[현대대수학-군론] 7. 잉여군(1)

[현대대수학-군론] 7. 잉여군(1)

$G$와 $G'$을 군, $\phi:\,G\,\rightarrow\,G'$을 준동형사상, $H=\text{Ker}(\phi)$라 하자. 임의의 $a\in G$에 대하여 $\phi^{-1}[\{\phi(a)\}]=aH=Ha$가 성립한다. 그러면 적당한 일대일 대응을 정의해서 $G/H=\{aH\,|\,a\in G\}$와 $\phi[G]$의 원소들을 일대일로 대응시킬 수 있다. 즉 임의의 $aH\in G/H$에 대하여 $\mu(aH)=\phi(a)$로 정의되는 일대일 대응 $\mu:\,G/H\,\rightarrow\,\phi[G]$가 존재한다. 이를 다음의 정리로 나타낼 수 있다.

$\phi:\,G\,\rightarrow\,G'$를 군 준동형사상, $H=\text{Ker}(\phi)$, $G/H=\{aH\,|\,a\in G\}$라 하고 임의의 $aH,\,bH\in G/H$에 대하여 $(aH)(bH)=(ab)H$로 정의하자. 그러면 $G/H$는 이 연산에 대해 군이 되고 $\mu(aH)=\phi(a)$로 정의되는 사상 $\mu:\,G/H\,\rightarrow\,\phi[G]$는 동형사상이다.

먼저 앞에서 정의한 연산이 잘 정의됨을 보이자. $a_{1},\,a_{2}\in H$이고 $b_{1},\,b_{2}\in H$이면 $aH=a_{1}H=a_{2}H$, $bH=b_{1}H=b_{2}H$이고 $(a_{1}b_{1})H=(a_{1}H)(b_{1}H)=(a_{2}H)(b_{2}H)=(a_{2}b_{2})H$가 되는데 그 이유는 다음과 같다.

$a_{1}H=a_{2}H$, $b_{1}H=b_{2}H$이므로 $a_{1}^{-1}a_{2},\,b_{1}^{-1}b_{2}\in H$이고 따라서 $\phi(a_{1}^{-1}a_{2})=e'$, $\phi(b_{1}^{-1}b_{2})=e'$이다. 그러면 $$\begin{align*}\phi((a_{1}b_{1})^{-1}(a_{2}b_{2}))&=\phi(b_{1}^{-1}a_{1}^{-1}a_{2}b_{2})=\phi(b_{1}^{-1})\phi(a^{-1})\phi(a_{2})\phi(b_{2})\\&=\phi(b_{1}^{-1})e'\phi(b_{2})=\phi(b_{1}^{-1})\phi(b_{2})\\&=e'\end{align*}$$ 이므로 $(a_{1}b_{1})^{-1}(a_{2}b_{2})\in H=\text{Ker}(\phi)$이고 따라서 $(a_{1}b_{1})H=(a_{2}b_{2})H$이다.

그 다음으로 $G/H$가 이 연산에 대해 군이 됨을 보이자.

(결합법칙): 임의의 $aH,\,bH,\,cH\in G/H$에 대하여 $$\begin{align*}[(aH)(bH)](cH)&=[(ab)H](cH)=((ab)c)H\\&=(a(bc))H=(aH)[(bc)H]\\&=(aH)[(bH)(cH)]\end{align*}$$ 이므로 결합법칙이 성립한다.

(항등원): $eH=H\in G/H$이므로 임의의 $aH\in G/H$에 대하여 $$(aH)(eH)=(ae)H=aH=(ea)H=(eH)(aH)$$ 이다.

(역원): 임의의 $aH\in G/H$에 대하여 $a^{-1}H\in G/H$이고 $$(a^{-1}H)(aH)=(a^{-1}a)H=eH=(aa^{-1})H=(aH)(a^{-1})H$$ 이다.

따라서 $G/H$는 군이다.

마지막으로 $\mu:\,G/H\,\rightarrow\,\phi[G]$가 동형사상이 됨을 보이자.

($\mu$가 잘 정의됨): $a_{1}H=a_{2}H$라 하자. 그러면 $a_{1}^{-1}a_{2}\in H$이고 $\phi(a_{1}^{-1}a_{2})=e'$이다. 따라서 $\phi(a_{1})=\phi(a_{2})$이고 $\mu(a_{1}H)=\phi(a_{1})=\phi(a_{2})=\mu(a_{2}H)$이다.

(준동형사상 성질): $\phi$가 준동형사상이므로 $\mu((aH)(bH))=\mu((ab)H)=\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)=\mu(aH)\mu(bH)$이다.

(일대일): $\mu(aH)=\mu(bH)$라 하자. 그러면 $\phi(a)=\phi(b)$이고 $[\phi(a)]^{-1}\phi(b)=e'$이다. 그러면 $\phi(a^{-1})\phi(b)=\phi(a^{-1}b)=e'$이고 따라서 $a^{-1}b\in H=\text{Ker}(\phi)$이므로 $aH=bH$이다. 

(위로, onto): $y\in\phi[G]$라 하자. 그러면 어떤 $x\in G$에 대하여 $y=\phi(x)$이므로 $xH\in G/H$에 대하여 $\mu(xH)=\phi(x)=y$이다.(QED)

앞에서의 $G/H=\{aH\,|\,a\in G\}$를 $H$를 법으로 하는 $G$의 잉여군(factor group of $G$ modulo $H$)(또는 $G$ over $H$ 또는 $G$ mod(ulo) $H$)이라고 한다. 이 개념은 동치관계로 만들어지는 상집합(quotient set)(또는 분할)의 개념과 비슷하다고 보면 된다.

$\gamma:\,\mathbb{Z}\,\rightarrow\,\mathbb{Z}_{n}$을 $\gamma(m)=r\,(m=nq+r,\,0\leq r<n)$으로 정의되는 사상이라 하자. 그러면 $\gamma$는 준동형사상이고 $\text{Ker}(\gamma)=n\mathbb{Z}$이다. 따라서 $\mathbb{Z}/\text{Ker}(\gamma)=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}_{n}=\gamma[\mathbb{Z}]$이다. 여기서 $$\mathbb{Z}/\text{Ker}(\gamma)=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{n\mathbb{Z},\,1+n\mathbb{Z},\,2+n\mathbb{Z},\,\cdots,\,(n-1)+n\mathbb{Z}\}\\ \mathbb{Z}_{n}=\{0,\,1,\,\cdots,\,n-1\}$$ 이다.

앞에서는 $H=\text{Ker}(\phi)$인 경우에 대해서 다루었지만 여기서는 $H$가 일반적인 경우에 대해 다루도록 하겠다.

$H$를 군 $G$의 부분군이라 하자. 임의의 $aH,\,bH$에 대하여 $(aH)(bH)=(ab)H$라 하자. 이 연산이 잘 정의될 필요충분조건은 $H$가 $G$의 정규부분군, 즉 임의의 $g\in G$에 대하여 $gH=Hg$가 성립하는 것이다.

$(\Rightarrow)$: $g\in G$라 하자. $gH=Hg$가 됨을 보이면 된다.

먼저 $gH\subset Hg$가 성립함을 보이자. $x\in gH$, $g^{-1}\in g^{-1}H$라 하자. 그러면 $xH=gH$이고 $(xH)(g^{-1}H)=(xg^{-1})H$, $(gH)(g^{-1}H)=(gg^{-1})H=eH$이다. 가정으로부터 $(xg^{-1})H=(xH)(g^{-1}H)=(gH)(g^{-1}H)=eH$이고 $xg^{-1}\in H$이다. 그러면 적당한 $h\in H$에 대하여 $xg^{-1}\in H$이고 $x=hg\in Hg$이다.    

$Hg\subset gH$가 성립함을 보이자. $y\in Hg$라 하자. 그러면 적당한 $h_{1}\in H$에 대하여 $y=h_{1}g$이고 $y^{-1}=g^{-1}h^{-1}$이므로 $y^{-1}\in g^{-1}H$이고 $y^{-1}H=g^{-1}H$이다. 가정으로부터 $(y^{-1}H)(gH)=(g^{-1}H)(gH)$이므로 $(y^{-1}g)H=(g^{-1}g)H=eH$이고 $y^{-1}g\in eH=H$이다. 적당한 $h_{2}\in H$에 대하여 $y^{-1}g=h_{2}$이고 $y=gh_{2}^{-1}\in gH$이다. 이렇게 하여 $gH=Hg$가 성립함이 증명되었다.

$(\Leftarrow)$: $a_{1}H=a_{2}H$, $b_{1}H=b_{2}H$라 하자. 그러면 $a_{1}^{-1}a_{2}\in H$, $b_{1}^{-1}b_{2}\in H$이고 $(a_{1}b_{1})^{-1}(a_{2}b_{2})=b_{1}^{-1}a_{1}^{-1}a_{2}b_{2}\in b_{1}^{-1}Hb_{2}$인데 가정에 의해 $b_{1}^{-1}Hb_{2}=b_{1}^{-1}(b_{2}H)=(b_{1}^{-1}b_{2})H=eH=H$이므로 $(a_{1}b_{1})^{-1}(a_{2}b_{2})\in H$이고 $(a_{1}b_{1})H=(a_{2}b_{2})H$이므로 따라서 $(a_{1}H)(b_{1}H)=(a_{2}H)(b_{2}H)$이다. (QED)

$H$를 $G$의 정규부분군이라 하자. 그러면 $G/H$는 연산 $(aH)(bH)=(ab)H$에 대해 군을 이룬다. 이에 대한 증명은 맨 위의 정리의 증명을 참고하면 된다.

군 $G/H$를 $H$에 대한 잉여군(factor(quotient) group)이라고 한다.     

 

$(\mathbb{Z},\,+)$는 아벨군이므로 $n\mathbb{Z}$는 $\mathbb{Z}$의 정규부분군이고 따라서 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}_{n}$이 성립한다.

참고자료:

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley