14. 고장 검사, 밀러 정리

14. 고장 검사, 밀러 정리

대부분 직류 모드에서 제대로 작동하는 회로는 교류 모드에서도 제대로 작동한다. 

위의 4개의 BJT회로는 직류상태에서 측정된 특정한 전압값을 가진다. (a)회로에서 측정된 전압은 \(0.3\text{V}\)이고 이것은 BJT가 활성영역이 아닌 차단영역에 있는 것을 의미한다. 활성영역에 있다면 \(0.7\text{V}\)로 측정된다. (b)회로에서 측정된 전압이 \(20\text{V}\)라는 것은 저항 \(R_{C}\)에서의 전압강하가 없고 따라서 컬렉터 전류가 0(\(I_{C}=0\))임을 뜻한다. (c)회로에서 컬렉터-이미터간의 전압강하가인가된 직류전압에 비해 엄청 작다. 보통 \(V_{CE}\)전압의 값은 \(6\text{V}\sim14\text{V}\)의 중간 정도이다. 모든 회로소자가 연결되어 있는데도 \(3\text{V}\)로 측정된 경우는 하나 이상의 저항소자의 값이 틀린 것이다. (d)에서 베이스 전압이 공급전원의 절반이다. \(R_{E}=\beta R_{2}\)이어야 하므로 베이스 전압은 공급전압의 절반보다 작아야 한다. 이것은 베이스 리드선이 전압분배기에 연결되지 않았음을 뜻한다.

위의 그림과 같이 직류, 교류전원을 인가하고 회로 각 점에서의 교류응답을 오실로스코프를 이용하여 측정한다. 이때 증폭기의 이득이 상당히 크기 때문에 \(v_{o}\)는 \(\text{V}\)단위로, \(v_{i}\)는 \(\text{mV}\)단위로 측정한다. 위의 회로의 응답이 아래와 같다면,    

이 회로는 이미터 영역에서 문제가 있다. 이미터 양단의 교류응답이 예상을 벗어난 것이고, \(v_{o}\)를 통해 얻은 시스템의 이득이 너무 작다. 이때 \(R_{E}\)를 바이패스하면 이득이 매우 커야 하는데 이득이 크지 않다는 것은 \(R_{E}\)가 바이패스되지 않았음을 뜻한다. 커패시터의 연결이 제대로 되어있는지 또는 커패시터가 불량인지를 조사해야 한다(커패시터는 직류에 대해서 개방회로이기 때문에 직류값을 측정하는 것으로는 고장을 찾아낼 수 없다)

이 회로에서 직류상태로 고려하면, \(R_{TH}=R_{1}||R_{2}=30.95\text{k}\Omega\), \(\displaystyle V_{TH}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}V_{CC}=2.89\text{V}\)이므로 \(V_{B}=6.22\text{V}\)이고 이는 잘못된 것이다. \(R_{2}\)가 없고 \(V_{B}=6.22\text{V}\)이면 \(V_{E}=5.22\text{V}\), \(\displaystyle I_{E}=\frac{V_{E}}{R_{E}}=3.68\text{mA}\), \(V_{R_{C}}=8.096\text{V}\)이고 \(V_{CE}=14-8.096-5.52=0.384\text{V}\)이다. 이것은 잘못된 동작점으로 인해 BJT가 포화영역에서 동작함을 뜻한다. 

앞에서 피드백 회로를 복잡하게 해석했던 적이 있었다. 여기서 밀러 정리라는 회로해석 기법을 소개할 것인데 이 밀러 정리는 피드백 회로를 분석하는데 있어서 유용하다.

밀러 정리는 전압이득 \(\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}\)를 안다는 상태에서 왼쪽의 회로를 오른쪽의 회로로 바꾸는 것이다. 

\(I_{1}\)이 위의 두 회로에서 같으려면 \(\displaystyle I_{1}=\frac{V_{1}-V_{2}}{Z}=\frac{V_{1}\left(1-\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)}{Z}=\frac{V_{1}}{\frac{Z}{(1-A_{v})}}=\frac{V_{1}}{Z_{1}}\)이어야 하므로 \(\displaystyle Z_{1}=\frac{Z}{1-A_{v}}\)이다.

\(I_{2}\)가 위의 두 회로에서 같으려면$$\begin{align*}I_{2}&=\frac{V_{2}-V_{1}}{Z}=\frac{V_{2}\left(1-\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)}{Z}=\frac{V_{2}\left(1-\frac{1}{A_{v}}\right)}{Z}\\&=\frac{V_{2}}{\frac{Z}{1-\frac{1}{A_{v}}}}=\frac{V_{2}}{\frac{A_{v}}{A_{v}-1}Z}=\frac{V_{2}}{Z_{2}}\end{align*}$$이어야 하므로 \(\displaystyle Z_{2}=\frac{A_{v}}{A_{v}-1}Z=\frac{-A_{v}}{1-A_{v}}Z\)이다. 이때 \(Z_{1}+Z_{2}=Z\)가 성립한다.

밀러 정리를 이용하여 다음의 회로를 해석하자.

위의 회로를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

위의 오른쪽 회로에서 \(\displaystyle V_{o}=\left(\frac{A_{v}}{A_{v}-1}R_{F}||R_{C}\right)(-\beta I_{b})\), \(V_{i}=I_{b}\beta r_{e}\)이므로$$\begin{align*}A_{v}&=\frac{V_{o}}{V_{i}}=-\frac{\beta\left(\frac{A_{v}}{A_{v}-1}R_{F}||R_{C}\right)}{\beta r_{e}}=-\frac{\left(\frac{A_{v}}{A_{v}-1}R_{F}R_{C}\right)}{\left[\left(\frac{A_{v}}{A_{v}-1}\right)R_{F}+R_{C}\right]r_{e}}\end{align*}$$이고 \(\displaystyle A_{v}=-\frac{R_{C}(R_{F}-r_{e})}{(R_{C}+R_{F})r_{e}}\)이다. 만약 \(R_{F}\gg R_{C}\)이면, \(\displaystyle A_{v}=-\frac{R_{C}}{r_{e}}\)

(다른방법: \(I_{1}=-I_{2}\)를 이용한다) \(\displaystyle I_{1}=\frac{V_{i}}{\frac{R_{F}}{1-A_{v}}}=\frac{1-A_{v}}{R_{F}}V_{i}=\frac{1-A_{v}}{R_{F}}I_{b}\beta r_{e}\), \(\displaystyle I_{2}=\frac{V_{o}}{\left\{\frac{A_{v}}{A_{v}-1}\right\}R_{F}}=\frac{A_{v}-1}{A_{v}}\frac{V_{o}}{R_{F}}\), \(\displaystyle V_{o}=\left(\frac{A_{v}}{A_{v}-1}R_{F}||R_{C}\right)(-\beta I_{b})\), \(I_{1}=-I_{2}\)에 대입한 후, \(A_{v}\)에 대해서 푼다.

\(\displaystyle I_{o}=\frac{\frac{A_{v}}{A_{v}-1}R_{F}}{\frac{A_{v}}{A_{v}-1}R_{F}+R_{C}}\beta I_{b}=\frac{A_{v}R_{F}\beta}{A_{v}R_{F}+(A_{v}-1)R_{C}}I_{b}\), \(\displaystyle I_{b}=\frac{\frac{R_{F}}{1-A_{v}}}{\frac{R_{F}}{1-A_{v}}+\beta r_{e}}I_{i}\)이므로 이 두 식을 이용하여 \(\displaystyle A_{i}=\frac{I_{o}}{I_{i}}=\frac{I_{b}}{I_{i}}\frac{I_{o}}{I_{b}}\)를 계산한다.

위의 오른쪽 회로에서 \(\displaystyle Z_{i}=\frac{R_{F}}{1-A_{v}}||\beta r_{e}=\frac{R_{F}}{|A_{v}|+1}||\beta r_{e}\)이지만 \(Z_{o}\)를 구할 때는 원래의 회로를 사용해야 한다. 그 이유는 \(Z_{o}\)를 구할 때, \(V_{i}=0\)으로 놓고 구하는데 \(V_{i}=0\)이면 \(A_{v}\)를 정의할 수 없다. 원래의 회로를 이용하여 구하면 \(Z_{o}=R_{C}||R_{F}\).

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson

http://elearning.kocw.net/contents4/document/lec/2013/Hankyong/Yuyunseop1/3.pdf