[현대대수학-군론] 4. 잉여류와 라그랑주 정리

[현대대수학-군론] 4. 잉여류와 라그랑주 정리

\(H\)를 (유한)군 \(G\)의 부분군이라 하자. \(G\)에서의 관계 \(\sim_{L}\)을$$a\sim_{L}b\,\Leftrightarrow\,a^{-1}b\in H$$, 관계 \(\sim_{R}\)을$$a\sim_{R}b\,\Leftrightarrow\,ab^{-1}\in H$$라 하자. 그러면 \(\sim_{L}\)과 \(\sim_{R}\)은 \(G\)에서의 동치관계이다.

(반사): 임의의 \(a\in G\)에 대하여 \(a^{-1}a=e\in H\)이므로 \(a\sim_{L}a\)이다.

(대칭): \(a\sim_{L}b\)라 하자. 그러면 \(a^{-1}b\in H\)이므로 \((a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a\in H\)이고 따라서 \(b\sim_{L}a\)이다.

(추이): \(a\sim_{L}b\)이고 \(b\sim_{L}c\)라 하자. 그러면 \(a^{-1}b,\,b^{-1}c\in H\)이고 \((a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}c\in H\)이므로 \(a\sim_{L}c\)이다.

따라서 \(\sim_{L}\)은 \(G\)에서의 동치관계이다.

위와 같은 방법으로 \(\sim_{R}\)의 경우도 증명할 수 있다.(QED)   

위의 결과를 이용하여 군 \(G\)에서의 분할을 만들 수 있다. \(H\)를 \(G\)의 부분군, \(a\in G\)라 하자. \(a\sim_{L}x\)일 필요충분조건은 어떤 \(h\in H\)가 존재해서 \(a^{-1}x=h\)이고 이를 \(x=ah\)로 나타낼 수 있다. 그러면 \(\{x\in G\,|\,a\sim_{L}x\}=\{ah\,|\,h\in H\}\)이고 이 집합을 \(aH\)로 나타내는데, 집합 \(aH\)를 \(a\)를 포함하는 \(H\)의 좌잉여류(left coset)라고 한다, 즉 \(aH=\{ah\,|\,h\in H\}\). 이와 비슷하게 \(x\sim_{R}a\)일 필요충분조건은 어떤 \(h\in H\)가 존재해서 \(xa^{-1}=h\)이고 이를 \(x=ha\)로 나타낼 수 있다. 그러면 \(\{x\in G\,|\,x\sim_{R}a\}=\{ha\,|\,h\in H\}\)이고 이 집합을 \(Ha\)로 나타내며 \(a\)를 포함하는 \(H\)의 우잉여류(right coset)라고 한다, 즉 \(Ha=\{ha\,|\,h\in H\}\). 좌잉여류와 우잉여류는 \(G\)의 분할이 된다. 이때 주의할 점은 군에서 교환법칙이 일반적으로 성립하지 않기 때문에 좌잉여류와 우잉여류는 항상 같지 않다.

\(G=(\mathbb{Z},\,+)\), \(H=(3\mathbb{Z},\,+)\)라 하자. 그러면 \(H\)는 \(G\)의 부분군이고(\(3\mathbb{Z}=\{3n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}\))$$0+3\mathbb{Z}=\{3n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}=3+3\mathbb{Z}=6+3\mathbb{Z}=\cdots\\1+3\mathbb{Z}=\{1+3n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}=4+3\mathbb{Z}=7+3\mathbb{Z}\cdots\\2+3\mathbb{Z}=\{2+3n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}=5+3\mathbb{Z}=8+3\mathbb{Z}\cdots$$이다. \(0+3\mathbb{Z}\), \(1+3\mathbb{Z}\), \(2+3\mathbb{Z}\)는 서로소이고 이들의 합집합은 \(G\)이다.

군 \(G\)가 아벨군이면, 부분군에 대한 좌잉여류와 우잉여류가 같다. 즉, \(G\)의 부분군 \(H\)와 임의의 \(a\in G\)에 대하여 \(aH=Ha\).

\(G=(\mathbb{Z}_{6},\,+)\), \(H=\{0,\,3\}\)이라 하자. 그러면 \(G\)는 아벨군, \(H\)는 \(G\)의 부분군이고$$0+H=H=\{0,\,3\},\,1+H=\{1,\,4\},\,2+H=\{2,\,5\}$$이다.  

군 \(G\)의 부분군을 \(H\)라 하자. \(H\)의 모든 좌, 우잉여류들은 \(H\)의 원소의 개수와 같은 수의 원소를 갖는다.

\(\phi:\,H\,\rightarrow\,gH\)를 임의의 \(h\in H\)에 대하여 \(\phi(h)=gh\)로 정의되는 사상이라 하자. 그러면 \(\phi\)는 전단사이다.

(일대일): \(\phi(h_{1})=\phi(h_{2})\)이면, \(gh_{1}=gh_{2}\)이고 소거법칙에 의해 \(h_{1}=h_{2}\)이다.

(위로, onto): \(gH=\{gh\,|\,h\in H\}\)이므로 자명하다.

따라서 \(\phi\)는 전단사이고 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(|gH|=|H|\)이다.(QED)

(라그랑주의 정리, Theorem of Lagrange): \(H\)를 유한군 \(G\)의 부분군이라 하자. 그러면 \(H\)의 위수는 \(G\)의 위수의 약수이다. 즉 \(|H|\,|\,|G|\)(\(|H|\)는 \(|G|\)의 약수).

\(|G|=n\), \(|H|=m\)이라 하고 \(r\)을 \(H\)의 좌잉여류들의 개수라 하자. 그러면 \(|G|=n=rm=r|H|\)이고 따라서 \(m|n\)이다.(QED)

위수가 소수(prime)인 군은 순환군이다.

\(|G|=p\)(소수), \(a(\neq e)\in G\)라 하자. 그러면 \(\langle a\rangle\)는 \(G\)의 순환부분군이고 \(|\langle a\rangle|\geq2\,(\because a\neq e)\)이다. 앞의 라그랑주 정리에 의해 \(|\langle a\rangle|\)가 \(|G|=p\)의 약수이어야 하므로 \(|\langle a\rangle|=p\)이다. 따라서 \(G=\langle a\rangle\)이고 \(G\)는 순환군이다.(QED)

\(G\)를 유한군, \(a\in G\)라 하자. 그러면 \(a\)의 위수는 \(|G|\)의 약수가 되는데 이는 라그랑주 정리로부터 얻을 수 있다.

\(H\)를 군 \(G\)의 부분군이라 하자. \(G\)에서의 \(H\)의 좌잉여류의 개수를 \(G\)에서의 \(H\)의 지수(index)라 하고 이를 \((G\,:\,H)\)로 나타낸다. \(G\)가 유한군이면, \(\displaystyle(G\,:\,H)=\frac{|G|}{|H|}\)이다.

\(H\)와 \(K\)를 \(K\leq H\leq G\)인 군 \(G\)의 부분군, \((H\,:\,K)\)와 \((G\,:\,H)\)모두 유한하다고 하자. 그러면 \((G\,:\,K)\)는 유한하고 \((G\,:\,K)=(G\,:\,H)(H\,:\,K)\)가 성립한다. 이것 역시 라그랑주 정리로부터 얻을 수 있다.

이 정리에서 주의할 점은 이 정리의 역이 가환군에 대해서만 성립한다는 점이다(비가환군에 대해서 역이 성립하지 않는다).

참고자료  

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Freleigh, Addison Wesley