16. FET 고정 바이어스 회로, 자기 바이어스 회로

16. FET 고정 바이어스 회로, 자기 바이어스 회로

고정 바이어스 회로:

위의 회로에서 \(Z_{i}=R_{G}\)이고 \(Z_{o}\)를 구하기 위해 \(V_{i}=0\)이라 하면 \(V_{gs}=V_{i}=0\)이므로 \(g_{m}V_{gs}=0\)이 되어 \(Z_{o}=r_{d}||R_{D}\)이다. 마지먹으로 전압이득 \(A_{v}\)를 구하면 \(V_{o}=-g_{m}V_{gs}(r_{d}||R_{D})\), \(V_{i}=V_{gs}\)이므로 \(\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=-g_{m}(r_{d}||R_{D})\)이다.

이때 BJT일 때의 경우와 비교하면 \(\displaystyle g_{m}=\frac{1}{r_{e}},\,r_{o}=r_{d}\)의 관계가 있다. BJT일 때의 전압이득이 \(\displaystyle A_{v}=-\frac{r_{o}||R_{E}}{r_{e}}\)(\(R_{C}\)자리에 \(R_{D}\))이므로 FET일 때의 전압이득 \(\displaystyle A_{v}=-g_{m}(r_{d}||R_{D})\)과 비슷하다.

자기 바이어스 회로:

 위의 회로는 자기 바이어스 회로로 왼쪽은 소스 저항 \(R_{S}\)가 커패시터 \(C_{S}\)에 의해 바이패스되는 회로이고 오른쪽은 바이패스되지 않는 회로이다. 왼쪽의 바이패스되는 회로는 앞의 고정 바이어스 회로와 동일한 결과가 나오지만 오른쪽 회로는 그렇지 않다.

1. FET의 출력저항이 \(\infty\)인 경우:

\(V_{gs}=V_{g}-V_{s}=V_{i}-V_{s}=V_{i}-g_{m}V_{gs}R_{S}\)이므로 \(V_{i}=V_{gs}(1+g_{m}R_{S})\)이고 \(V_{o}=-g_{m}V_{gs}R_{D}\)이므로 \(\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{-g_{m}V_{gs}R_{D}}{V_{gs}(1+g_{m}R_{S})}=-\frac{g_{m}R_{D}}{1+g_{m}R_{S}}\), \(Z_{i}=R_{G}\), \(Z_{o}\)를 구하기 위해서 \(V_{i}=0\)이라 하면, \(0=V_{i}=V_{gs}(1+g_{m}R_{S})\)이므로 \(V_{gs}=0\)이 되어 \(g_{m}V_{gs}=0\)이고 \(Z_{o}=R_{D}\)이다.

2. FET의 출력저항(\(r_{d}\))을 고려한 경우:

 \(V_{gs}=V_{g}-V_{s}=V_{i}-V_{s}\), \(V_{s}=I_{o}R_{S}\), \(V_{o}=-I_{o}R_{D}\)이므로 \(\displaystyle I_{o}=g_{m}V_{gs}+\frac{V_{o}-V_{s}}{r_{d}}=g_{m}(V_{i}-I_{o}R_{S})-I_{o}\frac{R_{D}+R_{S}}{r_{d}}\), \(\displaystyle I_{o}\left(1+g_{m}R_{S}+\frac{R_{D}+R_{S}}{r_{d}}\right)=g_{m}V_{i}\)이고 \(\displaystyle V_{o}=-I_{o}R_{D}=-\frac{g_{m}R_{D}V_{i}}{1+g_{m}R_{S}+\frac{R_{D}+R_{S}}{r_{d}}}\) \(\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=-\frac{g_{m}R_{D}}{1+g_{m}R_{S}+\frac{R_{D}+R_{S}}{r_{d}}}\)이다. 여기서 \(r_{d}=\infty\)이면 앞의 출력저항을 고려하지 않았을 때의 \(\displaystyle A_{v}=-\frac{g_{m}R_{D}}{1+g_{m}R_{S}}\)와 같아진다. 

또 다른 방법으로는 병렬로 연결되어있는 종속전류원과 출력저항을 전원변환해서 푼다. 전원변환을 하면 \(\displaystyle V_{o}=\frac{R_{D}}{r_{d}+R_{S}+R_{D}}(-g_{m}r_{d}V_{gs})\), \(\displaystyle V_{gs}=V_{g}-V_{s}=V_{i}-\left(\frac{-V_{o}}{R_{D}}\right)R_{S}=V_{i}+\frac{R_{S}}{R_{D}}V_{o}\)이고 \(V_{gs}\)를 \(V_{o}\)에 대입하면 \(A_{v}\)를 구할 수 있다.

(위의 회로는 \(Z_{o}\)를 구하기 위한 회로다) \(Z_{i}=R_{G}\)이다. \(Z_{o}\)를 구하기 위해 \(V_{i}=0\)이라 하자. 그러면 \(\displaystyle V_{s}=\left(I_{x}-\frac{V_{x}}{R_{D}}\right)R_{S}\), \(\displaystyle V_{gs}=V_{g}-V_{s}=-V_{s}=-\left(I_{x}-\frac{V_{x}}{R_{D}}\right)R_{S}\,\,(V_{g}=V_{i}=0)\)이고$$\begin{align*}V_{x}&=r_{d}\left(I_{x}-g_{m}V_{gs}-\frac{V_{x}}{R_{D}}\right)+R_{S}\left(I_{x}-\frac{V_{x}}{R_{D}}\right)\\&=r_{d}\left[I_{x}+g_{m}\left(I_{x}-\frac{V_{x}}{R_{D}}\right)\right]+R_{S}I_{x}-\frac{R_{S}}{R_{D}}V_{x}\\&=I_{x}(r_{d}+r_{d}g_{m}R_{S}+R_{S})-V_{x}\frac{r_{d}g_{m}R_{S}+r_{d}+R_{S}}{R_{D}}\end{align*}$$이고 \(\displaystyle V_{x}\left(1+\frac{r_{d}g_{m}R_{S}+r_{d}+R_{S}}{R_{D}}\right)=I_{x}(r_{d}+r_{d}g_{m}R_{S}+R_{S})\)이므로$$Z_{o}=\frac{V_{x}}{I_{x}}=\frac{r_{d}+r_{d}g_{m}R_{S}+R_{S}}{1+\frac{r_{d}g_{m}R_{S}+r_{d}+R_{S}}{R_{D}}}=R_{D}||(r_{d}+r_{d}g_{m}R_{S}+R_{S})$$

3: T모델을 이용한 해석

위의 회로는 T모델을 적용한 회로이다. 이 회로에서 \(V_{o}=-i_{o}R_{D}\)이므로 \(\displaystyle i_{o}=-\frac{V_{o}}{R_{D}}\)이고 \(v_{s}=i_{o}R_{S}=\left(-\frac{V_{o}}{R_{D}}\right)R_{S}\), \(\displaystyle v_{gs}=v_{g}-v_{s}=V_{i}-v_{s}=V_{i}+\frac{V_{o}}{R_{D}}R_{S}\)이다.$$\begin{align*}V_{o}&=(i_{o}-g_{m}v_{gs})r_{o}+i_{o}R_{S}=i_{o}r_{o}-g_{m}(V_{i}-v_{s})r_{o}+i_{o}R_{S}\\&=i_{o}r_{o}-g_{m}r_{o}V_{i}-g_{m}r_{o}\frac{R_{S}}{R_{D}}V_{o}+i_{o}R_{S}=i_{o}(r_{o}+R_{S})-g_{m}r_{o}V_{i}-g_{m}r_{o}\frac{R_{S}}{R_{D}}V_{o}\end{align*}$$이므로 \(\displaystyle V_{o}\left(1+\frac{r_{o}+R_{S}}{R_{D}}+\frac{g_{m}r_{o}R_{S}}{R_{D}}\right)=-g_{m}r_{o}V_{i}\)이고 \(\displaystyle A_{v}=-\frac{V_{o}}{V_{i}}=-\frac{g_{m}r_{o}}{1+\frac{r_{o}+R_{S}}{R_{D}}+\frac{g_{m}r_{o}R_{S}}{R_{D}}}=-\frac{g_{m}R_{D}}{1+g_{m}R_{S}+\frac{R_{D}+R_{S}}{r_{o}}}\)이다.

\(Z_{i}=R_{G}\)이고 위의 회로는 \(Z_{o}\)를 구하기 위한 회로이다. \(V_{i}=0\)으로 놓으면 \(\displaystyle v_{gs}=v_{g}-v_{s}=-v_{s}=-\left(i_{x}-\frac{v_{x}}{R_{D}}\right)R_{S}\), \(\displaystyle v_{x}=\left(i_{x}-\frac{v_{x}}{R_{D}}-g_{m}v_{gs}\right)r_{o}+\left(i_{x}-\frac{v_{x}}{R_{D}}\right)R_{S}\)이므로 \(\displaystyle v_{x}=i_{x}r_{o}-\frac{v_{x}}{R_{D}}r_{o}+g_{m}r_{o}\left(i_{x}-\frac{v_{x}}{R_{D}}\right)R_{S}+i_{x}R_{S}-\frac{R_{S}}{R_{D}}v_{x}\)이고 \(\displaystyle v_{x}\left(1+\frac{r_{o}}{R_{D}}+\frac{g_{m}r_{o}R_{S}}{R_{D}}+\frac{R_{S}}{R_{D}}\right)=i_{x}(r_{o}+g_{m}r_{o}R_{S}+R_{S})\)이므로 \(\displaystyle Z_{o}=\frac{v_{x}}{i_{x}}=\frac{r_{o}+g_{m}r_{o}R_{S}+R_{S}}{1+\frac{r_{o}+R_{S}+g_{m}r_{o}R_{S}}{R_{D}}}=R_{D}||(r_{o}+R_{S}+g_{m}r_{o}R_{S})\)

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson

http://slideplayer.com/slide/8551880/