[현대대수학-환, 체론] 1. 환과 체

[현대대수학-환, 체론] 1. 환과 체

군론에서는 연산이 1개였지만 앞으로 다루게 될 환과 체는 연산이 2개(덧셈, 곱셈)이다.

집합 $R$이 덧셈연산과 곱셈연산에 대해

(1) $(R,\,+)$는 아벨군이다.

(2) 곱셈연산에 대해 결합법칙이 성립한다. 
(3) 임의의 $a,\,b,\,c\in R$에 대하여 $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$, $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$가 성립한다.

위의 (1), (2), (3)이 성립하면 $\langle R,\,+,\,\cdot\rangle$을 환(ring)이라고 한다.   

$\langle\mathbb{Z},\,+,\,\cdot\rangle$(정수), $\langle\mathbb{Q},\,+,\,\cdot\rangle$(유리수), $\langle\mathbb{R},\,+,\,\cdot\rangle$(실수), $\langle\mathbb{C},\,+,\,\cdot\rangle$(복소수)는 환이다.

성분이 모두 실수인 $n\times n\,(n\geq2)$행렬들의 집합 $M_{n}(\mathbb{R})$에 대하여 $\langle M_{n}(\mathbb{R}),\,+,\,\cdot\rangle$는 환이고, 모든 함수 $f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$들의 집합 $F$에서 임의의 $x\in\mathbb{R}$, $f,\,g\in F$에 대해 $$\begin{align*}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(f\cdot g)(x)&=f(x)g(x)\end{align*}$$ 라 하면, $\langle F,\,+,\,\cdot\rangle$는 환이다.

임의의 $n\in\mathbb{Z}$에 대하여 $\langle n\mathbb{Z},\,+,\,\cdot\rangle$는 환이고 임의의 $a,\,b\in\mathbb{Z}$에 대하여 $ab$를 $ab$를 나눈 나머지(이 연산을 $n$을 법으로 하는 곱셈이라고 한다)로 정의하면 $\langle\mathbb{Z}_{n},\,+,\,\cdot\rangle$도 환이 된다.

$R_{1},\,R_{2},\,\cdots,\,R_{n}$을 환, $R_{1}\times R_{2}\times\cdots\times R_{n}=\{(r_{1},\,\cdots,\,r_{n})\,|\,r_{i}\in R_{i}\,i=1,\,\cdots,\,n\}$이라 하자. 임의의 $(r_{1},\,\cdots,\,r_{n}),\,(s_{1},\,\cdots,\,s_{n})\in R_{1}\times\cdots\times R_{n}$에 대하여 $$\begin{align*}(r_{1},\,\cdots,\,r_{n})+(s_{1},\,\cdots,\,s_{n})&=(r_{1}+s_{1},\,\cdots,\,r_{n}+s_{n})\\(r_{1},\,\cdots,\,r_{n})\cdot(s_{1},\,\cdots,\,s_{n})&=(r_{1}\cdot s_{1},\,\cdots,\,r_{n}\cdot s_{n})\end{align*}$$ 이라 하면, $\langle R_{1}\times\cdots\times R_{n},\,+,\,\cdot\rangle$는 환이 되고, 이 환을 환 $R_{i}$들의 직접곱(direct product)이라고 한다.

*여기서부터 다루게 될 연산은 덧셈과 곱셈 뿐으로 $0$를 환의 덧셈항등원, $-a$를 덧셈역원, $$n\cdot a=\begin{cases}a+\cdots+a\,&(n>0)\\0\,&(n=0)\\(-a)+\cdots+(-a)\,&(a<0)\end{cases}$$ 으로 정의한다.

$R$의 덧셈항등원을 $0$이라 하자. 그러면 임의의 $a,\,b\in R$에 대하여 다음이 성립한다.

(1) $0a=a0=0$

(2) $a(-b)=(-a)b=-ab$

(3) $(-a)(-b)=ab$

(1)과 (2)는 환의 성질을 이용하여 증명한다. (1)을 증명하면 $a0+a0=a(0+0)=a0$이고 $0a+0a=(0+0)a=0a$이므로 

따라서 $a0=0$, $0a=0$이다.

(2) $a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0$이므로 $a(-b)=-(ab)$이고, $(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0$

(3) (2)의 결과로부터 $(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab$이다.(QED) 

$R$과 $R'$을 환이라 하자. 사상 $\phi:\,R\,\rightarrow\,R'$가 임의의 $a,\,b\in R$에 대하여

(1) $\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)$

(2) $\phi(a\cdot b)=\phi(a)\phi(b)$

위의 (1), (2)를 만족하면, $\phi$를 환 준동형사상(ring homomorphism)이라고 한다.

$F$를 함수 $f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$들의 집합이라 하자. 임의의 $a\in\mathbb{R}$에 대하여 $\phi_{a}(f)=f(a)$로 정의되는 사상 $\phi_{a}:\,F\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 대입 준동형사상(evaluation homomorphism)이라고 한다. 이 대입 준동형사상은 환 준동형사상이다.

임의의 $n\in\mathbb{Z}^{+}$(양의 정수)에 대하여 $m=nq+r\,(0\leq r<n)$일 때, $\phi(m)=r$로 정의되는 사상 $\phi:\,\mathbb{Z}\,\rightarrow\,\mathbb{Z}_{n}$은 환 준동형사상이다.

$R$과 $R'$을 환이라 하자. $\phi:\,R\,\rightarrow\,R'$이 전단사인 환 준동형사상이면, $\phi$를 환 동형사상(ring isomorphism)이라고 한다.

임의의 $x\in\mathbb{Z}$에 대하여 $\phi(x)=2x$로 정의되는 사상 $\phi:\,\mathbb{Z}\,\rightarrow\,2\mathbb{Z}$에 대하여 $(\mathbb{Z},\,+)$와 $(2\mathbb{Z},\,+)$는 아벨군으로서 동형이나 환으로서는 동형이 아니다. 그 이유는 $\phi(xy)=2xy\neq4xy=\phi(x)\phi(y)$이기 때문이다.

$\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$은 곱셈항등원이 $1$이지만 $2\mathbb{Z}$는 곱셈항등원을 갖지 않는다. $M_{n}(\mathbb{R})$에서의 곱셈은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않고, $\{0\}$은 환(영환(zero ring)이라고 한다)이다.

$\langle R,\,+,\,\cdot\rangle$를 환이라 하자. 이 환에서의 곱셈이 교환법칙을 만족하면, $R$을 가환환(commutative ring)이라고 한다. 곱셈항등원을 단위원(unity)이라고 하고, 곱셈항등원을 갖는 환을 단위원을 갖는 환(ring with unity)이라고 한다. 통상적으로 곱셈항등원을 $1$로 나타낸다.

단위원을 갖는 환에서 $(1+\cdots+1)(n\,\text{sum})(1+\cdots+1)(m\,\text{sum})=(1+\cdots+1)(mn\,\text{sum})$이므로 $(n\cdot1)(m\cdot1)=(nm)\cdot1$이 성립한다.

임의의 $r,\,s\in\mathbb{Z}^{+}\,(\text{gcd}(r,\,s)=1)$에 대하여 환으로서 $\mathbb{Z}_{rs}\simeq\mathbb{Z}_{r}\times\mathbb{Z}_{s}$이다. 그 이유는

(1) $(\mathbb{Z}_{r},\,+)=\langle1\rangle$, $\langle\mathbb{Z}_{s},\,+\rangle=\langle1\rangle$이므로 순환 아벨군으로서 $(\mathbb{Z}_{r}\times\mathbb{Z}_{s},\,+)=\langle(1,\,1)\rangle$이다. 그러면 $\phi(n\cdot 1)=n\cdot(1,\,1)$로 정의되는 $\phi:\,\mathbb{Z}_{rs}\,\rightarrow\,\mathbb{Z}_{r}\times\mathbb{Z}_{s}$는 덧셈군의 동형사상이다.

(2) 앞에서 정의한 사상 $\phi$에 대하여 $\phi(nm)=(nm)\cdot(1,\,1)=[n\cdot(1,\,1)][m\cdot(1,\,1)]=\phi(n)\phi(m)$이다.

따라서 환으로서 $\mathbb{Z}_{rs}\simeq\mathbb{Z}_{r}\times\mathbb{Z}_{s}$이다.

직접곱 $R_{1}\times\cdots\times R_{n}$이 가환환이거나 단위원을 가질 필요충분조건은 $R_{i}\,(i=1,\,\cdots,\,n)$들이 가환환이거나 단위원을 갖는다.

$R$을 단위원 $1$을 갖는 환, $a\in R$이라 하자. $a^{-1}\in R$가 존재해서 $aa^{-1}=a^{-1}a=1$이면, $a^{-1}$을 $a$의 곱셈역원(multiplicative inverse)이라고 한다. 여기서 $u\in R$이 $R$에서 곱셈역원을 가지면, $u$를 단원(unit)이라고 한다. 모든 $R$의 영이 아닌 원소들이 단원이면, $R$을 나눗셈 환(division ring, skew field)이라고 한다. 가환인 나눗셈 환을 체(field)라고 하고, 비가환인 나눗셈 환을 비가환체(strictly skew field)라고 한다.

*$a,\,b,\,m\in\mathbb{Z}$에 대하여 $a\equiv b\,(\text{mod}\,m)$을 어떤 $k\in\mathbb{Z}$에 대하여 $a-b=km$로 정의한다.

$\mathbb{Z}_{14}$에서 $1\cdot1=1$이고 $13\cdot13=169\equiv1\,(\text{mod}\,14)$, $3\cdot5=15\equiv1\,(\text{mod}\,14)$, $9\cdot11=99\equiv1\,(\text{mod}\,14)$이므로 $1,\,3,\,5,\,9,\,11,\,13$은 $\mathbb{Z}_{14}$에서 단원이다. 이것을 토대로 $m\in\mathbb{Z}_{n}$이 $\mathbb{Z}_{n}$에서 단원일 필요충분조건이 $\text{gcd}(m,\,n)=1$이라고 결론지을 수 있다.(이에 대한 증명은 나중에...)

$\mathbb{Z}$에서의 단원이 $1$과 $-1$뿐이므로 $\mathbb{Z}$는 체가 아니고, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$은 체이다.

참고: 단위원(곱셈항등원)은 단원이지만 단원이라고 해서 단위원이 아니다. $\mathbb{Z}$에서 $-1$은 $\mathbb{Z}$의 단원이지만 $-1\neq1$이므로 단위원이 아니다. 

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley