[현대대수학-환, 체론] 10. 소 아이디얼, 다항식에서의 아이디얼 구조

[현대대수학-환, 체론] 10. 소 아이디얼, 다항식에서의 아이디얼 구조

정수 전체의 집합 \(\mathbb{Z}\)의 아이디얼들은 \(n\mathbb{Z}\)의 형태로 나타낼 수 있다. \(n=0\)일 때, \(n\mathbb{Z}=\{0\}\)이고 \(\mathbb{Z}/\{0\}\simeq\mathbb{Z}\)는 정역이 된다.

\(n>0\)에 대하여 \(n\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}_{n}\)이 정역이 될 필요충분조건은 \(n\)이 소수이다.

(참고: \(p\)가 소수일 때, \(rs\in p\mathbb{Z}\)이면, \(rs\)는 \(p\)의 배수가 되고, \(r\) 또는 \(s\)가 \(p\)의 배수이고 따라서 \(r\in p\mathbb{Z}\) 또는 \(s\in p\mathbb{Z}\)이다.)

\(R\)을 가환환, \(N(\neq R)\)을 \(R\)의 아이디얼이라 하자. \(ab\in N\)이면, \(a\in N\) 또는 \(b\in N\)이 될 때, \(N\)을 \(R\)의 소 아이디얼(prime ideal)이라고 한다.

\(\mathbb{Z}\times\{0\}\)은 \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\)의 한 아이디얼이다. \((a,\,b),\,(c,\,d)\in\mathbb{Z}\times\{0\}\)이면, \((ac,\,bd)\in\mathbb{Z}\times\{0\}\)이고 \(bd=0\)이다. 이는 \(b=0\) 또는 \(d=0\)을 뜻하고 \(b\in\{0\}\) 또는 \(d\in\{0\}\)을 뜻한다. 따라서 \((a,\,b)\in\mathbb{Z}\times\{0\}\) 또는 \((c,\,d)\in\mathbb{Z}\times\{0\}\)이다.

\(R\)을 단위원을 갖는 가환환, \(N(\neq R)\)을 \(R\)의 아이디얼이라 하자. 그러면 \(R/N\)이 정역이 될 필요충분조건은 \(N\)이 소 아이디얼이다.

\(R/N\)이 정역이 될 필요충분조건은 \((a+N)(b+N)=ab+N=0+N\)이면, \(a+N=N\)이거나 \(b+N=N\)이고, 다시 이 조건이 성립할 필요충분조건은 \(ab\in N\)이면, \(a\in N\)이거나 \(b\in N\)이다. 따라서 \(R/N\)이 정역이 될 필요충분조건은 \(N\)이 소 아이디얼이다라고 할 수 있다.(QED)

\(R\)을 단위원을 갖는 가환환이라 하자. \(M\)이 \(R\)의 극대 아이디얼이면, \(M\)은 소 아이디얼이다.

\(M\)이 \(R\)의 극대 아이디얼이 될 필요충분조건은 \(R/M\)이 체이다. \(R/M\)이 체이면, \(R/M\)은 정역이 되고, \(R/M\)이 정역이 될 필요충분조건은 \(M\)이 소 아이디얼이다.(QED)

\(R\)을 단위원을 갖는 가환환, \(a\in R\)이라 하자. 그러면 \(R\)의 아이디얼 \(\{ra\,|\,r\in R\}\)을 \(a\)에 의해 생성되는 주 아이디얼(principal ideal)이라고 하고 \(\langle a\rangle\)로 나타낸다. 적당한 \(a\in R\)에 대하여 \(N=\langle a\rangle\)이면, \(N\)을 주 아이디얼이라고 한다.

환 \(\mathbb{Z}\)의 모든 아이디얼은 \(n\mathbb{Z}\)의 형태로 나타난다. 그러므로 \(\mathbb{Z}\)의 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다.

\(F[x]\)의 아이디얼 \(\langle x\rangle\)은 상수항이 \(0\)인 모든 다항식들로 구성되어있다.

\(F\)가 체이면, \(F[x]\)상의 모든 아이디얼들은 주 아이디얼이다.

\(N\)을 \(F[x]\)의 아이디얼이라 하자. \(N=\{0\}\)이면, \(N=\langle0\rangle\)이고, 주 아이디얼이다.

\(N\neq\{0\}\)이면, \(g(x)\)를 차수가 최소인 \(N\)의 \(0\)이 아닌 원소라 하자. \(g(x)\)의 차수가 \(0\)이면, \(g(x)\in F\)이고 \(g(x)\)는 단원(역원이 존재)이므로, \(N=F[x]=\langle1\rangle\)이고, 이는 \(N\)이 주 아이디얼임을 뜻한다.

\(g(x)\)의 차수가 \(1\) 이상이면, \(N\)의 임의의 원소를 \(f(x)\)라 하자. 그러면 적당한 \(q(x),\,r(x)\in F[x]\)에 대하여 \(f(x)=g(x)q(x)+r(x)\)이고, 이때 \(r(x)=0\) 또는 \(\text{deg}r(x)<\text{deg}g(x)\)이다.

\(f(x),\,g(x)\in N\)이고, \(N\)이 아이디얼이기 때문에, \(r(x)=f(x)-g(x)q(x)\in N\)이고, \(g(x)\)는 \(N\)에서 가장 차수가 낮은 \(0\)이 아닌 원소이기 때문에 \(r(x)=0\)이어야 한다. 그러면 \(f(x)=g(x)q(x)\)이고 \(N=\langle g(x)\rangle\)이다.(QED)

\(F[x]\)상의 아이디얼 \(\langle p(x)\rangle(\neq\{0\})\)이 극대 아이디얼이 될 필요충분조건은 \(p(x)\)가 \(F\)에서 기약이다.

\((\Rightarrow):\) \(\langle p(x)\rangle(\neq\{0\})\)을 \(F[x]\)의 극대 아이디얼이라 하자. 그러면 \(\langle p(x)\rangle\neq F[x]\)이고 \(p(x)\not\in F\)이다. 

\(F[x]\)에서 \(p(x)=f(x)g(x)\)라 하자. \(\langle p(x)\rangle\)가 극대 아이디얼이므로, 소 아이디얼이다. 그러면 \(p(x)=f(x)g(x)\in\langle p(x)\rangle\)이고, \(f(x)\in\langle p(x)\rangle\)이거나 \(g(x)\in\langle p(x)\rangle\)이다. \(f(x)\) 또는 \(g(x)\)는 \(p(x)\)의 배수이고, \(f(x)\)의 차수 또는 \(g(x)\)의 차수는 \(p(x)\)의 차수보다 커야 하는데 이는 불가능하다(\(\because\,p(x)=f(x)g(x)\)). 그러므로 \(p(x)\)는 \(F\)에서 기약이다.

\((\Leftarrow):\) \(p(x)\)를 \(F\)에서 기약, \(N\)을 \(\langle p(x)\rangle\subset N\subset F[x]\)을 만족하는 \(F[x]\)의 아이디얼이라 하자. \(N\)이 주 아이디얼이기 때문에, 적당한 \(g(x)\in N\)에 대하여 \(N=\langle g(x)\rangle\)이고, \(p(x)\in\langle p(x)\rangle\subset N\)이기 때문에, 적당한 \(q(x)\in F[x]\)에 대하여 \(p(x)=g(x)q(x)\)이다. 그런데 \(p(x)\)가 기약이기 때문에 \(g(x)\)의 차수 또는 \(q(x)\)의 차수는 \(0\)이 되어야 한다. 

\(\text{deg}g(x)=0\)이면, \(g(x)\)는 \(0\)이 아닌 상수이고, \(F\)에서의 단원이 되므로 \(\langle g(x)\rangle=N=F[x]\)이다.

\(\text{deg}q(x)=0\)이면, \(q(x)=c\in F[x]\)이고 \(\displaystyle g(x)=\frac{1}{c}p(x)\in\langle p(x)\rangle\)가 되어 \(N=\langle p(x)\rangle\)이다. 

\(\langle p(x)\rangle\subset N\subset F[x]\)인 \(F[x]\)의 아이디얼 \(N\)이 존재하지 않게 되므로 \(\langle p(x)\rangle\)는 극대 아이디얼이다. (QED)

\(x^{3}+3x+2\)는 \(\mathbb{Z}_{5}[x]\)에서 기약이므로 \(\mathbb{Z}_{5}[x]/\langle x^{3}+3x+2\rangle\)는 체이다. 또한 \(x^{2}-2\)는 \(\mathbb{Q}[x]\)에서 기약이므로 \(\mathbb{Q}[x]/\langle x^{2}-2\rangle\)는 체이다.

\(p(x)\)를 \(F[x]\)에서 기약이라 하자. \(r(x),\,s(x)\in F[x]\)에 대하여 \(r(x)s(x)\)가 \(p(x)\)의 배수이면, \(r(x)\) 또는 \(s(x)\)는 \(p(x)\)의 배수이다.

\(r(x)s(x)\)가 \(p(x)\)의 배수이면, \(r(x)s(x)\in\langle p(x)\rangle\)이고, \(\langle p(x)\rangle\)가 극대 아이디얼이므로 소 아이디얼이다. 그러면 \(r(x)\in\langle p(x)\rangle\) 또는 \(s(x)\in\langle p(x)\rangle\)이고, 따라서 \(r(x)\) 또는 \(s(x)\)는 \(p(x)\)의 배수이다. (QED)

참고자료:

A First Course in Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley