[현대대수학-환, 체론] 9. 극대 아이디얼

[현대대수학-환, 체론] 9. 극대 아이디얼

1. \(\mathbb{Z}\)는 환이고, 임의의 소수 \(p\)에 대하여 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}_{p}\)이고 \(\mathbb{Z}_{p}\)가 체이므로, \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)는 체이다. 이것은 한 정역의 잉여환이 체가 될 수 있음을 뜻한다.

2. \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\)는 체가 아니다. 왜냐하면 \((1,\,0)\neq0\), \((0,\,1)\neq0\)이지만 \((1,\,0)(0,\,1)=(0,\,0)\)이기 때문이다.

3. \(N=\{(0,\,n)\,|\,n\in\mathbb{Z}\}\)라 하자. 그러면 \(N\)은 \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\)의 아이디얼이고 \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/N\simeq\mathbb{Z}\)이다. 이것은 한 환의 잉여환이 정역이 될 수 있음을 뜻한다.

4. \(N=\{0,\,3\}\)은 \(\mathbb{Z}_{6}\)의 한 아이디얼이고 \(\mathbb{Z}_{6}/N=\{0+N,\,1+N,\,2+N\}\)이다. 이때 \(0+N\)을 \(0\)에, \(1+N\)을 \(1\)에, \(2+N\)을 \(2\)에 대응시키면 \(\mathbb{Z}_{6}/N\simeq\mathbb{Z}_{3}\)이고 \(\mathbb{Z}_{6}\)은 정역이 아니나 \(\mathbb{Z}_{6}/N\)은 체이다.

5. \(\mathbb{Z}\)는 정역이지만 \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}_{6}\)은 정역이 아니다.

임의의 영이 아닌 환 \(R\)은 적어도 두개의 아이디얼을 갖는데 그 중 하나는 \(R\)이고, 다른 하나는 \(\{0\}\)이다. \(R\)을 비고유 아이디얼(improper ideal), \(\{0\}\)을 자명 아이디얼(trivial ideal)이라고 한다. \(N\neq R\)이고 \(N\neq\{0\}\)인 아이디얼 \(N\)을 비자명 진 아이디얼(nontrivial proper ideal)이라고 한다.

\(R\)을 단위원을 갖는 환, \(N\)을 단원을 포함하는 \(R\)의 아이디얼이라 하자. 그러면 \(N=R\)이다.

\(N\)을 \(R\)의 아이디얼, \(u\in N\)을 단원이라 하자. 그러면 \(1=u^{-1}u\in RN\subset N\)이고 임의의 \(r\in R\)에 대하여 \(r=r\cdot1=RN\subset N\)이므로 \(R\subset N\)이다. \(N\subset R\)임은 분명하므로 \(N=R\)이다. (QED)

체는 비자명 진 아이디얼을 포함하지 않는다.

\(0\)이 아닌 체의 모든 원소들은 가역원이므로 체 \(F\)의 아이디얼은 \(\{0\}\)과 \(F\)뿐이다.(QED)

\(M(\neq R)\)을 환 \(R\)의 아이디얼이라 하자. \(M\subset N\subset R\)인 \(R\)의 아이디얼 \(N\)이 존재하지 않으면, \(M\)을 \(R\)의 극대 아이디얼(maximal ideal)이라고 한다.

\(p\)를 소수라고 하면, \(p\mathbb{Z}\)는 \(\mathbb{Z}\)의 극대 아이디얼이다.

\(R\)을 단위원을 갖는 가환환이라 하자. 그러면 \(M\)이 \(R\)의 극대 아이디얼이 될 필요충분조건은 \(R/M\)이 체이다.

\((\Rightarrow)\): \(M\)을 \(R\)의 극대 아이디얼이라 하자. \(R\)이 단위원을 갖는 가환환이고 \(M\neq R\)이기 때문에 \(R/M\)도 단위원을 갖는 \(0\)이 아닌 가환환이다. \(R/M\)의 \(0\)이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 가짐을 보이자.

(참고: \(a+M\in R/M\)이 \(0\)이 아닌 원소일 필요충분조건은 \(a+M\neq0+M\)이고 \(a+M\neq0+M\)일 필요충분조건은 \(a\not\in M\)이다)

\(a\not\in M\)이고 \(a+M\)이 곱셈에 대한 역원을 갖지 않는다고 하자. 그러면 \((R/M)(a+M)=\{(r+M)(a+M)\,|\,r+M\in R/M\}\)은 \(1+M\)을 포함하지 않는데 \((R/M)(a+M)\)은 \(R/M\)의 아이디얼이고 \(a\not\in M\)이기 때문에 \((R/M)(a+M)\)은 비자명이고 \(1+M\not\in(R/M)(a+M)\)이기 때문에 \((R/M)(a+M)\neq R/M\)이다.

\(\gamma:\,R\,\rightarrow\,R/M\)를 \(\gamma(x)=x+M\)으로 정의되는 사상이라고 하면 \(\gamma^{-1}[(R/M)(a+M)]\)은 \(M\)을 포함하는 \(R\)의 부분 아이디얼이 되는데(\(M\subset\gamma^{-1}[(R/M)(a+M)]\subset R\)) 이것은 \(M\)이 극대 아이디얼이라는 사실에 모순이다. 따라서 \(a+M\)은 곱셈에 대한 역원을 가진다.

\((\Leftarrow)\): \(R/M\)이 체라고 하자. \(N\)이 \(M\subset N\subset R\)을 만족하는 \(R\)의 아이디얼이고 \(\gamma:\,R\,\rightarrow\,R/M\)가 \(\gamma(x)=x+M\)으로 정의되는 사상이면, \(\gamma[N]\)은 \(\{(0+M)\}\subset\gamma[N]\subset R/M\)을 만족하는 \(R/M\)의 아이디얼이 된다. 그런데 \(R/M\)은 체이기 때문에 어떠한 비자명 진 아이디얼을 포함하지 않는다는 사실에 모순이다.(QED)

\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}_{n}\)이고 \(\mathbb{Z}_{n}\)이 체가 될 필요충분조건이 \(n\)이 소수이기 때문에 \(\mathbb{Z}\)의 극대 아이디얼은 적당한 소수 \(p\)에 대하여 \(p\mathbb{Z}\)이다.

단위원을 갖는 가환환이 체가 될 필요충분조건은 비자명 진 아이디얼을 갖지 않는다.

\((\Rightarrow):\) 체는 비자명 진 아이디얼을 포함하지 않는다는 사실로부터 명백하다.

\((\Leftarrow):\) \(R\)이 단위원을 갖는 가환환이고 \(R\)이 비자명 진 아이디얼을 갖지 않으면, \(\{0\}\)은 \(R\)의 극대 아이디얼이고 \(R\simeq R/\{0\}\), \(R/\{0\}\)이 체가 되므로 \(R\)은 체가 된다.(QED)

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley