2. 확대체의 도입(2)

2. 확대체의 도입(2)

최고차항의 계수가 1인 다항식, 즉 $f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}$를 모닉 다항식(monic polynomial)이라고 한다.

$F\leq E$라 하고 $\alpha\in E$를 $F$에서 대수적이라고 하자. $\alpha$를 근으로 갖는 상수인수를 제외하고 유일하게 결정되는 1차 이상의 최소 차수 기약 모닉다항식 $p(x)$를 $F$에서 $\alpha$에 대한 기약다항식(irreducible polynomial for $\alpha$ over $F$)이라 하고, $\text{irr}(\alpha,\,F)$로 나타낸다. $\text{irr}(\alpha,\,F)$의 차수는 $F$에서 $\alpha$의 차수이고, 이를 $\text{deg}(\alpha,\,F)$로 나타낸다.

 

$\mathbb{Q}\leq\mathbb{R}$, $\sqrt{2}\in\mathbb{R}$이다. 그러면 $\text{irr}(\sqrt{2},\,\mathbb{Q})=x^{2}-2$이고 $\text{irr}(\sqrt{2},\,\mathbb{R})=x-\sqrt{2}$이므로 $\sqrt{2}$는 $\mathbb{Q}$에서 차수가 $2$, $\mathbb{R}$에서 차수가 $1$인 대수적 수이다. $\alpha=\sqrt{1+\sqrt{3}}$이라고 하면 $\alpha$는 $p(x)=x^{4}-2x^{2}-2\in\mathbb{Q}[x]$의 근이고 $p(x)$는 $\mathbb{Q}$에서 기약이다(아이젠슈타인 판정법에서 $p=2$). 따라서 $\text{irr}(\sqrt{1+\sqrt{3}},\,\mathbb{Q})=x^{4}-2x^{2}-2$이고 $\alpha=\sqrt{1+\sqrt{3}}$는 $\mathbb{Q}$에서 차수가 $4$인 대수적 수이다.

$F\leq E$, $\alpha\in E$, $\phi_{\alpha}:\,F[x]\,\rightarrow\,E$를 임의의 $a\in F$에 대하여 $\phi_{\alpha}(a)=a$, $\phi_{\alpha}(x)=\alpha$인 대입 준동형사상이라 하자.

1. $\alpha$가 $F$에서 대수적이라고 하면, $\text{Ker}(\phi_{\alpha})=\langle\text{irr}(\alpha,\,F)\rangle$이고 $\langle\text{irr}(\alpha,\,F)\rangle$는 $F[x]$의 극대 아이디얼이다. 그러면 $F[x]/\langle\text{irr}(\alpha,\,F)\rangle$는 체가 되고 $F[x]/\langle\text{irr}(\alpha,\,F)\rangle\simeq\text{Im}(\phi_{\alpha})=\phi_{\alpha}(F[x])$이다.

$E$의 부분체 $\phi_{\alpha}(F[x])$는 $F$와 $\alpha$를 포함하는 $E$의 최소의 부분체이고, 이 부분체를 $F(\alpha)$로 나타낸다.

2. $\alpha$가 $F$에서 초월적이라고 하면, $\phi_{\alpha}$는 일대일이므로 $F[x]$는 $E$의 부분정역 $\phi_{\alpha}[F[x]]$와 동형이다. $\phi_{\alpha}[F[x]]$는 체가 아니지만 정역이다. 이 정역을 $F[\alpha]$로 나타낸다. 그러면 $E$는 $F[\alpha]$의 분수체를 포한하고 이 체는 $F$와 $\alpha$를 포함하는 $E$의 가장 작은 부분체이다. 1에서와 같이 이 체를 $F(\alpha)$로 나타낸다.

$\phi$는 $\mathbb{Q}$에서 초월적이다. 그러므로 $\mathbb{Q}(\pi)\simeq\mathbb{Q}(x)$이고 $\mathbb{Q}(x)$는 부정원 $x$를 포함하는 $\mathbb{Q}$상의 분수체이다.

$E$를 체 $F$의 한 확장체라 하자. 어떤 $\alpha\in E$에 대하여 $E=F(\alpha)$이면, $E$를 단순 확대체(simple extension)라고 한다.

$E$를 체 $F$의 단순 확대체 $F(\alpha)$라 하고 $\alpha$를 $F$에서 대수적, $\text{deg}(\text{irr}(\alpha,\,F))=n\geq1$이라 하자. 그러면 임의의 $\beta\in E=F(\alpha)$를 $\beta=b_{0}+b_{1}\alpha+\cdots+b_{n-1}\alpha^{n-1}\,(b_{i}\in F)$로 나타낼 수 있다.

$\phi_{\alpha}:\,F[x]\,\rightarrow\,E$를 임의의 $a\in F$에 대하여 $\phi_{\alpha}(a)=a$, $\phi_{\alpha}(x)=\alpha$로 정의되는 대입 준동형사상이라 하자. 그러면 $F(\alpha)=\phi_{\alpha}[F[x]]$의 원소들은 $\phi_{\alpha}(f(x))=f(\alpha)$의 형태로 나타내어진다. $\text{irr}(\alpha,\,F)=p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$라 하자. 그러면 $p(\alpha)=0$이므로 $\alpha^{n}=-a_{n-1}\alpha^{n-1}-\cdots-a_{o}$이고 $m\geq n$에 대하여 $\alpha^{m}$은 $n$보다 작은 $\alpha$의 멱으로 나타낼 수 있다. 예를 들자면 $$\begin{align*}\alpha^{n+1}&=\alpha\alpha^{n}=-a_{n-1}\alpha^{n}-a_{n-2}\alpha^{n-1}-\cdots-a_{0}\alpha\\&=-a_{n-1}(-a_{n-1}\alpha^{n-1}-\cdots-a_{o})-a_{n-2}\alpha^{n-1}-\cdots-a_{0}\alpha\end{align*}$$ 따라서 임의의 $\beta\in F(\alpha)$를 $\beta=b_{0}+b_{1}\alpha+\cdots+b_{n-1}\alpha^{n-1}\,(b_{i}\in F)$로 나타낼 수 있다.

이제 이러한 표현이 유일함을 보이자. $$b_{0}+b_{1}\alpha+\cdots+b_{n-1}\alpha^{n-1}=b_{0}'+b_{1}'\alpha+\cdots+b_{n-1}'\alpha^{n-1}\,(b_{i},\,b_{i}'\in F)$$ 라 하자. 그러면 $$(b_{0}-b_{0}')+(b_{1}-b_{1}')x+\cdots(b_{n-1}-b_{n-1}')x^{n-1}=g(x)\in F[x]$$ 이고 $g(\alpha)=0$이다. $\text{deg}g(x)<\text{deg}(\text{irr}(\alpha,\,F))=n$이고 $\text{irr}(\alpha,\,F)$가 $\alpha$를 근으로 갖는 $F[x]$상의 최소의 다항식이기 때문에 $g(x)=0$이어야 한다. 따라서 $b_{i}-b_{i}'=0$이고 $b_{i}=b_{i}'\,(i=0,\,1,\,\cdots,\,n-1)$이다.(QED)

$\mathbb{Q}\leq\mathbb{R}$이고 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\,|\,a,\,b\in\mathbb{Q}\}$이다.

다항식 $p(x)=x^{2}+x+1\in\mathbb{Z}_{2}[x]$는 $\mathbb{Z}_{2}$에서 기약다항식이다. 왜냐하면 $p(0)=1\neq0$, $p(1)=1\neq0$이기 때문이다. 크로네커 정리로부터 $\mathbb{Z}_{2}$의 확대체 $E$와 $\alpha\in E$가 존재해서 $p(\alpha)=0$이다. $\text{deg}p(x)=2$이기 때문에 $\mathbb{Z}_{2}(\alpha)=\{0,\,1,\,\alpha,\,1+\alpha\}=\{a+b\alpha\,|\,a,\,b\in\mathbb{Z}_{2}\}$이다.

$\mathbb{R}[x]/\langle x^{2}+1\rangle\simeq\mathbb{C}$이다. 먼저 $\mathbb{R}[x]/\langle x^{2}+1\rangle$은 $\mathbb{R}$의 확대체가 된다. $\alpha=x+\langle x^{2}+1\rangle$라고 하자. 그러면 $\mathbb{R}[x]/\langle x^{2}+1\rangle=\mathbb{R}(\alpha)=\{a+b\alpha\,|\,a,\,b\in\mathbb{R}\}$이고 $\alpha^{2}+1=0$이기 때문에 $\alpha$는 $i=\sqrt{-1}$의 역할을 하고, $a+b\alpha$는 $a+bi\in\mathbb{C}$의 역할을 한다. 따라서 $\mathbb{R}(\alpha)\simeq\mathbb{C}$이다.  

참고자료:   

A First Course In Abstract Algebra 7th edition, Fraleigh, Addison Wesley