[현대대수학-환, 체론] 1. 환과 체

[현대대수학-환, 체론] 1. 환과 체

군론에서는 연산이 1개였지만 앞으로 다루게 될 환과 체는 연산이 2개(덧셈, 곱셈)이다.

집합 \(R\)이 덧셈연산과 곱셈연산에 대해

(1) \((R,\,+)\)는 아벨군이다.

(2) 곱셈연산에 대해 결합법칙이 성립한다. 
(3) 임의의 \(a,\,b,\,c\in R\)에 대하여 \(a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\), \((a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c\)가 성립한다.

위의 (1), (2), (3)이 성립하면 \(\langle R,\,+,\,\cdot\rangle\)을 환(ring)이라고 한다.   

\(\langle\mathbb{Z},\,+,\,\cdot\rangle\)(정수), \(\langle\mathbb{Q},\,+,\,\cdot\rangle\)(유리수), \(\langle\mathbb{R},\,+,\,\cdot\rangle\)(실수), \(\langle\mathbb{C},\,+,\,\cdot\rangle\)(복소수)는 환이다.

성분이 모두 실수인 \(n\times n\,(n\geq2)\)행렬들의 집합 \(M_{n}(\mathbb{R})\)에 대하여 \(\langle M_{n}(\mathbb{R}),\,+,\,\cdot\rangle\)는 환이고, 모든 함수 \(f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)들의 집합 \(F\)에서 임의의 \(x\in\mathbb{R}\), \(f,\,g\in F\)에 대해$$\begin{align*}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(f\cdot g)(x)&=f(x)g(x)\end{align*}$$라 하면, \(\langle F,\,+,\,\cdot\rangle\)는 환이다.

임의의 \(n\in\mathbb{Z}\)에 대하여 \(\langle n\mathbb{Z},\,+,\,\cdot\rangle\)는 환이고 임의의 \(a,\,b\in\mathbb{Z}\)에 대하여 \(ab\)를 \(ab\)를 나눈 나머지(이 연산을 \(n\)을 법으로 하는 곱셈이라고 한다)로 정의하면 \(\langle\mathbb{Z}_{n},\,+,\,\cdot\rangle\)도 환이 된다.

\(R_{1},\,R_{2},\,\cdots,\,R_{n}\)을 환, \(R_{1}\times R_{2}\times\cdots\times R_{n}=\{(r_{1},\,\cdots,\,r_{n})\,|\,r_{i}\in R_{i}\,i=1,\,\cdots,\,n\}\)이라 하자. 임의의 \((r_{1},\,\cdots,\,r_{n}),\,(s_{1},\,\cdots,\,s_{n})\in R_{1}\times\cdots\times R_{n}\)에 대하여$$\begin{align*}(r_{1},\,\cdots,\,r_{n})+(s_{1},\,\cdots,\,s_{n})&=(r_{1}+s_{1},\,\cdots,\,r_{n}+s_{n})\\(r_{1},\,\cdots,\,r_{n})\cdot(s_{1},\,\cdots,\,s_{n})&=(r_{1}\cdot s_{1},\,\cdots,\,r_{n}\cdot s_{n})\end{align*}$$이라 하면, \(\langle R_{1}\times\cdots\times R_{n},\,+,\,\cdot\rangle\)는 환이 되고, 이 환을 환 \(R_{i}\)들의 직접곱(direct product)이라고 한다.

*여기서부터 다루게 될 연산은 덧셈과 곱셈 뿐으로 \(0\)를 환의 덧셈항등원, \(-a\)를 덧셈역원,$$n\cdot a=\begin{cases}a+\cdots+a\,&(n>0)\\0\,&(n=0)\\(-a)+\cdots+(-a)\,&(a<0)\end{cases}$$으로 정의한다.

\(R\)의 덧셈항등원을 \(0\)이라 하자. 그러면 임의의 \(a,\,b\in R\)에 대하여 다음이 성립한다.

(1) \(0a=a0=0\)

(2) \(a(-b)=(-a)b=-ab\)

(3) \((-a)(-b)=ab\)

(1)과 (2)는 환의 성질을 이용하여 증명한다. (1)을 증명하면 \(a0+a0=a(0+0)=a0\)이고 \(0a+0a=(0+0)a=0a\)이므로 

따라서 \(a0=0\), \(0a=0\)이다.

(2) \(a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0\)이므로 \(a(-b)=-(ab)\)이고, \((-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0\)

(3) (2)의 결과로부터 \((-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab\)이다.(QED) 

\(R\)과 \(R'\)을 환이라 하자. 사상 \(\phi:\,R\,\rightarrow\,R'\)가 임의의 \(a,\,b\in R\)에 대하여

(1) \(\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)\)

(2) \(\phi(a\cdot b)=\phi(a)\phi(b)\)

위의 (1), (2)를 만족하면, \(\phi\)를 환 준동형사상(ring homomorphism)이라고 한다.

\(F\)를 함수 \(f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)들의 집합이라 하자. 임의의 \(a\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(\phi_{a}(f)=f(a)\)로 정의되는 사상 \(\phi_{a}:\,F\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 대입 준동형사상(evaluation homomorphism)이라고 한다. 이 대입 준동형사상은 환 준동형사상이다.

임의의 \(n\in\mathbb{Z}^{+}\)(양의 정수)에 대하여 \(m=nq+r\,(0\leq r<n)\)일 때, \(\phi(m)=r\)로 정의되는 사상 \(\phi:\,\mathbb{Z}\,\rightarrow\,\mathbb{Z}_{n}\)은 환 준동형사상이다.

\(R\)과 \(R'\)을 환이라 하자. \(\phi:\,R\,\rightarrow\,R'\)이 전단사인 환 준동형사상이면, \(\phi\)를 환 동형사상(ring isomorphism)이라고 한다.

임의의 \(x\in\mathbb{Z}\)에 대하여 \(\phi(x)=2x\)로 정의되는 사상 \(\phi:\,\mathbb{Z}\,\rightarrow\,2\mathbb{Z}\)에 대하여 \((\mathbb{Z},\,+)\)와 \((2\mathbb{Z},\,+)\)는 아벨군으로서 동형이나 환으로서는 동형이 아니다. 그 이유는 \(\phi(xy)=2xy\neq4xy=\phi(x)\phi(y)\)이기 때문이다.

\(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\)은 곱셈항등원이 \(1\)이지만 \(2\mathbb{Z}\)는 곱셈항등원을 갖지 않는다. \(M_{n}(\mathbb{R})\)에서의 곱셈은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않고, \(\{0\}\)은 환(영환(zero ring)이라고 한다)이다.

\(\langle R,\,+,\,\cdot\rangle\)를 환이라 하자. 이 환에서의 곱셈이 교환법칙을 만족하면, \(R\)을 가환환(commutative ring)이라고 한다. 곱셈항등원을 단위원(unity)이라고 하고, 곱셈항등원을 갖는 환을 단위원을 갖는 환(ring with unity)이라고 한다. 통상적으로 곱셈항등원을 \(1\)로 나타낸다.

단위원을 갖는 환에서 \((1+\cdots+1)(n\,\text{sum})(1+\cdots+1)(m\,\text{sum})=(1+\cdots+1)(mn\,\text{sum})\)이므로 \((n\cdot1)(m\cdot1)=(nm)\cdot1\)이 성립한다.

임의의 \(r,\,s\in\mathbb{Z}^{+}\,(\text{gcd}(r,\,s)=1)\)에 대하여 환으로서 \(\mathbb{Z}_{rs}\simeq\mathbb{Z}_{r}\times\mathbb{Z}_{s}\)이다. 그 이유는

(1) \((\mathbb{Z}_{r},\,+)=\langle1\rangle\), \(\langle\mathbb{Z}_{s},\,+\rangle=\langle1\rangle\)이므로 순환 아벨군으로서 \((\mathbb{Z}_{r}\times\mathbb{Z}_{s},\,+)=\langle(1,\,1)\rangle\)이다. 그러면 \(\phi(n\cdot 1)=n\cdot(1,\,1)\)로 정의되는 \(\phi:\,\mathbb{Z}_{rs}\,\rightarrow\,\mathbb{Z}_{r}\times\mathbb{Z}_{s}\)는 덧셈군의 동형사상이다.

(2) 앞에서 정의한 사상 \(\phi\)에 대하여 \(\phi(nm)=(nm)\cdot(1,\,1)=[n\cdot(1,\,1)][m\cdot(1,\,1)]=\phi(n)\phi(m)\)이다.

따라서 환으로서 \(\mathbb{Z}_{rs}\simeq\mathbb{Z}_{r}\times\mathbb{Z}_{s}\)이다.

직접곱 \(R_{1}\times\cdots\times R_{n}\)이 가환환이거나 단위원을 가질 필요충분조건은 \(R_{i}\,(i=1,\,\cdots,\,n)\)들이 가환환이거나 단위원을 갖는다.

\(R\)을 단위원 \(1\)을 갖는 환, \(a\in R\)이라 하자. \(a^{-1}\in R\)가 존재해서 \(aa^{-1}=a^{-1}a=1\)이면, \(a^{-1}\)을 \(a\)의 곱셈역원(multiplicative inverse)이라고 한다. 여기서 \(u\in R\)이 \(R\)에서 곱셈역원을 가지면, \(u\)를 단원(unit)이라고 한다. 모든 \(R\)의 영이 아닌 원소들이 단원이면, \(R\)을 나눗셈 환(division ring, skew field)이라고 한다. 가환인 나눗셈 환을 체(field)라고 하고, 비가환인 나눗셈 환을 비가환체(strictly skew field)라고 한다.

*\(a,\,b,\,m\in\mathbb{Z}\)에 대하여 \(a\equiv b\,(\text{mod}\,m)\)을 어떤 \(k\in\mathbb{Z}\)에 대하여 \(a-b=km\)로 정의한다.

\(\mathbb{Z}_{14}\)에서 \(1\cdot1=1\)이고 \(13\cdot13=169\equiv1\,(\text{mod}\,14)\), \(3\cdot5=15\equiv1\,(\text{mod}\,14)\), \(9\cdot11=99\equiv1\,(\text{mod}\,14)\)이므로 \(1,\,3,\,5,\,9,\,11,\,13\)은 \(\mathbb{Z}_{14}\)에서 단원이다. 이것을 토대로 \(m\in\mathbb{Z}_{n}\)이 \(\mathbb{Z}_{n}\)에서 단원일 필요충분조건이 \(\text{gcd}(m,\,n)=1\)이라고 결론지을 수 있다.(이에 대한 증명은 나중에...)

\(\mathbb{Z}\)에서의 단원이 \(1\)과 \(-1\)뿐이므로 \(\mathbb{Z}\)는 체가 아니고, \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\)은 체이다.

참고: 단위원(곱셈항등원)은 단원이지만 단원이라고 해서 단위원이 아니다. \(\mathbb{Z}\)에서 \(-1\)은 \(\mathbb{Z}\)의 단원이지만 \(-1\neq1\)이므로 단위원이 아니다. 

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley