11. 달링턴 회로, 피드백 쌍 회로

11. 달링턴 회로, 피드백 쌍 회로

아래의 회로는 두 개의 BJT를 접속시킨 달링턴(Darlington) 회로다.

이 회로를 구성하는 BJT의 전류이득이 각각 $\beta_{1}$, $\beta_{2}$일 때, 이 달링턴 회로의 전체 전류이득은 $\beta_{D}=\beta_{1}\beta_{2}$이다. 하나의 BJT의 입력저항보다 더 큰 입력저항을 가지고 전류이득이 크기 때문에 달링턴 회로를 사용한다. 

위의 회로는 이미터 팔로워 구조를 사용한 달링턴 회로다. 이 회로에 대한 직류해석을 하면

$V_{CC}=I_{B_{1}}R_{B}+V_{BE_{1}}+V_{BE_{2}}+I_{E_{2}}R_{E}=(R_{B}+\beta_{D}R_{E})I_{B_{1}}+V_{BE_{1}}+V_{BE_{2}}$

$\displaystyle I_{B_{1}}=\frac{V_{CC}-V_{BE_{1}}-V_{BE_{2}}}{R_{B}+\beta_{D}R_{E}}$, $I_{E_{2}}\simeq I_{C_{2}}=\beta_{2}I_{B_{2}}=\beta_{2}I_{E_{1}}=\beta_{2}(\beta_{1}I_{E_{1}})=\beta_{1}\beta_{2}I_{B_{1}}=\beta_{D}I_{B_{1}}$,

컬렉터 전압은 $V_{C_{1}}=V_{C_{2}}=V_{CC}$, $Q_{2}$의 베이스 전압은 $V_{E_{2}}=I_{E_{2}}R_{E}$, $Q_{1}$의 베이스 전압은 $V_{B_{1}}=V_{CC}-I_{B_{1}}R_{B}=V_{E_{2}}+V_{BE_{1}}+V_{BE_{2}}$, $Q_{2}$의 컬렉터-이미터 전압은 $V_{CE_{2}}=V_{C_{2}}-V_{E_{2}}=V_{CC}-V_{E_{2}}$이다.

이제 교류해석을 하면

위의 회로는 이미터 팔로워 구조를 사용한 달링턴 회로의 등가회로다(올바른 $I_{o}$는 지면에서 이미터($E_{2}$)로 흐르는 방향이다). 이 회로에서 $\displaystyle Z_{i_{2}}=\frac{I_{b_{2}}\beta_{2}r_{e_{2}}+(1+\beta_{2})I_{b_{2}}R_{E}}{I_{b_{2}}}=\beta_{2}r_{e_{2}}+(1+\beta_{2})R_{E}\simeq\beta_{2}(r_{e_{2}}+R_{E})$, $\displaystyle Z_{i_{1}}=\frac{I_{b_{1}}\beta_{1}r_{e_{1}}+(1+\beta_{1})I_{b_{1}}Z_{i_{2}}}{I_{b_{1}}}=\beta_{1}r_{e_{1}}+(1+\beta_{1})\beta_{2}(r_{e_{2}}+R_{E})\simeq\beta_{1}\beta_{2}R_{E}=\beta_{D}R_{E}$이므로 $Z_{i}=R_{B}||Z_{i_{1}}$이다.

(한번에 $Z_{i_{1}}$을 구하는 방법) 

$Z_{i}=R_{B}||Z_{i_{1}}$, $\displaystyle Z_{i_{1}}=\frac{V_{i}}{I_{b_{1}}}$, $I_{b_{2}}=I_{b_{1}}+\beta_{1}I_{b_{1}}$, $I_{o}=I_{b_{2}}+\beta_{2}I_{b_{2}}$이므로 $$\begin{align*}V_{i}&=I_{b_{1}}\beta_{1}r_{e_{1}}+I_{b_{2}}\beta_{2}r_{e_{2}}+I_{o}R_{E}=I_{b_{1}}\beta_{1}r_{e_{1}}+(1+\beta_{1})I_{b_{1}}\beta_{2}r_{e_{2}}+(1+\beta_{2})I_{b_{2}}R_{E}\\&=I_{b_{1}}[\beta_{1}r_{e_{1}}+(1+\beta_{1})\beta_{2}r_{e_{2}}+\{(1+\beta_{1})+\beta_{2}(1+\beta_{1})\}R_{E}]\end{align*}$$ 이고 $\displaystyle Z_{i_{1}}=\frac{V_{i}}{I_{b_{1}}}=\beta_{1}r_{e_{1}}+(1+\beta_{1})\beta_{2}r_{e_{2}}+(1+\beta_{1}+\beta_{2}+\beta_{1}\beta_{2})R_{E}\simeq\beta_{1}\beta_{2}R_{E}=\beta_{D}R_{E}$이다.

전류이득을 구하면 $I_{o}=(1+\beta_{2})I_{b_{2}}=(1+\beta_{2})(1+\beta_{1})I_{b_{1}}$, $\displaystyle I_{b_{1}}=\frac{R_{B}}{Z_{i_{1}}+R_{B}}I_{i}$이므로 $\displaystyle A_{i}=\frac{-I_{o}}{I_{i}}=\frac{I_{b_{1}}}{I_{i}}\frac{-I_{o}}{I_{b_{1}}}=-\frac{R_{B}}{R_{B}+Z_{i_{1}}}(1+\beta_{2})(1+\beta_{1})$이다.

전압이득을 구하면 

$V_{o}=I_{o}R_{E}=(1+\beta_{2})I_{b_{2}}R_{E}=(1+\beta_{1})(1+\beta_{2})R_{E}I_{b_{1}}$, 

$\displaystyle V_{i}=I_{b_{1}}[\beta_{1}r_{e_{1}}+(1+\beta_{1})\beta_{2}r_{e_{2}}+\{(1+\beta_{1})+\beta_{2}(1+\beta_{1})\}R_{E}]$이므로 $\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{(1+\beta_{1})(1+\beta_{2})R_{E}}{\beta_{1}r_{e_{1}}+(1+\beta_{1})\beta_{2}r_{e_{2}}+(1+\beta_{2})(1+\beta_{1})R_{E}}\simeq1$이다.

마지막으로 $Z_{o}$를 구해야 한다. 위의 회로는 $Z_{o}$를 구하기 위해 $V_{i}=0$으로 설정한 회로다. $Z_{o}=Z_{o_{1}}||R_{E}$이므로 $Z_{o_{1}}$을 구해야 한다.

이 회로는 $Z_{o_{1}}$을 구하기 위한 회로다. 이 회로에서 $V_{x}=-I_{b_{2}}\beta_{2}r_{e_{2}}-I_{b_{1}}\beta_{1}r_{e_{1}}$, $I_{x}=-(1+\beta_{2})I_{b_{2}}$, $\displaystyle I_{b_{2}}=-\frac{I_{x}}{1+\beta_{2}}$, $I_{b_{2}}=(1+\beta_{1})I_{b_{1}}$이므로 $\displaystyle I_{b_{1}}=\frac{I_{b_{2}}}{1+\beta_{1}}=\frac{-I_{x}}{(1+\beta_{1})(1+\beta_{2})}$이고 $\displaystyle V_{x}=\left[\frac{\beta_{2}r_{e_{2}}}{1+\beta_{2}}+\frac{\beta_{1}r_{e_{1}}}{(1+\beta_{1})(1+\beta_{2})}\right]I_{x}$이므로 따라서 $\displaystyle Z_{o_{1}}=\frac{V_{x}}{I_{x}}\simeq r_{e_{2}}+\frac{r_{e_{1}}}{\beta_{2}}$이다.

다음의 회로는 pnp BJT로 npn BJT를 구동시키는 피드백 쌍 회로다.

이 피드백 쌍 회로는 하나의 pnp BJT처럼 작동한다. 달링턴 회로와 마찬가지로 이 피드백 쌍 회로도 각 트랜지스터의 전류이득($\beta$)을 곱해서 매우 큰 전류 이득을 갖는다.

 위의 회로에 대해 직류해석을 하면

$V_{CC}=I_{C}R_{C}+V_{EB_{1}}+I_{B_{1}}R_{B}$, $I_{C}=I_{E_{1}}+I_{C_{2}}=\beta_{1}I_{B_{1}}+\beta_{2}I_{B_{2}}=(\beta_{1}+\beta_{1}\beta_{2})I_{B_{1}}\simeq\beta_{1}\beta_{2}I_{B_{1}}$이는 피드백 쌍의 직류전류이득이 $\displaystyle\frac{I_{C}}{I_{B_{1}}}=\beta_{1}\beta_{2}$임을 뜻한다.

$V_{CC}-V_{EB_{1}}=(\beta_{1}\beta_{2}R_{C}+R_{B})I_{B_{1}}$, $\displaystyle I_{B_{1}}=\frac{V_{CC}-V_{EB_{1}}}{R_{B}+\beta_{1}\beta_{2}R_{C}}$, $I_{C}=I_{E_{1}}+I_{C_{2}}\simeq I_{C_{1}}+I_{C_{2}}\simeq I_{C_{2}}$이다.

위의 회로는 피드백 쌍 회로의 교류해석을 위한 등가회로다.

$Z_{i}=R_{B}||Z_{b}$, $\displaystyle Z_{b}=\frac{V_{i}}{I_{b1}}$이고 $V_{i}=I_{b_{1}}\beta_{1}r_{e_{1}}+V_{o}=I_{b_{1}}\beta_{1}r_{e_{1}}-I_{c}R_{C}$. 이때 $I_{c}=\beta_{2}I_{b_{2}}-\beta_{1}I_{b_{1}}-I_{b_{1}}=-(\beta_{2}\beta_{1}+\beta_{1}+1)I_{b_{1}}$, $I_{b_{2}}=-\beta_{1}I_{b_{1}}$이므로 $V_{i}=I_{b_{1}}\beta_{1}r_{e_{1}}+(\beta_{1}\beta_{2}+\beta_{1}+1)I_{b_{1}}R_{C}$이고 $\displaystyle Z_{b}=\frac{V_{i}}{I_{b_{1}}}=\beta_{1}r_{e_{1}}+(\beta_{1}\beta_{2}+\beta_{1}+1)R_{C}$이다.

*여기서 의문이 들 것이다. 원래의 회로에는 npn형과 pnp형이 같이 있는데 교류등가회로는 전부 npn형에 맞춰져있다. 하지만 pnp형을 npn형으로 해석해도 결과는 같다.

전류이득을 구하면 $I_{o}=I_{c}=-(\beta_{1}\beta_{2}+\beta_{1}+1)I_{b_{1}}$, $\displaystyle I_{b_{1}}=\frac{R_{B}}{R_{B}+Z_{b}}I_{i}$이므로 $\displaystyle A_{i}=\frac{I_{o}}{I_{i}}=\frac{I_{b_{1}}}{I_{i}}\frac{I_{o}}{I_{b_{1}}}=-\frac{R_{B}}{R_{B}+Z_{b}}(\beta_{1}\beta_{2}+\beta_{1}+1)\simeq-\beta_{1}\beta_{2}\frac{R_{B}}{R_{B}+Z_{b}}$이고 높은 전류이득을 갖는다.

 위의 회로는 $Z_{o}$를 구하기 위한 회로다. $\displaystyle I_{b_{1}}=-\frac{V_{x}}{\beta_{1}r_{e_{1}}}$, $\displaystyle I_{b_{2}}=-\beta_{1}I_{b_{1}}=\frac{V_{x}}{r_{e_{1}}}$이므로 $\displaystyle I_{x}=\frac{V_{x}}{R_{C}}+\beta_{2}I_{b_{2}}-\beta_{1}I_{b_{1}}-I_{b_{1}}=\frac{V_{x}}{R_{C}}+\beta_{2}\frac{V_{x}}{r_{e_{1}}}+(1+\beta_{1})\frac{V_{x}}{\beta_{1}r_{e_{1}}}=\left[\frac{1}{R_{C}}+\frac{\beta_{2}}{r_{e_{1}}}+\frac{1}{r_{e_{1}}}+\frac{1}{\beta_{1}r_{e_{1}}}\right]V_{x}$이고 $\displaystyle Z_{o}=\frac{V_{x}}{I_{x}}=R_{C}||\beta_{1}r_{e_{1}}||r_{e_{1}}||\frac{r_{e_{1}}}{\beta_{2}}\simeq\frac{r_{e_{1}}}{\beta_{2}}$이다. 출력임피던스의 값이 낮다.

다시 원래의 교류등가회로로 돌아와서 전압이득을 구하면 $V_{o}=-I_{c}R_{C}=(\beta_{1}\beta_{2}+\beta_{1}+1)I_{b_{1}}R_{C}$, $V_{i}=I_{b_{1}}\beta_{1}r_{e_{1}}+(\beta_{1}\beta_{2}+\beta_{1}+1)I_{b_{1}}R_{C}=[\beta_{1}r_{e_{1}}+(\beta_{1}\beta_{2}+\beta_{1}+1)R_{C}]I_{b_{1}}$이므로 $\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{(\beta_{1}\beta_{2}+\beta_{1}+1)R_{C}}{\beta_{1}r_{e_{1}}+(\beta_{1}\beta_{2}+\beta_{1}+1)R_{C}}\simeq1$이고 전압이득도 낮다.

결론은 달링턴 회로와 피드백 쌍 회로 둘 다 큰 전류이득, 입력저항, 낮은 전압이득, 출력저항을 갖는다.

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson