13. 완전한 하이브리드 등가 회로

13. 완전한 하이브리드 등가 회로

 

여기서는 완전한 하이브리드 등가회로를 사용하여 회로를 해석할 것이다.

 이 위의 2포트 시스템을 아래와 같이 완전한 하이브리드 등가회로를 이용하여 나타낸다.

(완전한 하이브리드 등가회로)

위의 회로는 고정 바이어스 회로이고 이 회로를 완전한 하이브리드 등가회로를 사용하여 \(A_{i}\), \(A_{v}\), \(Z_{i}\), \(Z_{o}\)를 구하자.(*여기서 \(h_{oe}\)는 컨덕턴스)

우선 \(A_{i}\)부터 구하면 \(\displaystyle I_{o}=\frac{1/h_{oe}}{1/h_{oe}+R_{L}}h_{fe}I_{b}=\frac{h_{fe}}{1+h_{oe}R_{L}}I_{b}\), \(\displaystyle A_{i}'=\frac{I_{o}}{I_{b}}=\frac{h_{fe}}{1+h_{oe}R_{L}}\), \(\displaystyle I_{b}=\frac{R_{B}}{R_{B}+Z_{i}'}I_{i}\)이므로 \(\displaystyle A_{i}=\frac{I_{o}}{I_{i}}=\frac{I_{b}}{I_{i}}\frac{I_{o}}{I_{b}}=\frac{R_{B}}{R_{B}+Z_{i}'}\frac{h_{fe}}{1+h_{oe}R_{L}}\)이다.

\(A_{v}\)를 구하면 \(\displaystyle V_{o}=-I_{o}R_{L}=-\frac{h_{fe}}{1+h_{oe}R_{L}}I_{b}R_{L}\), \(\displaystyle V_{i}=h_{ie}I_{b}+h_{re}V_{ce}=h_{ie}I_{b}-h_{re}I_{o}R_{L}=\left[h_{ie}-\frac{h_{re}h_{fe}R_{L}}{1+h_{oe}R_{L}}\right]I_{b}\)이므로 \(\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{-h_{fe}R_{L}}{h_{ie}(1+h_{oe}R_{L})-h_{fe}h_{re}R_{L}}=\frac{-h_{fe}R_{L}}{h_{ie}+(h_{ie}h_{oe}-h_{fe}h_{re})R_{L}}\)이다.

\(Z_{i}\)를 구하면 \(V_{o}=-I_{o}R_{L}\)이고 \(\displaystyle I_{o}=\frac{h_{fe}}{1+h_{oe}R_{L}}I_{b}\)이므로 \(\displaystyle V_{i}=h_{ie}I_{b}+h_{re}V_{ce}=h_{ie}I_{b}-h_{re}R_{L}I_{o}=h_{ie}I_{b}-h_{re}R_{L}\frac{h_{fe}I_{b}}{1+h_{oe}R_{L}}\)이고 \(\displaystyle Z_{i}'=\frac{V_{i}}{I_{b}}=h_{ie}-\frac{h_{fe}h_{re}R_{L}}{1+h_{oe}R_{L}}=h_{ie}-A_{i}'h_{re}R_{L}\), \(Z_{i}=R_{B}||Z_{i}'\)이다.

마지막으로 \(Z_{o}\)를 구해야 한다. \(Z_{o}=Z_{o}'||R_{L}\)이기 때문에 \(Z_{o}'\)를 구하고 난 다음에 \(Z_{o}\)를 구한다.

이 위의 회로는 \(Z_{o}'\)를 구하기 위한 회로다. 이 회로에서 \(h_{re}V_{x}=-I_{b}(h_{ie}+R_{s}||R_{B})\)이므로 \(\displaystyle I_{b}=-\frac{h_{re}V_{x}}{h_{ie}+R_{s}||R_{B}}\)이고 \(\displaystyle I_{x}=h_{fe}I_{b}+\frac{V_{x}}{1/h_{oe}}=h_{fe}I_{b}+h_{oe}V_{x}=\left(h_{oe}-\frac{h_{fe}h_{re}}{h_{ie}+R_{s}||R_{B}}\right)V_{x}\)이므로 \(\displaystyle Z_{o}'=\frac{V_{x}}{I_{x}}=\frac{1}{h_{oe}-\frac{h_{fe}h_{re}}{h_{ie}+R_{s}||R_{B}}}=\frac{1}{h_{oe}}||\left(-\frac{h_{ie}+R_{s}||R_{B}}{h_{fe}h_{re}}\right)\)이고 \(Z_{o}=Z_{o}'||R_{L}\)이다.

\(V_{x}\)가 증가하면 \(\displaystyle h_{fe}I_{b}=-\frac{h_{fe}h_{re}V_{x}}{h_{ie}+R_{s}||R_{B}}\)의 방향이 반대방향으로 증가하기 때문에 저항이 음의 부호를 갖는다. 실제로 \(Z_{o}\)의 값은 +다.

완전한 하이브리드 등가회로와 근사 하이브리드 등가회로의 오차는 10% 이내이다.

위의 회로는 고주파 하이브리드 \(\pi\)모델이다. 고주파에서는 커패시터를 고려한다. \(\displaystyle \beta I_{b}'=\frac{1}{r_{e}}r_{e}\beta I_{b}'=g_{m}I_{b}'\beta r_{e}=g_{m}(I_{b}'r_{\pi})=g_{m}V_{\pi}\,\left(g_{m}=\frac{1}{r_{e}}\right)\)의 관계가 있다.

다음과 같이 그래프를 이용하여 \(h\)변수 \(h_{11}\), \(h_{12}\), \(h_{21}\), \(h_{22}\)의 값을 결정한다. 

다음의 식과 위의 그래프를 이용하여 \(h_{fe}\), \(h_{oe}\)를 결정한다.$$\begin{align*}h_{fe}&=\frac{\partial i_{o}}{\partial i_{i}}=\frac{\partial i_{c}}{\partial i_{b}}\simeq\frac{\Delta i_{c}}{\Delta i_{b}}|_{V_{CE}=\text{Constant}}\\h_{oe}&=\frac{\partial i_{o}}{\partial v_{o}}=\frac{\partial i_{c}}{\partial v_{ce}}\simeq\frac{\Delta i_{c}}{\Delta v_{ce}}|_{I_{B}=\text{Constant}}\end{align*}$$  

다음의 식과 위의 그래프를 이용하여 \(h_{ie}\)와 \(h_{re}\)를 결정한다.$$\begin{align*}h_{ie}&=\frac{\partial v_{i}}{\partial i_{i}}=\frac{\partial v_{be}}{\partial i_{b}}\simeq\frac{\Delta v_{be}}{\Delta i_{b}}|_{V_{CE}=\text{Constant}}\\ h_{re}&=\frac{\partial v_{i}}{\partial v_{o}}=\frac{\partial v_{be}}{\partial v_{ce}}\simeq\frac{\Delta v_{be}}{\Delta v_{ce}}|_{I_{B}=\text{Constant}}\end{align*}$$\(h\)파라미터들의 변화요인은 온도, 주파수, 출력전류, 출력전압(\(I_{C}\), \(V_{CE}\))이다.

위의 그래프는 출력전류(\(I_{C}\))에 대한 \(h\)변수의 변화를 나타낸 것이다. 큰 출력값에서 \(h_{re}\), \(h_{oe}\)를 무시할 수 없고 \(h_{fe}\)가 출력전류 변화에 대해 가장 적게 변한다. 또한 \(\displaystyle h_{ie}=\beta r_{e}=\beta\frac{26}{I_{E}}=\beta\frac{26}{I_{C}}\)이므로 \(h_{ie}\)는 \(I_{C}\)에 반비례한다.

위의 그래프는 줄력전압(\(V_{CE}\))에 대한 \(h\)변수의 변화를 나타낸 것이다. \(h_{ie}\)와 \(h_{fe}\)는 거의 변화가 없고(\(h_{fe}\)가 가장 적게 변한다), \(h_{re}\), \(h_{oe}\)가 상당히 많이 변한다.

위 두 그래프로부터 \(h_{fe}\)가 출력전류와 전압변화에 대해 일정하다고 할 수 있다.

위의 그래프는 온도에 따른 \(h\)변수의 변화를 나타낸 것이다. 모든 \(h\)변수는 온도에 비례하고 \(h_{oe}\)가 가장 적게 변하고, \(h_{ie}\)가 가장 많이 변한다. \(h_{fe}\)가 많이 변하기 때문에 주변 온도를 일정하게 유지해야 한다.

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edtion, Boylestad, Nashelsky, Pearson