2. 확대체의 도입(2)

2. 확대체의 도입(2)

최고차항의 계수가 1인 다항식, 즉 \(f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\)를 모닉 다항식(monic polynomial)이라고 한다.

\(F\leq E\)라 하고 \(\alpha\in E\)를 \(F\)에서 대수적이라고 하자. \(\alpha\)를 근으로 갖는 상수인수를 제외하고 유일하게 결정되는 1차 이상의 최소 차수 기약 모닉다항식 \(p(x)\)를 \(F\)에서 \(\alpha\)에 대한 기약다항식(irreducible polynomial for \(\alpha\) over \(F\))이라 하고, \(\text{irr}(\alpha,\,F)\)로 나타낸다. \(\text{irr}(\alpha,\,F)\)의 차수는 \(F\)에서 \(\alpha\)의 차수이고, 이를 \(\text{deg}(\alpha,\,F)\)로 나타낸다.

 

\(\mathbb{Q}\leq\mathbb{R}\), \(\sqrt{2}\in\mathbb{R}\)이다. 그러면 \(\text{irr}(\sqrt{2},\,\mathbb{Q})=x^{2}-2\)이고 \(\text{irr}(\sqrt{2},\,\mathbb{R})=x-\sqrt{2}\)이므로 \(\sqrt{2}\)는 \(\mathbb{Q}\)에서 차수가 \(2\), \(\mathbb{R}\)에서 차수가 \(1\)인 대수적 수이다. \(\alpha=\sqrt{1+\sqrt{3}}\)이라고 하면 \(\alpha\)는 \(p(x)=x^{4}-2x^{2}-2\in\mathbb{Q}[x]\)의 근이고 \(p(x)\)는 \(\mathbb{Q}\)에서 기약이다(아이젠슈타인 판정법에서 \(p=2\)). 따라서 \(\text{irr}(\sqrt{1+\sqrt{3}},\,\mathbb{Q})=x^{4}-2x^{2}-2\)이고 \(\alpha=\sqrt{1+\sqrt{3}}\)는 \(\mathbb{Q}\)에서 차수가 \(4\)인 대수적 수이다.

\(F\leq E\), \(\alpha\in E\), \(\phi_{\alpha}:\,F[x]\,\rightarrow\,E\)를 임의의 \(a\in F\)에 대하여 \(\phi_{\alpha}(a)=a\), \(\phi_{\alpha}(x)=\alpha\)인 대입 준동형사상이라 하자.

1. \(\alpha\)가 \(F\)에서 대수적이라고 하면, \(\text{Ker}(\phi_{\alpha})=\langle\text{irr}(\alpha,\,F)\rangle\)이고 \(\langle\text{irr}(\alpha,\,F)\rangle\)는 \(F[x]\)의 극대 아이디얼이다. 그러면 \(F[x]/\langle\text{irr}(\alpha,\,F)\rangle\)는 체가 되고 \(F[x]/\langle\text{irr}(\alpha,\,F)\rangle\simeq\text{Im}(\phi_{\alpha})=\phi_{\alpha}(F[x])\)이다.

\(E\)의 부분체 \(\phi_{\alpha}(F[x])\)는 \(F\)와 \(\alpha\)를 포함하는 \(E\)의 최소의 부분체이고, 이 부분체를 \(F(\alpha)\)로 나타낸다.

2. \(\alpha\)가 \(F\)에서 초월적이라고 하면, \(\phi_{\alpha}\)는 일대일이므로 \(F[x]\)는 \(E\)의 부분정역 \(\phi_{\alpha}[F[x]]\)와 동형이다. \(\phi_{\alpha}[F[x]]\)는 체가 아니지만 정역이다. 이 정역을 \(F[\alpha]\)로 나타낸다. 그러면 \(E\)는 \(F[\alpha]\)의 분수체를 포한하고 이 체는 \(F\)와 \(\alpha\)를 포함하는 \(E\)의 가장 작은 부분체이다. 1에서와 같이 이 체를 \(F(\alpha)\)로 나타낸다.

\(\phi\)는 \(\mathbb{Q}\)에서 초월적이다. 그러므로 \(\mathbb{Q}(\pi)\simeq\mathbb{Q}(x)\)이고 \(\mathbb{Q}(x)\)는 부정원 \(x\)를 포함하는 \(\mathbb{Q}\)상의 분수체이다.

\(E\)를 체 \(F\)의 한 확장체라 하자. 어떤 \(\alpha\in E\)에 대하여 \(E=F(\alpha)\)이면, \(E\)를 단순 확대체(simple extension)라고 한다.

\(E\)를 체 \(F\)의 단순 확대체 \(F(\alpha)\)라 하고 \(\alpha\)를 \(F\)에서 대수적, \(\text{deg}(\text{irr}(\alpha,\,F))=n\geq1\)이라 하자. 그러면 임의의 \(\beta\in E=F(\alpha)\)를 \(\beta=b_{0}+b_{1}\alpha+\cdots+b_{n-1}\alpha^{n-1}\,(b_{i}\in F)\)로 나타낼 수 있다.

\(\phi_{\alpha}:\,F[x]\,\rightarrow\,E\)를 임의의 \(a\in F\)에 대하여 \(\phi_{\alpha}(a)=a\), \(\phi_{\alpha}(x)=\alpha\)로 정의되는 대입 준동형사상이라 하자. 그러면 \(F(\alpha)=\phi_{\alpha}[F[x]]\)의 원소들은 \(\phi_{\alpha}(f(x))=f(\alpha)\)의 형태로 나타내어진다. \(\text{irr}(\alpha,\,F)=p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}\)라 하자. 그러면 \(p(\alpha)=0\)이므로 \(\alpha^{n}=-a_{n-1}\alpha^{n-1}-\cdots-a_{o}\)이고 \(m\geq n\)에 대하여 \(\alpha^{m}\)은 \(n\)보다 작은 \(\alpha\)의 멱으로 나타낼 수 있다. 예를 들자면$$\begin{align*}\alpha^{n+1}&=\alpha\alpha^{n}=-a_{n-1}\alpha^{n}-a_{n-2}\alpha^{n-1}-\cdots-a_{0}\alpha\\&=-a_{n-1}(-a_{n-1}\alpha^{n-1}-\cdots-a_{o})-a_{n-2}\alpha^{n-1}-\cdots-a_{0}\alpha\end{align*}$$따라서 임의의 \(\beta\in F(\alpha)\)를 \(\beta=b_{0}+b_{1}\alpha+\cdots+b_{n-1}\alpha^{n-1}\,(b_{i}\in F)\)로 나타낼 수 있다.

이제 이러한 표현이 유일함을 보이자.$$b_{0}+b_{1}\alpha+\cdots+b_{n-1}\alpha^{n-1}=b_{0}'+b_{1}'\alpha+\cdots+b_{n-1}'\alpha^{n-1}\,(b_{i},\,b_{i}'\in F)$$라 하자. 그러면$$(b_{0}-b_{0}')+(b_{1}-b_{1}')x+\cdots(b_{n-1}-b_{n-1}')x^{n-1}=g(x)\in F[x]$$이고 \(g(\alpha)=0\)이다. \(\text{deg}g(x)<\text{deg}(\text{irr}(\alpha,\,F))=n\)이고 \(\text{irr}(\alpha,\,F)\)가 \(\alpha\)를 근으로 갖는 \(F[x]\)상의 최소의 다항식이기 때문에 \(g(x)=0\)이어야 한다. 따라서 \(b_{i}-b_{i}'=0\)이고 \(b_{i}=b_{i}'\,(i=0,\,1,\,\cdots,\,n-1)\)이다.(QED)

\(\mathbb{Q}\leq\mathbb{R}\)이고 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\,|\,a,\,b\in\mathbb{Q}\}\)이다.

다항식 \(p(x)=x^{2}+x+1\in\mathbb{Z}_{2}[x]\)는 \(\mathbb{Z}_{2}\)에서 기약다항식이다. 왜냐하면 \(p(0)=1\neq0\), \(p(1)=1\neq0\)이기 때문이다. 크로네커 정리로부터 \(\mathbb{Z}_{2}\)의 확대체 \(E\)와 \(\alpha\in E\)가 존재해서 \(p(\alpha)=0\)이다. \(\text{deg}p(x)=2\)이기 때문에 \(\mathbb{Z}_{2}(\alpha)=\{0,\,1,\,\alpha,\,1+\alpha\}=\{a+b\alpha\,|\,a,\,b\in\mathbb{Z}_{2}\}\)이다.

\(\mathbb{R}[x]/\langle x^{2}+1\rangle\simeq\mathbb{C}\)이다. 먼저 \(\mathbb{R}[x]/\langle x^{2}+1\rangle\)은 \(\mathbb{R}\)의 확대체가 된다. \(\alpha=x+\langle x^{2}+1\rangle\)라고 하자. 그러면 \(\mathbb{R}[x]/\langle x^{2}+1\rangle=\mathbb{R}(\alpha)=\{a+b\alpha\,|\,a,\,b\in\mathbb{R}\}\)이고 \(\alpha^{2}+1=0\)이기 때문에 \(\alpha\)는 \(i=\sqrt{-1}\)의 역할을 하고, \(a+b\alpha\)는 \(a+bi\in\mathbb{C}\)의 역할을 한다. 따라서 \(\mathbb{R}(\alpha)\simeq\mathbb{C}\)이다.  

참고자료:   

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley