[현대대수학-환, 체론] 9. 극대 아이디얼

[현대대수학-환, 체론] 9. 극대 아이디얼

1. $\mathbb{Z}$는 환이고, 임의의 소수 $p$에 대하여 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}_{p}$이고 $\mathbb{Z}_{p}$가 체이므로, $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$는 체이다. 이것은 한 정역의 잉여환이 체가 될 수 있음을 뜻한다.

2. $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$는 체가 아니다. 왜냐하면 $(1,\,0)\neq0$, $(0,\,1)\neq0$이지만 $(1,\,0)(0,\,1)=(0,\,0)$이기 때문이다.

3. $N=\{(0,\,n)\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$라 하자. 그러면 $N$은 $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$의 아이디얼이고 $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/N\simeq\mathbb{Z}$이다. 이것은 한 환의 잉여환이 정역이 될 수 있음을 뜻한다.

4. $N=\{0,\,3\}$은 $\mathbb{Z}_{6}$의 한 아이디얼이고 $\mathbb{Z}_{6}/N=\{0+N,\,1+N,\,2+N\}$이다. 이때 $0+N$을 $0$에, $1+N$을 $1$에, $2+N$을 $2$에 대응시키면 $\mathbb{Z}_{6}/N\simeq\mathbb{Z}_{3}$이고 $\mathbb{Z}_{6}$은 정역이 아니나 $\mathbb{Z}_{6}/N$은 체이다.

5. $\mathbb{Z}$는 정역이지만 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}_{6}$은 정역이 아니다.

임의의 영이 아닌 환 $R$은 적어도 두개의 아이디얼을 갖는데 그 중 하나는 $R$이고, 다른 하나는 $\{0\}$이다. $R$을 비고유 아이디얼(improper ideal), $\{0\}$을 자명 아이디얼(trivial ideal)이라고 한다. $N\neq R$이고 $N\neq\{0\}$인 아이디얼 $N$을 비자명 진 아이디얼(nontrivial proper ideal)이라고 한다.

$R$을 단위원을 갖는 환, $N$을 단원을 포함하는 $R$의 아이디얼이라 하자. 그러면 $N=R$이다.

$N$을 $R$의 아이디얼, $u\in N$을 단원이라 하자. 그러면 $1=u^{-1}u\in RN\subset N$이고 임의의 $r\in R$에 대하여 $r=r\cdot1=RN\subset N$이므로 $R\subset N$이다. $N\subset R$임은 분명하므로 $N=R$이다. (QED)

체는 비자명 진 아이디얼을 포함하지 않는다.

$0$이 아닌 체의 모든 원소들은 가역원이므로 체 $F$의 아이디얼은 $\{0\}$과 $F$뿐이다.(QED)

$M(\neq R)$을 환 $R$의 아이디얼이라 하자. $M\subset N\subset R$인 $R$의 아이디얼 $N$이 존재하지 않으면, $M$을 $R$의 극대 아이디얼(maximal ideal)이라고 한다.

$p$를 소수라고 하면, $p\mathbb{Z}$는 $\mathbb{Z}$의 극대 아이디얼이다.

$R$을 단위원을 갖는 가환환이라 하자. 그러면 $M$이 $R$의 극대 아이디얼이 될 필요충분조건은 $R/M$이 체이다.

$(\Rightarrow)$: $M$을 $R$의 극대 아이디얼이라 하자. $R$이 단위원을 갖는 가환환이고 $M\neq R$이기 때문에 $R/M$도 단위원을 갖는 $0$이 아닌 가환환이다. $R/M$의 $0$이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 가짐을 보이자.

(참고: $a+M\in R/M$이 $0$이 아닌 원소일 필요충분조건은 $a+M\neq0+M$이고 $a+M\neq0+M$일 필요충분조건은 $a\not\in M$이다)

$a\not\in M$이고 $a+M$이 곱셈에 대한 역원을 갖지 않는다고 하자. 그러면 $(R/M)(a+M)=\{(r+M)(a+M)\,|\,r+M\in R/M\}$은 $1+M$을 포함하지 않는데 $(R/M)(a+M)$은 $R/M$의 아이디얼이고 $a\not\in M$이기 때문에 $(R/M)(a+M)$은 비자명이고 $1+M\not\in(R/M)(a+M)$이기 때문에 $(R/M)(a+M)\neq R/M$이다.

$\gamma:\,R\,\rightarrow\,R/M$를 $\gamma(x)=x+M$으로 정의되는 사상이라고 하면 $\gamma^{-1}[(R/M)(a+M)]$은 $M$을 포함하는 $R$의 부분 아이디얼이 되는데($M\subset\gamma^{-1}[(R/M)(a+M)]\subset R$) 이것은 $M$이 극대 아이디얼이라는 사실에 모순이다. 따라서 $a+M$은 곱셈에 대한 역원을 가진다.

$(\Leftarrow)$: $R/M$이 체라고 하자. $N$이 $M\subset N\subset R$을 만족하는 $R$의 아이디얼이고 $\gamma:\,R\,\rightarrow\,R/M$가 $\gamma(x)=x+M$으로 정의되는 사상이면, $\gamma[N]$은 $\{(0+M)\}\subset\gamma[N]\subset R/M$을 만족하는 $R/M$의 아이디얼이 된다. 그런데 $R/M$은 체이기 때문에 어떠한 비자명 진 아이디얼을 포함하지 않는다는 사실에 모순이다.(QED)

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}_{n}$이고 $\mathbb{Z}_{n}$이 체가 될 필요충분조건이 $n$이 소수이기 때문에 $\mathbb{Z}$의 극대 아이디얼은 적당한 소수 $p$에 대하여 $p\mathbb{Z}$이다.

단위원을 갖는 가환환이 체가 될 필요충분조건은 비자명 진 아이디얼을 갖지 않는다.

$(\Rightarrow):$ 체는 비자명 진 아이디얼을 포함하지 않는다는 사실로부터 명백하다.

$(\Leftarrow):$ $R$이 단위원을 갖는 가환환이고 $R$이 비자명 진 아이디얼을 갖지 않으면, $\{0\}$은 $R$의 극대 아이디얼이고 $R\simeq R/\{0\}$, $R/\{0\}$이 체가 되므로 $R$은 체가 된다.(QED)

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley