[현대대수학-군론] 4. 잉여류와 라그랑주 정리

[현대대수학-군론] 4. 잉여류와 라그랑주 정리

$H$를 (유한)군 $G$의 부분군이라 하자. $G$에서의 관계 $\sim_{L}$을 $$a\sim_{L}b\,\Leftrightarrow\,a^{-1}b\in H$$ , 관계 $\sim_{R}$을 $$a\sim_{R}b\,\Leftrightarrow\,ab^{-1}\in H$$ 라 하자. 그러면 $\sim_{L}$과 $\sim_{R}$은 $G$에서의 동치관계이다.

(반사): 임의의 $a\in G$에 대하여 $a^{-1}a=e\in H$이므로 $a\sim_{L}a$이다.

(대칭): $a\sim_{L}b$라 하자. 그러면 $a^{-1}b\in H$이므로 $(a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a\in H$이고 따라서 $b\sim_{L}a$이다.

(추이): $a\sim_{L}b$이고 $b\sim_{L}c$라 하자. 그러면 $a^{-1}b,\,b^{-1}c\in H$이고 $(a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}c\in H$이므로 $a\sim_{L}c$이다.

따라서 $\sim_{L}$은 $G$에서의 동치관계이다.

위와 같은 방법으로 $\sim_{R}$의 경우도 증명할 수 있다.(QED)   

위의 결과를 이용하여 군 $G$에서의 분할을 만들 수 있다. $H$를 $G$의 부분군, $a\in G$라 하자. $a\sim_{L}x$일 필요충분조건은 어떤 $h\in H$가 존재해서 $a^{-1}x=h$이고 이를 $x=ah$로 나타낼 수 있다. 그러면 $\{x\in G\,|\,a\sim_{L}x\}=\{ah\,|\,h\in H\}$이고 이 집합을 $aH$로 나타내는데, 집합 $aH$를 $a$를 포함하는 $H$의 좌잉여류(left coset)라고 한다, 즉 $aH=\{ah\,|\,h\in H\}$. 이와 비슷하게 $x\sim_{R}a$일 필요충분조건은 어떤 $h\in H$가 존재해서 $xa^{-1}=h$이고 이를 $x=ha$로 나타낼 수 있다. 그러면 $\{x\in G\,|\,x\sim_{R}a\}=\{ha\,|\,h\in H\}$이고 이 집합을 $Ha$로 나타내며 $a$를 포함하는 $H$의 우잉여류(right coset)라고 한다, 즉 $Ha=\{ha\,|\,h\in H\}$. 좌잉여류와 우잉여류는 $G$의 분할이 된다. 이때 주의할 점은 군에서 교환법칙이 일반적으로 성립하지 않기 때문에 좌잉여류와 우잉여류는 항상 같지 않다.

$G=(\mathbb{Z},\,+)$, $H=(3\mathbb{Z},\,+)$라 하자. 그러면 $H$는 $G$의 부분군이고($3\mathbb{Z}=\{3n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$) $$0+3\mathbb{Z}=\{3n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}=3+3\mathbb{Z}=6+3\mathbb{Z}=\cdots\\1+3\mathbb{Z}=\{1+3n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}=4+3\mathbb{Z}=7+3\mathbb{Z}\cdots\\2+3\mathbb{Z}=\{2+3n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}=5+3\mathbb{Z}=8+3\mathbb{Z}\cdots$$ 이다. $0+3\mathbb{Z}$, $1+3\mathbb{Z}$, $2+3\mathbb{Z}$는 서로소이고 이들의 합집합은 $G$이다.

군 $G$가 아벨군이면, 부분군에 대한 좌잉여류와 우잉여류가 같다. 즉, $G$의 부분군 $H$와 임의의 $a\in G$에 대하여 $aH=Ha$.

$G=(\mathbb{Z}_{6},\,+)$, $H=\{0,\,3\}$이라 하자. 그러면 $G$는 아벨군, $H$는 $G$의 부분군이고 $$0+H=H=\{0,\,3\},\,1+H=\{1,\,4\},\,2+H=\{2,\,5\}$$ 이다.  

군 $G$의 부분군을 $H$라 하자. $H$의 모든 좌, 우잉여류들은 $H$의 원소의 개수와 같은 수의 원소를 갖는다.

$\phi:\,H\,\rightarrow\,gH$를 임의의 $h\in H$에 대하여 $\phi(h)=gh$로 정의되는 사상이라 하자. 그러면 $\phi$는 전단사이다.

(일대일): $\phi(h_{1})=\phi(h_{2})$이면, $gh_{1}=gh_{2}$이고 소거법칙에 의해 $h_{1}=h_{2}$이다.

(위로, onto): $gH=\{gh\,|\,h\in H\}$이므로 자명하다.

따라서 $\phi$는 전단사이고 임의의 $g\in G$에 대하여 $|gH|=|H|$이다.(QED)

(라그랑주의 정리, Theorem of Lagrange): $H$를 유한군 $G$의 부분군이라 하자. 그러면 $H$의 위수는 $G$의 위수의 약수이다. 즉 $|H|\,|\,|G|$($|H|$는 $|G|$의 약수).

$|G|=n$, $|H|=m$이라 하고 $r$을 $H$의 좌잉여류들의 개수라 하자. 그러면 $|G|=n=rm=r|H|$이고 따라서 $m|n$이다.(QED)

위수가 소수(prime)인 군은 순환군이다.

$|G|=p$(소수), $a(\neq e)\in G$라 하자. 그러면 $\langle a\rangle$는 $G$의 순환부분군이고 $|\langle a\rangle|\geq2\,(\because a\neq e)$이다. 앞의 라그랑주 정리에 의해 $|\langle a\rangle|$가 $|G|=p$의 약수이어야 하므로 $|\langle a\rangle|=p$이다. 따라서 $G=\langle a\rangle$이고 $G$는 순환군이다.(QED)

$G$를 유한군, $a\in G$라 하자. 그러면 $a$의 위수는 $|G|$의 약수가 되는데 이는 라그랑주 정리로부터 얻을 수 있다.

$H$를 군 $G$의 부분군이라 하자. $G$에서의 $H$의 좌잉여류의 개수를 $G$에서의 $H$의 지수(index)라 하고 이를 $(G\,:\,H)$로 나타낸다. $G$가 유한군이면, $\displaystyle(G\,:\,H)=\frac{|G|}{|H|}$이다.

$H$와 $K$를 $K\leq H\leq G$인 군 $G$의 부분군, $(H\,:\,K)$와 $(G\,:\,H)$모두 유한하다고 하자. 그러면 $(G\,:\,K)$는 유한하고 $(G\,:\,K)=(G\,:\,H)(H\,:\,K)$가 성립한다. 이것 역시 라그랑주 정리로부터 얻을 수 있다.

이 정리에서 주의할 점은 이 정리의 역이 가환군에 대해서만 성립한다는 점이다(비가환군에 대해서 역이 성립하지 않는다).

참고자료  

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Freleigh, Addison Wesley