[현대대수학-군론] 9. 잉여군의 계산

[현대대수학-군론] 9. 잉여군의 계산

$N$을 $G$의 정규부분군이라 하자. 잉여군 $G/N$에서 $N$은 항등원의 역할을 하고 그 원소들은 임의의 $a\in G$에 대하여 $aN$의 형태로 나타난다.

$N=\{0\}$은 $(\mathbb{Z},\,+)$의 정규부분군이다. 이때 $N$의 원소는 $0$뿐이므로 임의의 $m\in\mathbb{Z}$에 대하여 $m+N=m+\{0\}=\{m\}$이고 따라서 $\mathbb{Z}/N=\mathbb{Z}/\{0\}\simeq\mathbb{Z}$이다.

$n\in\mathbb{Z}^{+}$이라 하자. $n\mathbb{R}=\{nr\,|\,r\in\mathbb{R}\}$은 $(\mathbb{R},\,+)$의 부분군이고 정규부분군이다. 또한 실수는 곱셈에 대해서 닫혀있기 때문에 $n\mathbb{R}=\mathbb{R}$이고 $\mathbb{R}/n\mathbb{R}$은 자명군이다($\mathbb{R}/n\mathbb{R}=\{0+n\mathbb{R}\}$).

$G$를 위수가 유한인 군, $G/N$의 위수를 $2$라 하자. 그러면 $|G|=2|N|$이다. $H$가 $G$의 원소의 절반을 차지하는 부분군이면, $H$는 $G$의 정규부분군이다. $a\in G-H$에 대하여 $aH$와 $Ha$는 모두 $G-H$의 원소로 구성되어있다. 그러므로 $aH=Ha$이고 $H$는 정규부분군이다. 

라그랑주의 정리는 "$H$가 유한군 $G$의 부분군이면 $|H|$가 $|G|$를 나눈다"였다. 이 정리의 역이 성립하지 않는데 그 이유를 설명하겠다.

$\displaystyle A_{4}$를 $n=4$일 때의 치환들의 집합이라 하고 $H$를 위수가 $6$인 $A_{4}$의 부분군이라 하자. 그러면 $\displaystyle\frac{|A_{4}|}{|H|}=2$이므로 $H$는 $A_{4}$의 정규부분군이다. 그러면 $A_{4}/H=\{H,\,\sigma H\}\,(\sigma\in A_{4}-H)$이고 $(\sigma H)(\sigma H)=\sigma^{2}H$이므로 $\sigma^{2}\in H$이어야 하고 임의의 $\alpha\in H$에 대하여 $\alpha^{2}\in H$이어야 한다. 이는 임의의 $\tau\in A_{4}$에 대하여 $\tau^{2}\in A_{4}$이어야 함을 뜻한다. $$\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&4\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&2&4\end{pmatrix}$$ 이므로 이 과정을 계속하면 $|H|\geq8$이 되고 이는 모순이다. 따라서 $6$은 $|A_{4}|=12$를 나누지만 $A_{4}$는 위수가 $6$인 부분군을 갖지 않는다.

$H=\langle(0,\,1)\rangle$을 $\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}$의 순환부분군이라 하자. 그러면 $H=\{(0,\,0),\,(0,\,1),\,(0,\,2),\,(0,\,3),\,(0,\,4),\,(0,\,5)\}$이고 $|\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}|=24$, $|H|=6$이므로 $\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/H=4$, $\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/H=\{(0,\,0)+H,\,(1,\,0)+H,\,(2,\,0)+H,\,(3,\,0)+H\}$이고 $\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/H\simeq\mathbb{Z}_{4}$이다.

$H$, $K$를 군, $G=H\times K$라 하자. 그러면 $\overline{H}=\{(h,\,e)\,|\,h\in H\}$, $\overline{K}=\{(e,\,k)\,|\,k\in K\}$는 $G$의 정규부분군이다.

$\pi_{1}:\,H\times K\,\rightarrow\,H$, $\pi_{2}:\,H\times K\,\rightarrow\,K$를 $\pi_{1}(h,\,k)=h$, $\pi_{2}(h,\,k)=k$로 정의되는 준동형사사이라 하자. 그러면 $\pi_{1}$과 $\pi_{2}$는 위로(onto)이고 $\text{Ker}(\pi_{1})=\overline{K}$, $\text{Ker}(\pi_{2})=\overline{H}$이고 준동형사상의 기본정리로부터 $H\times K/\overline{H}=H\times K/\text{Ker}(\pi_{2})\simeq K$, $H\times K/\overline{K}=H\times K/\text{Ker}(\pi_{1})\simeq H$이다.(QED)

순환군의 잉여군은 순환군이다.

$G=\langle a\rangle$를 순환군, $N$을 $G$의 정규부분군이라 하자. 그러면 $G/N=\langle aN\rangle$은 순환군이다. $\langle aN\rangle\subset G/N$은 분명하기 때문에 $G/N\subset\langle aN\rangle$을 보이자. $xN\in G/N$이라고 하자. $x\in G$이기 때문에 적당한 $n\in\mathbb{Z}$에 대하여 $x=a^{n}$, $xN=a^{n}N=(aN)^{n}\in\langle aN\rangle$이고 따라서 $G/N\subset\langle aN\rangle$이다.

$H_{1}=\langle(0,\,2)\rangle=\{(0,\,0),\,(0,\,2),\,(0,\,4)\}$, $H_{2}=\langle(2,\,3)\rangle=\{(0,\,0),\,(2,\,3)\}$를 $\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}$의 부분군이라 하자. 그러면 $\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/H_{1}\simeq\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{2}$, $\displaystyle|\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/H_{2}|=\frac{24}{2}=12$이다. 그러면 $\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/\langle(2,\,3)\rangle\simeq\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}(\simeq\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{6})$ 또는 $\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/\langle(2,\,3)\rangle\simeq\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{3}(\simeq\mathbb{Z}_{12})$이다. 여기서 $\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/\langle(2,\,3)\rangle\simeq\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{3}$이 되는 이유는 $\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{3}$에는 위수가 $4$인 원소가 존재하고($(1,\,0)$), $\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/\langle(2,\,3)\rangle$에서 $(1,\,0)+\langle(2,\,3)\rangle$의 위수가 $4$이기 때문에 $\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{6}/\langle(2,\,3)\rangle\simeq\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{3}(\simeq\mathbb{Z}_{12})$이고 이때 $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}$과는 동형이 되지 않는다. 그 이유는 $\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}$에는 위수가 $4$인 원소가 존재하지 않기 때문이다.

$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/\langle(1,\,1)\rangle\simeq\mathbb{Z}$이다.(아래그림 참고)

(예를 들자면 잉여류 $(1,\,0)+\langle(1,\,1)\rangle$은 점 $(1,\,0)$을 지나고 기울기가 $1$인 직선상의 정수점들로 구성되어 있다.)

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley