[현대대수학-환, 체론] 5. 다항식 환

[현대대수학-환, 체론] 5. 다항식 환

계수가 환 \(R\)의 원소인 다항식들의 집합을 \(R[x]\)로 나타내고, 여기서 \(x\)를 변수(variable)보다 부정원(indeterminate)이라고 하겠다. 예를들어 \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\), \(\mathbb{C}[x]\)는 정수 계수, 실수 계수, 복소수 계수 다항식들의 집합이다.

\(R\)을 환$$f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}+\cdots$$(\(a_{i}\in R\), 유한개의 \(i\)를 제외한 모든 \(i\)에 대하여 \(a_{i}=0\), \(x\)는 부정원)이라 하자. 그러면 \(f(x)\)는 계수가 \(R\)인 부정원 \(x\)에 대한 다항식이라고 하고, \(a_{i}\)를 \(f(x)\)의 계수(coefficient), \(a_{i}\neq0\)인 \(i\geq0\)가 존재하면, \(i\)중 가장 큰 수를 \(f(x)\)의 차수(degree)라고 한다. 모든 \(i\)에 대하여 \(a_{i}=0\)이면, 차수는 정의되지 않는다.

\(f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}+\cdots\), \(g(x)=b_{o}+b_{1}x+\cdots+b_{n}x^{n}+\cdots\)라 하자. 그러면 다항식의 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 정의된다.$$\begin{align*}f(x)+g(x)&=(a_{o}+b_{o})+(a_{1}+b_{1})x+\cdots+(a_{n}+b_{n})x^{n}+\cdots\\f(x)g(x)&=d_{o}+d_{1}x+\cdots+d_{n}x^{n}+\cdots\,\left(d_{n}=\sum_{i=0}^{n}{a_{i}b_{n-i}}\right)\end{align*}$$\(R\)이 가환환이 아니면, \(\displaystyle\sum_{i=0}^{n}{a_{i}b_{n-i}}\)와 \(\displaystyle\sum_{i=0}^{n}{b_{i}a_{n-i}}\)는 서로 갖지 않다. 

환 \(R\)의 원소를 계수로 갖는 다항식들의 집합 \(R[x]\)는 앞에서 정의한 다항식의 덧셈과 곱셈에 대해서 환이 되고, \(R\)이 가환환이면, \(R[x]\)도 가환환이며, \(1\neq0\)이 \(R\)의 곱셈에 대한 항등원이면, \(1\)은 \(R[x]\)의 곱셈항등원이다.(증명생략)

위의 \(R[x]\)를 다항식 환(rings of polynomial)이라고 한다.

\(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\)는 환이 되므로, \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\)는 다항식 환이다.

\(\mathbb{Z}_{2}[x]\)에서$$\begin{align*}&(x+1)^{2}=(x+1)(x+1)=x^{2}+(1+1)x+1=x^{2}+1\\&(x+1)+(x+1)=(1+1)x+(1+1)=0x+0=0\end{align*}$$이다

\(R\)을 환, \(x\), \(y\)를 부정원이라 하자.$$\begin{align*}(R[x])[y]&=\left\{\sum_{i=0}^{\infty}{f_{i}(x)y^{i}}\,|\,f_{i}(x)\in R[x]\right\}\\&=\{f_{0}(x)+f_{1}(x)y+f_{2}(x)y^{2}+\cdots+f_{n}(x)y^{n}+\cdots\,|\,f_{i}(x)\in R[x]\}\end{align*}$$이고 \((R[x])[y]\simeq(R[y])[x]\)이다. 이 환을 계수가 환 \(R\)의 원소인 두 부정원 \(x\), \(y\)에 대한 다항식 환이라 하고 이를 \(R[x,\,y]\)로 나타내며, 일반화해서 계수가 \(R\)의 원소이고 부정원 \(x_{1},\,\cdots,\,x_{n}\)에 대한 다항식 환을 \(R[x_{1},\,\cdots,\,x_{n}]\)으로 나타낸다. 

\(D\)가 정역이면, \(D[x]\)도 정역이다.

\(f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\,(a_{n}\neq0),\,g(x)=b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_{1}x+b_{0}\,(b_{n}\neq0)\in D[x]\)라 하자. \(D\)가 정역이기 때문에 \(a_{n}b_{n}\neq0\)이고 이는 \(f(x)\neq0\), \(g(x)\neq0\)이면, \(f(x)g(x)\neq0\)임을 뜻한다. 게다가 \(D[x]\)는 단위원을 갖는 가환환이기때문에 따라서 \(D[x]\)는 정역이다.(QED)

\(F\)가 체이면, 정역이 되고, \(F[x]\)도 정역이 되나 체는 아니다. \(x\in F[x]\)이나 \(x\)는 단원이 아니기 때문이다.

\(F[x]\)가 정역이면, \(F[x]\)의 분수체 \(F(x)\)를 만들 수 있고, \(F(x)\)는 다음과 같다.$$F(x)=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\,|\,f(x),\,g(x)(\neq0)\in F[x]\right\}\,\left(f(x)/g(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\right)$$비슷하게 \(F(x_{1},\,\cdots,\,x_{n})\)은 \(F[x_{1},\,\cdots,\,x_{n}]\)의 분수체이다.

\(F\)가 체 \(E\)의 부분체이면, 이를 \(F\leq E\)로 나타낸다.

\(F\)를 체 \(E\)의 부분체, \(\alpha\in E\), \(x\)를 부정원이라 하자. 그러면 임의의 \(a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\in F[x]\)에 대하여 \(\phi_{\alpha}(a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n})=a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n}\)으로 정의되는 사상 \(\phi_{\alpha}:\,F[x]\,\rightarrow\,E\)는 준동형사상이고 또한 \(\phi_{\alpha}(x)=\alpha\)이고 임의의 \(a\in F\)에 대하여 \(\phi_{\alpha}(a)=a\) 즉, \(\phi_{\alpha}|_{F}=id|_{F}\)이다.

(위의 도표에서 점선은 그 집합의 원소임을 나타낸다.) 사상 \(\phi_{\alpha}\)는 잘 정의되어 있는데 \(f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\in F[x]\)가 \(0x^{i}\)라는 항이 추가되거나 제외된 것을 제외하고는 \(f(x)\)의 다른 표현과 동일한데, \(0x^{i}\)는 \(\phi_{\alpha}(f(x))\)의 값에 어떠한 영양을 주지 않기 때문이다.

\(f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\), \(g(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots+b_{m}x^{m}\), \(h(x)=f(x)+g(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots+c_{r}x^{r}\)이면,$$\phi_{\alpha}(f(x)+g(x))=\phi_{\alpha}(h(x))=c_{0}+c_{1}\alpha+\cdots+c_{r}\alpha^{r}$$이고$$\phi_{\alpha}(f(x))+\phi_{\alpha}(g(x))=(a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n})+(b_{0}+b_{1}\alpha+\cdots+b_{m}\alpha^{m})$$이 되는데, \(c_{i}=a_{i}+b_{i}\)이므로 \(\phi_{\alpha}(f(x)+g(x))=\phi_{\alpha}(f(x))+\phi_{\alpha}(g(x))\)이다. 또한$$\begin{align*}f(x)g(x)&=d_{0}+d_{1}\alpha+\cdots+d_{s}\alpha^{s}\\ [\phi_{\alpha}(f(x))][\phi_{\alpha}(g(x))]&=(a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n})(b_{0}+b_{1}\alpha+\cdots+b_{m}\alpha^{m})\end{align*}$$이고 \(\displaystyle d_{j}=\sum_{i=0}^{j}{a_{i}b_{j-i}}\)이므로, \(\phi_{\alpha}(f(x)g(x))=[\phi_{\alpha}(f(x))][\phi_{\alpha}(g(x))]\)가 성립하고 따라서 \(\phi_{\alpha}\)는 환 준동형사상이다.

\(a\in F\)는 \(F[x]\)의 상수 다항식으로 볼 수 있고, \(\phi_{\alpha}\)의 정의로부터 \(\phi_{\alpha}(a)=a\)이므로, \(F[x]\)의 부분체 \(F\)와 \(E\)의 부분체 \(F\)를 항등사상으로 대응시키고, 정의에 의해 \(\phi_{\alpha}(x)=\phi_{\alpha}(1x)=1\alpha=\alpha\)이다.(QED)   

위의 정리에서 \(F=\mathbb{Q}\), \(E=\mathbb{R}\), \(\alpha=0\)이라 하자. 그러면 앞의 정리의 대입 준동형사상 \(\phi_{0}:\,\mathbb{Q}[x]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)은 $$\phi_{0}(a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n})=a_{0}+a_{1}0+\cdots+a_{n}0^{n}=a_{0}$$이고 이것은 모든 다항식들을 상수로 사상하는 사상이다.

비슷하게 \(\phi_{2}:\,\mathbb{Q}[x]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)에 대하여 \(\phi_{2}(x^{2}+x-6)=2^{2}+2-6=0\)이므로 \(x^{2}+x-6\in\text{Ker}(\phi_{2})\)가 되는데  \(x^{2}+x-6=(x-2)(x+3)\)이고 \(\phi_{2}(x-2)=0\)이기 때문이다. 또한 \(\phi_{i}:\,\mathbb{Q}[x]\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)에 대하여 \(\phi_{i}(x^{2}+1)=0\)이므로 \(x^{2}+1\in\text{Ker}(\phi_{i})\)이다.

\(\phi_{\pi}:\,\mathbb{Q}[x]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)에 대하여$$\phi_{\alpha}(a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n})=a_{0}+a_{1}\pi+\cdots+a_{0}\pi^{n}$$이고 \(a_{0}+a_{1}\pi+\cdots+a_{n}\pi^{n}=0\)이 성립할 필요충분조건은 \(a_{i}=0\,(i=0,\,1,\,\cdots,\,n)\)이다. 따라서 \(\text{Ker}(\phi_{\pi})=\{0\}\)이고 \(\phi_{\pi}\)는 일대일이다.

\(F\)를 체 \(E\)의 부분체, \(\alpha\in E\), \(f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\in F[x]\), \(\phi_{\alpha}:\,F[x]\,\rightarrow\,E\)를 대입 준동형사상이라 하자. 그러면$$\phi_{\alpha}(f(x))=a_{0}+a_{1}\alpha+\cdots+a_{n}\alpha^{n}$$이고 \(f(\alpha)=0\)이면, \(\alpha\)를 \(f(x)\)의 근(zero)이라고 한다.

\(x^{2}-2\)는 유리수근을 갖지 않는다. 즉 \(\sqrt{2}\)는 유리수가 아니다.

\(\displaystyle\sqrt{2}=\frac{m}{n}\,(m,\,n\in\mathbb{Z},\,\text{gcd}(m,\,n)=1)\)이라 하자. 그러면 \(\displaystyle\left(\frac{m}{n}\right)^{2}=2\)이고 \(m^{2}=2n^{2}\)이다. 이때 \(m^{2}\)는 짝수이므로 \(m\)도 짝수이고 적당한 \(k\in\mathbb{Z}\)에 대하여 \(m=2k\)이다. \((2k)^{2}=m^{2}=2n^{2}\)이고 \(4k^{2}=2n^{2}\)이므로 \(2k^{2}=n^{2}\)이다. \(n^{2}\)도 짝수이므로 \(n\)도 짝수가 된다. 이렇게 되면 \(\text{gcd}(m,\,n)\geq2\)가 되어 \(\text{gcd}(m,\,n)=1\)이라는 사실에 모순이다. 따라서 \(\sqrt{2}\)는 유리수가 아니다.(QED)

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley