\}\)를 \(H\)를 법으로 하는 \(G\)의 잉여군(factor group of \(G\) modulo \(H\))(또는 \(G\) over \(H\) 또는 \(G\) mod(ulo) \(H\))이라고 한다. 이 개념은 동치관계로 만들어지는 상집합(quotient set)(또는 분할)의 개념과 비슷하다고 보면 된다.

\(\gamma:\,\mathbb{Z}\,\rightarrow\,\mathbb{Z}_{n}\)을 \(\gamma(m)=r\,(m=nq+r,\,0\leq r<n)\)으로 정의되는 사상이라 하자. 그러면 \(\gamma\)는 준동형사상이고 \(\text{Ker}(\gamma)=n\mathbb{Z}\)이다. 따라서 \(\mathbb{Z}/\text{Ker}(\gamma)=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}_{n}=\gamma[\mathbb{Z}]\)이다. 여기서$$\mathbb{Z}/\text{Ker}(\gamma)=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{n\mathbb{Z},\,1+n\mathbb{Z},\,2+n\mathbb{Z},\,\cdots,\,(n-1)+n\mathbb{Z}\}\\ \mathbb{Z}_{n}=\{0,\,1,\,\cdots,\,n-1\}$$이다.

앞에서는 \(H=\text{Ker}(\phi)\)인 경우에 대해서 다루었지만 여기서는 \(H\)가 일반적인 경우에 대해 다루도록 하겠다.

\(H\)를 군 \(G\)의 부분군이라 하자. 임의의 \(aH,\,bH\)에 대하여 \((aH)(bH)=(ab)H\)라 하자. 이 연산이 잘 정의될 필요충분조건은 \(H\)가 \(G\)의 정규부분군, 즉 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(gH=Hg\)가 성립하는 것이다.

\((\Rightarrow)\): \(g\in G\)라 하자. \(gH=Hg\)가 됨을 보이면 된다.

먼저 \(gH\subset Hg\)가 성립함을 보이자. \(x\in gH\), \(g^{-1}\in g^{-1}H\)라 하자. 그러면 \(xH=gH\)이고 \((xH)(g^{-1}H)=(xg^{-1})H\), \((gH)(g^{-1}H)=(gg^{-1})H=eH\)이다. 가정으로부터 \((xg^{-1})H=(xH)(g^{-1}H)=(gH)(g^{-1}H)=eH\)이고 \(xg^{-1}\in H\)이다. 그러면 적당한 \(h\in H\)에 대하여 \(xg^{-1}\in H\)이고 \(x=hg\in Hg\)이다.    

\(Hg\subset gH\)가 성립함을 보이자. \(y\in Hg\)라 하자. 그러면 적당한 \(h_{1}\in H\)에 대하여 \(y=h_{1}g\)이고 \(y^{-1}=g^{-1}h^{-1}\)이므로 \(y^{-1}\in g^{-1}H\)이고 \(y^{-1}H=g^{-1}H\)이다. 가정으로부터 \((y^{-1}H)(gH)=(g^{-1}H)(gH)\)이므로 \((y^{-1}g)H=(g^{-1}g)H=eH\)이고 \(y^{-1}g\in eH=H\)이다. 적당한 \(h_{2}\in H\)에 대하여 \(y^{-1}g=h_{2}\)이고 \(y=gh_{2}^{-1}\in gH\)이다. 이렇게 하여 \(gH=Hg\)가 성립함이 증명되었다.

\((\Leftarrow)\): \(a_{1}H=a_{2}H\), \(b_{1}H=b_{2}H\)라 하자. 그러면 \(a_{1}^{-1}a_{2}\in H\), \(b_{1}^{-1}b_{2}\in H\)이고 \((a_{1}b_{1})^{-1}(a_{2}b_{2})=b_{1}^{-1}a_{1}^{-1}a_{2}b_{2}\in b_{1}^{-1}Hb_{2}\)인데 가정에 의해 \(b_{1}^{-1}Hb_{2}=b_{1}^{-1}(b_{2}H)=(b_{1}^{-1}b_{2})H=eH=H\)이므로 \((a_{1}b_{1})^{-1}(a_{2}b_{2})\in H\)이고 \((a_{1}b_{1})H=(a_{2}b_{2})H\)이므로 따라서 \((a_{1}H)(b_{1}H)=(a_{2}H)(b_{2}H)\)이다. (QED)

\(H\)를 \(G\)의 정규부분군이라 하자. 그러면 \(G/H\)는 연산 \((aH)(bH)=(ab)H\)에 대해 군을 이룬다. 이에 대한 증명은 맨 위의 정리의 증명을 참고하면 된다.

군 \(G/H\)를 \(H\)에 대한 잉여군(factor(quotient) group)이라고 한다.     

 

\((\mathbb{Z},\,+)\)는 아벨군이므로 \(n\mathbb{Z}\)는 \(\mathbb{Z}\)의 정규부분군이고 따라서 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}_{n}\)이 성립한다.

참고자료:

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley