[현대대수학-군론] 9. 잉여군의 계산

[현대대수학-군론] 9. 잉여군의 계산

\(N\)을 \(G\)의 정규부분군이라 하자. 잉여군 \(G/N\)에서 \(N\)은 항등원의 역할을 하고 그 원소들은 임의의 \(a\in G\)에 대하여 \(aN\)의 형태로 나타난다.

\(N=\{0\}\)은 \((\mathbb{Z},\,+)\)의 정규부분군이다. 이때 \(N\)의 원소는 \(0\)뿐이므로 임의의 \(m\in\mathbb{Z}\)에 대하여 \(m+N=m+\{0\}=\{m\}\)이고 따라서 \(\mathbb{Z}/N=\mathbb{Z}/\{0\}\simeq\mathbb{Z}\)이다.

\(n\in\mathbb{Z}^{+}\)이라 하자. \(n\mathbb{R}=\{nr\,|\,r\in\mathbb{R}\}\)은 \((\mathbb{R},\,+)\)의 부분군이고 정규부분군이다. 또한 실수는 곱셈에 대해서 닫혀있기 때문에 \(n\mathbb{R}=\mathbb{R}\)이고 \(\mathbb{R}/n\mathbb{R}\)은 자명군이다(\(\mathbb{R}/n\mathbb{R}=\{0+n\mathbb{R}\}\)).

\(G\)를 위수가 유한인 군, \(G/N\)의 위수를 \(2\)라 하자. 그러면 \(|G|=2|N|\)이다. \(H\)가 \(G\)의 원소의 절반을 차지하는 부분군이면, \(H\)는 \(G\)의 정규부분군이다. \(a\in G-H\)에 대하여 \(aH\)와 \(Ha\)는 모두 \(G-H\)의 원소로 구성되어있다. 그러므로 \(aH=Ha\)이고 \(H\)는 정규부분군이다. 

라그랑주의 정리는 "\(H\)가 유한군 \(G\)의 부분군이면 \(|H|\)가 \(|G|\)를 나눈다"였다. 이 정리의 역이 성립하지 않는데 그 이유를 설명하겠다.

\(\displaystyle A_{4}\)를 \(n=4\)일 때의 치환들의 집합이라 하고 \(H\)를 위수가 \(6\)인 \(A_{4}\)의 부분군이라 하자. 그러면 \(\displaystyle\frac{|A_{4}|}{|H|}=2\)이므로 \(H\)는 \(A_{4}\)의 정규부분군이다. 그러면 \(A_{4}/H=\{H,\,\sigma H\}\,(\sigma\in A_{4}-H)\)이고 \((\sigma H)(\sigma H)=\sigma^{2}H\)이므로 \(\sigma^{2}\in H\)이어야 하고 임의의 \(\alpha\in H\)에 대하여 \(\alpha^{2}\in H\)이어야 한다. 이는 임의의 \(\tau\in A_{4}\)에 대하여 \(\tau^{2}\in A_{4}\)이어야 함을 뜻한다.$$\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&4\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&2&4\end{pmatrix}$$이므로 이 과정을 계속하면 \(|H|\geq8\)이 되고 이는 모순이다. 따라서 \(6\)은 \(|A_{4}|=12\)를 나누지만 \(A_{4}\)는 위수가 \(6\)인 부분군을 갖지 않는다.

\(H=\langle(0,\,1)\rangle\)을 \(\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}\)의 순환부분군이라 하자. 그러면 \(H=\{(0,\,0),\,(0,\,1),\,(0,\,2),\,(0,\,3),\,(0,\,4),\,(0,\,5)\}\)이고 \(|\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}|=24\), \(|H|=6\)이므로 \(\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/H=4\), \(\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/H=\{(0,\,0)+H,\,(1,\,0)+H,\,(2,\,0)+H,\,(3,\,0)+H\}\)이고 \(\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/H\simeq\mathbb{Z}_{4}\)이다.

\(H\), \(K\)를 군, \(G=H\times K\)라 하자. 그러면 \(\overline{H}=\{(h,\,e)\,|\,h\in H\}\), \(\overline{K}=\{(e,\,k)\,|\,k\in K\}\)는 \(G\)의 정규부분군이다.

\(\pi_{1}:\,H\times K\,\rightarrow\,H\), \(\pi_{2}:\,H\times K\,\rightarrow\,K\)를 \(\pi_{1}(h,\,k)=h\), \(\pi_{2}(h,\,k)=k\)로 정의되는 준동형사사이라 하자. 그러면 \(\pi_{1}\)과 \(\pi_{2}\)는 위로(onto)이고 \(\text{Ker}(\pi_{1})=\overline{K}\), \(\text{Ker}(\pi_{2})=\overline{H}\)이고 준동형사상의 기본정리로부터 \(H\times K/\overline{H}=H\times K/\text{Ker}(\pi_{2})\simeq K\), \(H\times K/\overline{K}=H\times K/\text{Ker}(\pi_{1})\simeq H\)이다.(QED)

순환군의 잉여군은 순환군이다.

\(G=\langle a\rangle\)를 순환군, \(N\)을 \(G\)의 정규부분군이라 하자. 그러면 \(G/N=\langle aN\rangle\)은 순환군이다. \(\langle aN\rangle\subset G/N\)은 분명하기 때문에 \(G/N\subset\langle aN\rangle\)을 보이자. \(xN\in G/N\)이라고 하자. \(x\in G\)이기 때문에 적당한 \(n\in\mathbb{Z}\)에 대하여 \(x=a^{n}\), \(xN=a^{n}N=(aN)^{n}\in\langle aN\rangle\)이고 따라서 \(G/N\subset\langle aN\rangle\)이다.

\(H_{1}=\langle(0,\,2)\rangle=\{(0,\,0),\,(0,\,2),\,(0,\,4)\}\), \(H_{2}=\langle(2,\,3)\rangle=\{(0,\,0),\,(2,\,3)\}\)를 \(\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}\)의 부분군이라 하자. 그러면 \(\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/H_{1}\simeq\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{2}\), \(\displaystyle|\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/H_{2}|=\frac{24}{2}=12\)이다. 그러면 \(\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/\langle(2,\,3)\rangle\simeq\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}(\simeq\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{6})\) 또는 \(\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/\langle(2,\,3)\rangle\simeq\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{3}(\simeq\mathbb{Z}_{12})\)이다. 여기서 \(\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/\langle(2,\,3)\rangle\simeq\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{3}\)이 되는 이유는 \(\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{3}\)에는 위수가 \(4\)인 원소가 존재하고(\((1,\,0)\)), \(\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/\langle(2,\,3)\rangle\)에서 \((1,\,0)+\langle(2,\,3)\rangle\)의 위수가 \(4\)이기 때문에 \(\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/\langle(2,\,3)\rangle\simeq\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{3}(\simeq\mathbb{Z}_{12})\)이고 이때 \(\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}\)과는 동형이 되지 않는다. 그 이유는 \(\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}\)에는 위수가 \(4\)인 원소가 존재하지 않기 때문이다.

\(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/\langle(1,\,1)\rangle\simeq\mathbb{Z}\)이다.(아래그림 참고)

(예를 들자면 잉여류 \((1,\,0)+\langle(1,\,1)\rangle\)은 점 \((1,\,0)\)을 지나고 기울기가 \(1\)인 직선상의 정수점들로 구성되어 있다.)

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley