17. FET 전압 분배기 회로, 공통 게이트 회로, 소스 폴로워(공통 드레인) 회로

17. FET 전압 분배기 회로, 공통 게이트 회로, 소스 폴로워(공통 드레인) 회로

전압 분배기 회로:

이 전압분배기 회로의 해석은 바이패스 커패시터가 있는 경우에는 고정 바이어스 회로, 없는 경우에는 자기 바이어스 회로의 해석과 같다. 단 \(R_{G}=R_{1}||R_{2}\)이다.

공통 게이트 회로:

1. FET의 출력저항이 \(\infty\)인 경우:  

\(V_{gs}=V_{g}-V_{s}=0-V_{i}=-V_{i}\), \(V_{o}=-g_{m}V_{gs}R_{D}=-g_{m}(-V_{i})R_{D}=g_{m}R_{D}V_{i}\)이므로 \(\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{g_{m}R_{D}V_{i}}{V_{i}}=g_{m}R_{D}\)이다.

\(V_{i}=(I_{i}+g_{m}V_{gs})R_{S}=I_{i}R_{S}-g_{m}V_{i}R_{S}\)이므로 \(\displaystyle Z_{i}=\frac{V_{i}}{I_{i}}=\frac{R_{S}}{1+g_{m}R_{S}}=R_{S}||\frac{1}{g_{m}}\)이고 \(Z_{o}\)를 구하기 위해 

\(V_{i}=0\)이라 하면 \(V_{gs}=0\)이 되어 \(Z_{o}=R_{D}\)이다.

2. FET의 출력저항(\(r_{d}\))을 고려한 경우:

\(\displaystyle V_{o}=-\left(g_{m}V_{gs}+\frac{V_{o}-V_{i}}{r_{d}}\right)R_{D}=-g_{m}R_{D}(-V_{i})-\frac{V_{o}}{r_{d}}R_{D}+\frac{V_{i}}{r_{d}}R_{D}\)에서 \(\displaystyle V_{o}\left(1+\frac{R_{D}}{r_{d}}\right)=\left(g_{m}R_{D}+\frac{R_{D}}{r_{d}}\right)V_{i}\)이고 \(\displaystyle A_{v}=\frac{g_{m}R_{D}+\frac{R_{D}}{r_{d}}}{1+\frac{R_{D}}{r_{d}}}=\frac{R_{D}(1+g_{m}r_{d})}{r_{d}+R_{D}}\)이다.

\(\displaystyle V_{i}=\left(I_{i}+g_{m}V_{gs}+\frac{V_{o}-V_{i}}{r_{d}}\right)R_{S}=\left(I_{i}-g_{m}V_{i}+V_{i}\frac{\left(\frac{V_{o}}{V_{i}}-1\right)}{r_{d}}\right)R_{S}\)이고$$\frac{\frac{V_{o}}{V_{i}}-1}{r_{d}}=\frac{A_{v}-1}{r_{d}}=\frac{R_{D}+g_{m}r_{d}R_{D}-R_{D}-r_{d}}{r_{d}+R_{D}}\frac{1}{r_{d}}=\frac{g_{m}R_{D}-1}{r_{d}+R_{D}}$$이므로 \(\displaystyle V_{i}\left(1+g_{m}R_{S}-\frac{g_{m}R_{D}-1}{R_{D}+r_{d}}R_{S}\right)=I_{i}R_{S}\)이고$$\begin{align*}Z_{i}&=\frac{V_{i}}{I_{i}}=\frac{R_{S}}{1+g_{m}R_{S}-\frac{g_{m}R_{D}-1}{r_{d}+R_{D}}R_{S}}=\frac{R_{S}}{1+\frac{g_{m}(r_{d}+R_{D})-g_{m}R_{D}+1}{r_{d}+R_{D}}R_{S}}\\&=\frac{R_{S}}{1+\frac{1+g_{m}r_{d}}{r_{d}+R_{D}}R_{S}}=R_{S}||\left(\frac{r_{d}+R_{D}}{1+g_{m}r_{d}}\right)=R_{S}||Z_{i}'\,\left(Z_{i}'=\frac{r_{d}+R_{D}}{1+g_{m}r_{d}}\right)\end{align*}$$이다. 

3. 밀러 정리를 이용하여 해석:

위의 회로는 공통 게이트 회로에서 밀러정리를 적용한 회로이다. \(\displaystyle V_{o}=\left(\frac{A_{v}}{A_{v}-1}||R_{D}\right)(-g_{m}V_{gs})\)식에서 \(V_{gs}=-V_{i}\)임을 이용해 \(A_{v}\)를 구하고 \(\displaystyle V_{i}=\left[R_{S}||\frac{r_{d}}{1-A_{v}}\right](I_{i}+g_{m}V_{gs})\)식에서 \(\displaystyle Z_{i}=\frac{V_{i}}{I_{i}}\)를 구한다. 여기서 \(\displaystyle\frac{r_{d}}{1-A_{v}}=\frac{r_{d}+R_{D}}{1-g_{m}R_{D}}\)이고 \(Z_{o}\)는 원래의 회로에서 

\(V_{i}=0\)으로 놓고 구한다.(\(V_{i}=0\)이여서 전압이득 \(A_{v}\)를 정의할 수 없기 때문).

소스 폴로워(공통 드레인) 회로:

\(V_{gs}=V_{g}-V_{s}=V_{i}-V_{o}\), \(\displaystyle I_{o}=-g_{m}V_{gs}+\frac{V_{o}}{r_{d}}\)이므로 \(\displaystyle V_{o}=-I_{o}R_{S}=\left(g_{m}V_{gs}-\frac{V_{o}}{r_{d}}\right)R_{S}=\left(g_{m}V_{i}-g_{m}V_{o}-\frac{V_{o}}{r_{d}}\right)R_{S}\), \(\displaystyle V_{o}\left[1+\left(g_{m}+\frac{1}{r_{d}}\right)R_{S}\right]=g_{m}R_{S}V_{i}\)이고$$\begin{align*}A_{v}&=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{g_{m}R_{S}}{1+\left(g_{m}+\frac{1}{r_{d}}\right)R_{S}}=\frac{g_{m}r_{d}R_{S}}{r_{d}+g_{m}r_{d}R_{S}+R_{S}}\\&=\frac{\frac{g_{m}r_{d}R_{S}}{R_{S}+r_{d}}}{1+\frac{g_{m}R_{S}r_{d}}{R_{S}+r_{d}}}=\frac{g_{m}(R_{S}||r_{d})}{1+g_{m}(R_{S}||r_{d})}\end{align*}$$\(Z_{i}=R_{G}\)이고

\(Z_{o}\)를 구하기 위해 \(V_{i}=0\)이라 하자. 그러면 \(V_{gs}=V_{g}-V_{s}=V_{i}-V_{s}=-V_{s}=-V_{x}\)이고 \(\displaystyle I_{x}=\frac{V_{x}}{r_{d}}-g_{m}V_{gs}+\frac{V_{x}}{R_{S}}=V_{x}\left(\frac{1}{r_{d}}+g_{m}+R_{S}\right)\)이므로 \(\displaystyle Z_{o}=\frac{V_{x}}{I_{x}}=\frac{1}{\frac{1}{r_{d}}+g_{m}+\frac{1}{R_{S}}}=r_{d}||\frac{1}{g_{m}}||R_{S}\)이다.

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson

http://mathphysics.tistory.com/343?category=657109