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[현대대수학-군론] 7. 잉여군(1)



GG을 군, ϕ:GG을 준동형사상, H=Ker(ϕ)라 하자. 임의의 aG에 대하여 ϕ1[{ϕ(a)}]=aH=Ha가 성립한다. 그러면 적당한 일대일 대응을 정의해서 G/H={aH|aG}와 ϕ[G]의 원소들을 일대일로 대응시킬 수 있다. 즉 임의의 aHG/H에 대하여 μ(aH)=ϕ(a)로 정의되는 일대일 대응 μ:G/Hϕ[G]가 존재한다. 이를 다음의 정리로 나타낼 수 있다.


ϕ:GG를 군 준동형사상, H=Ker(ϕ), G/H={aH|aG}라 하고 임의의 aH,bHG/H에 대하여 (aH)(bH)=(ab)H로 정의하자. 그러면 G/H는 이 연산에 대해 군이 되고 μ(aH)=ϕ(a)로 정의되는 사상 μ:G/Hϕ[G]는 동형사상이다.

먼저 앞에서 정의한 연산이 잘 정의됨을 보이자. a1,a2H이고 b1,b2H이면 aH=a1H=a2H, bH=b1H=b2H이고 (a1b1)H=(a1H)(b1H)=(a2H)(b2H)=(a2b2)H가 되는데 그 이유는 다음과 같다.

a1H=a2H, b1H=b2H이므로 a11a2,b11b2H이고 따라서 ϕ(a11a2)=e, ϕ(b11b2)=e이다. 그러면ϕ((a1b1)1(a2b2))=ϕ(b11a11a2b2)=ϕ(b11)ϕ(a1)ϕ(a2)ϕ(b2)=ϕ(b11)eϕ(b2)=ϕ(b11)ϕ(b2)=e

이므로 (a1b1)1(a2b2)H=Ker(ϕ)이고 따라서 (a1b1)H=(a2b2)H이다.

그 다음으로 G/H가 이 연산에 대해 군이 됨을 보이자.

(결합법칙): 임의의 aH,bH,cHG/H에 대하여[(aH)(bH)](cH)=[(ab)H](cH)=((ab)c)H=(a(bc))H=(aH)[(bc)H]=(aH)[(bH)(cH)]

이므로 결합법칙이 성립한다.

(항등원): eH=HG/H이므로 임의의 aHG/H에 대하여(aH)(eH)=(ae)H=aH=(ea)H=(eH)(aH)

이다.

(역원): 임의의 aHG/H에 대하여 a1HG/H이고(a1H)(aH)=(a1a)H=eH=(aa1)H=(aH)(a1)H

이다.

따라서 G/H는 군이다.

마지막으로 μ:G/Hϕ[G]가 동형사상이 됨을 보이자.

(μ가 잘 정의됨): a1H=a2H라 하자. 그러면 a11a2H이고 ϕ(a11a2)=e이다. 따라서 ϕ(a1)=ϕ(a2)이고 μ(a1H)=ϕ(a1)=ϕ(a2)=μ(a2H)이다.

(준동형사상 성질): ϕ가 준동형사상이므로 μ((aH)(bH))=μ((ab)H)=ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b)=μ(aH)μ(bH)이다.

(일대일): μ(aH)=μ(bH)라 하자. 그러면 ϕ(a)=ϕ(b)이고 [ϕ(a)]1ϕ(b)=e이다. 그러면 ϕ(a1)ϕ(b)=ϕ(a1b)=e이고 따라서 a1bH=Ker(ϕ)이므로 aH=bH이다. 

(위로, onto): yϕ[G]라 하자. 그러면 어떤 xG에 대하여 y=ϕ(x)이므로 xHG/H에 대하여 μ(xH)=ϕ(x)=y이다.(QED)


앞에서의 G/H={aH|aG}H를 법으로 하는 G의 잉여군(factor group of G modulo H)(또는 G over H 또는 G mod(ulo) H)이라고 한다. 이 개념은 동치관계로 만들어지는 상집합(quotient set)(또는 분할)의 개념과 비슷하다고 보면 된다.


γ:ZZnγ(m)=r(m=nq+r,0r<n)으로 정의되는 사상이라 하자. 그러면 γ는 준동형사상이고 Ker(γ)=nZ이다. 따라서 Z/Ker(γ)=Z/nZZn=γ[Z]이다. 여기서Z/Ker(γ)=Z/nZ={nZ,1+nZ,2+nZ,,(n1)+nZ}Zn={0,1,,n1}

이다.


앞에서는 H=Ker(ϕ)인 경우에 대해서 다루었지만 여기서는 H가 일반적인 경우에 대해 다루도록 하겠다.


H를 군 G의 부분군이라 하자. 임의의 aH,bH에 대하여 (aH)(bH)=(ab)H라 하자. 이 연산이 잘 정의될 필요충분조건은 HG의 정규부분군, 즉 임의의 gG에 대하여 gH=Hg가 성립하는 것이다.

(): gG라 하자. gH=Hg가 됨을 보이면 된다.

먼저 gHHg가 성립함을 보이자. xgH, g1g1H라 하자. 그러면 xH=gH이고 (xH)(g1H)=(xg1)H, (gH)(g1H)=(gg1)H=eH이다. 가정으로부터 (xg1)H=(xH)(g1H)=(gH)(g1H)=eH이고 xg1H이다. 그러면 적당한 hH에 대하여 xg1H이고 x=hgHg이다.    

HggH가 성립함을 보이자. yHg라 하자. 그러면 적당한 h1H에 대하여 y=h1g이고 y1=g1h1이므로 y1g1H이고 y1H=g1H이다. 가정으로부터 (y1H)(gH)=(g1H)(gH)이므로 (y1g)H=(g1g)H=eH이고 y1geH=H이다. 적당한 h2H에 대하여 y1g=h2이고 y=gh12gH이다. 이렇게 하여 gH=Hg가 성립함이 증명되었다.

(): a1H=a2H, b1H=b2H라 하자. 그러면 a11a2H, b11b2H이고 (a1b1)1(a2b2)=b11a11a2b2b11Hb2인데 가정에 의해 b11Hb2=b11(b2H)=(b11b2)H=eH=H이므로 (a1b1)1(a2b2)H이고 (a1b1)H=(a2b2)H이므로 따라서 (a1H)(b1H)=(a2H)(b2H)이다. (QED)


HG의 정규부분군이라 하자. 그러면 G/H는 연산 (aH)(bH)=(ab)H에 대해 군을 이룬다. 이에 대한 증명은 맨 위의 정리의 증명을 참고하면 된다.


G/HH에 대한 잉여군(factor(quotient) group)이라고 한다.     

 

(Z,+)는 아벨군이므로 nZZ의 정규부분군이고 따라서 Z/nZZn이 성립한다.


참고자료:

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley          

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Posted by skywalker222