11. 달링턴 회로, 피드백 쌍 회로

11. 달링턴 회로, 피드백 쌍 회로

아래의 회로는 두 개의 BJT를 접속시킨 달링턴(Darlington) 회로다.

이 회로를 구성하는 BJT의 전류이득이 각각 \(\beta_{1}\), \(\beta_{2}\)일 때, 이 달링턴 회로의 전체 전류이득은 \(\beta_{D}=\beta_{1}\beta_{2}\)이다. 하나의 BJT의 입력저항보다 더 큰 입력저항을 가지고 전류이득이 크기 때문에 달링턴 회로를 사용한다. 

위의 회로는 이미터 팔로워 구조를 사용한 달링턴 회로다. 이 회로에 대한 직류해석을 하면

\(V_{CC}=I_{B_{1}}R_{B}+V_{BE_{1}}+V_{BE_{2}}+I_{E_{2}}R_{E}=(R_{B}+\beta_{D}R_{E})I_{B_{1}}+V_{BE_{1}}+V_{BE_{2}}\)

\(\displaystyle I_{B_{1}}=\frac{V_{CC}-V_{BE_{1}}-V_{BE_{2}}}{R_{B}+\beta_{D}R_{E}}\), \(I_{E_{2}}\simeq I_{C_{2}}=\beta_{2}I_{B_{2}}=\beta_{2}I_{E_{1}}=\beta_{2}(\beta_{1}I_{E_{1}})=\beta_{1}\beta_{2}I_{B_{1}}=\beta_{D}I_{B_{1}}\),

컬렉터 전압은 \(V_{C_{1}}=V_{C_{2}}=V_{CC}\), \(Q_{2}\)의 베이스 전압은 \(V_{E_{2}}=I_{E_{2}}R_{E}\), \(Q_{1}\)의 베이스 전압은 \(V_{B_{1}}=V_{CC}-I_{B_{1}}R_{B}=V_{E_{2}}+V_{BE_{1}}+V_{BE_{2}}\), \(Q_{2}\)의 컬렉터-이미터 전압은 \(V_{CE_{2}}=V_{C_{2}}-V_{E_{2}}=V_{CC}-V_{E_{2}}\)이다.

이제 교류해석을 하면

위의 회로는 이미터 팔로워 구조를 사용한 달링턴 회로의 등가회로다(올바른 \(I_{o}\)는 지면에서 이미터(\(E_{2}\))로 흐르는 방향이다). 이 회로에서 \(\displaystyle Z_{i_{2}}=\frac{I_{b_{2}}\beta_{2}r_{e_{2}}+(1+\beta_{2})I_{b_{2}}R_{E}}{I_{b_{2}}}=\beta_{2}r_{e_{2}}+(1+\beta_{2})R_{E}\simeq\beta_{2}(r_{e_{2}}+R_{E})\), \(\displaystyle Z_{i_{1}}=\frac{I_{b_{1}}\beta_{1}r_{e_{1}}+(1+\beta_{1})I_{b_{1}}Z_{i_{2}}}{I_{b_{1}}}=\beta_{1}r_{e_{1}}+(1+\beta_{1})\beta_{2}(r_{e_{2}}+R_{E})\simeq\beta_{1}\beta_{2}R_{E}=\beta_{D}R_{E}\)이므로 \(Z_{i}=R_{B}||Z_{i_{1}}\)이다.

(한번에 \(Z_{i_{1}}\)을 구하는 방법) 

\(Z_{i}=R_{B}||Z_{i_{1}}\), \(\displaystyle Z_{i_{1}}=\frac{V_{i}}{I_{b_{1}}}\), \(I_{b_{2}}=I_{b_{1}}+\beta_{1}I_{b_{1}}\), \(I_{o}=I_{b_{2}}+\beta_{2}I_{b_{2}}\)이므로$$\begin{align*}V_{i}&=I_{b_{1}}\beta_{1}r_{e_{1}}+I_{b_{2}}\beta_{2}r_{e_{2}}+I_{o}R_{E}=I_{b_{1}}\beta_{1}r_{e_{1}}+(1+\beta_{1})I_{b_{1}}\beta_{2}r_{e_{2}}+(1+\beta_{2})I_{b_{2}}R_{E}\\&=I_{b_{1}}[\beta_{1}r_{e_{1}}+(1+\beta_{1})\beta_{2}r_{e_{2}}+\{(1+\beta_{1})+\beta_{2}(1+\beta_{1})\}R_{E}]\end{align*}$$이고 \(\displaystyle Z_{i_{1}}=\frac{V_{i}}{I_{b_{1}}}=\beta_{1}r_{e_{1}}+(1+\beta_{1})\beta_{2}r_{e_{2}}+(1+\beta_{1}+\beta_{2}+\beta_{1}\beta_{2})R_{E}\simeq\beta_{1}\beta_{2}R_{E}=\beta_{D}R_{E}\)이다.

전류이득을 구하면 \(I_{o}=(1+\beta_{2})I_{b_{2}}=(1+\beta_{2})(1+\beta_{1})I_{b_{1}}\), \(\displaystyle I_{b_{1}}=\frac{R_{B}}{Z_{i_{1}}+R_{B}}I_{i}\)이므로 \(\displaystyle A_{i}=\frac{-I_{o}}{I_{i}}=\frac{I_{b_{1}}}{I_{i}}\frac{-I_{o}}{I_{b_{1}}}=-\frac{R_{B}}{R_{B}+Z_{i_{1}}}(1+\beta_{2})(1+\beta_{1})\)이다.

전압이득을 구하면 

\(V_{o}=I_{o}R_{E}=(1+\beta_{2})I_{b_{2}}R_{E}=(1+\beta_{1})(1+\beta_{2})R_{E}I_{b_{1}}\), 

\(\displaystyle V_{i}=I_{b_{1}}[\beta_{1}r_{e_{1}}+(1+\beta_{1})\beta_{2}r_{e_{2}}+\{(1+\beta_{1})+\beta_{2}(1+\beta_{1})\}R_{E}]\)이므로 \(\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{(1+\beta_{1})(1+\beta_{2})R_{E}}{\beta_{1}r_{e_{1}}+(1+\beta_{1})\beta_{2}r_{e_{2}}+(1+\beta_{2})(1+\beta_{1})R_{E}}\simeq1\)이다.

마지막으로 \(Z_{o}\)를 구해야 한다. 위의 회로는 \(Z_{o}\)를 구하기 위해 \(V_{i}=0\)으로 설정한 회로다. \(Z_{o}=Z_{o_{1}}||R_{E}\)이므로 \(Z_{o_{1}}\)을 구해야 한다.

이 회로는 \(Z_{o_{1}}\)을 구하기 위한 회로다. 이 회로에서 \(V_{x}=-I_{b_{2}}\beta_{2}r_{e_{2}}-I_{b_{1}}\beta_{1}r_{e_{1}}\), \(I_{x}=-(1+\beta_{2})I_{b_{2}}\), \(\displaystyle I_{b_{2}}=-\frac{I_{x}}{1+\beta_{2}}\), \(I_{b_{2}}=(1+\beta_{1})I_{b_{1}}\)이므로 \(\displaystyle I_{b_{1}}=\frac{I_{b_{2}}}{1+\beta_{1}}=\frac{-I_{x}}{(1+\beta_{1})(1+\beta_{2})}\)이고 \(\displaystyle V_{x}=\left[\frac{\beta_{2}r_{e_{2}}}{1+\beta_{2}}+\frac{\beta_{1}r_{e_{1}}}{(1+\beta_{1})(1+\beta_{2})}\right]I_{x}\)이므로 따라서 \(\displaystyle Z_{o_{1}}=\frac{V_{x}}{I_{x}}\simeq r_{e_{2}}+\frac{r_{e_{1}}}{\beta_{2}}\)이다.

다음의 회로는 pnp BJT로 npn BJT를 구동시키는 피드백 쌍 회로다.

이 피드백 쌍 회로는 하나의 pnp BJT처럼 작동한다. 달링턴 회로와 마찬가지로 이 피드백 쌍 회로도 각 트랜지스터의 전류이득(\(\beta\))을 곱해서 매우 큰 전류 이득을 갖는다.

 위의 회로에 대해 직류해석을 하면

\(V_{CC}=I_{C}R_{C}+V_{EB_{1}}+I_{B_{1}}R_{B}\), \(I_{C}=I_{E_{1}}+I_{C_{2}}=\beta_{1}I_{B_{1}}+\beta_{2}I_{B_{2}}=(\beta_{1}+\beta_{1}\beta_{2})I_{B_{1}}\simeq\beta_{1}\beta_{2}I_{B_{1}}\)이는 피드백 쌍의 직류전류이득이 \(\displaystyle\frac{I_{C}}{I_{B_{1}}}=\beta_{1}\beta_{2}\)임을 뜻한다.

\(V_{CC}-V_{EB_{1}}=(\beta_{1}\beta_{2}R_{C}+R_{B})I_{B_{1}}\), \(\displaystyle I_{B_{1}}=\frac{V_{CC}-V_{EB_{1}}}{R_{B}+\beta_{1}\beta_{2}R_{C}}\), \(I_{C}=I_{E_{1}}+I_{C_{2}}\simeq I_{C_{1}}+I_{C_{2}}\simeq I_{C_{2}}\)이다.

위의 회로는 피드백 쌍 회로의 교류해석을 위한 등가회로다.

\(Z_{i}=R_{B}||Z_{b}\), \(\displaystyle Z_{b}=\frac{V_{i}}{I_{b1}}\)이고 \(V_{i}=I_{b_{1}}\beta_{1}r_{e_{1}}+V_{o}=I_{b_{1}}\beta_{1}r_{e_{1}}-I_{c}R_{C}\). 이때 \(I_{c}=\beta_{2}I_{b_{2}}-\beta_{1}I_{b_{1}}-I_{b_{1}}=-(\beta_{2}\beta_{1}+\beta_{1}+1)I_{b_{1}}\), \(I_{b_{2}}=-\beta_{1}I_{b_{1}}\)이므로 \(V_{i}=I_{b_{1}}\beta_{1}r_{e_{1}}+(\beta_{1}\beta_{2}+\beta_{1}+1)I_{b_{1}}R_{C}\)이고 \(\displaystyle Z_{b}=\frac{V_{i}}{I_{b_{1}}}=\beta_{1}r_{e_{1}}+(\beta_{1}\beta_{2}+\beta_{1}+1)R_{C}\)이다.

*여기서 의문이 들 것이다. 원래의 회로에는 npn형과 pnp형이 같이 있는데 교류등가회로는 전부 npn형에 맞춰져있다. 하지만 pnp형을 npn형으로 해석해도 결과는 같다.

전류이득을 구하면 \(I_{o}=I_{c}=-(\beta_{1}\beta_{2}+\beta_{1}+1)I_{b_{1}}\), \(\displaystyle I_{b_{1}}=\frac{R_{B}}{R_{B}+Z_{b}}I_{i}\)이므로 \(\displaystyle A_{i}=\frac{I_{o}}{I_{i}}=\frac{I_{b_{1}}}{I_{i}}\frac{I_{o}}{I_{b_{1}}}=-\frac{R_{B}}{R_{B}+Z_{b}}(\beta_{1}\beta_{2}+\beta_{1}+1)\simeq-\beta_{1}\beta_{2}\frac{R_{B}}{R_{B}+Z_{b}}\)이고 높은 전류이득을 갖는다.

 위의 회로는 \(Z_{o}\)를 구하기 위한 회로다. \(\displaystyle I_{b_{1}}=-\frac{V_{x}}{\beta_{1}r_{e_{1}}}\), \(\displaystyle I_{b_{2}}=-\beta_{1}I_{b_{1}}=\frac{V_{x}}{r_{e_{1}}}\)이므로 \(\displaystyle I_{x}=\frac{V_{x}}{R_{C}}+\beta_{2}I_{b_{2}}-\beta_{1}I_{b_{1}}-I_{b_{1}}=\frac{V_{x}}{R_{C}}+\beta_{2}\frac{V_{x}}{r_{e_{1}}}+(1+\beta_{1})\frac{V_{x}}{\beta_{1}r_{e_{1}}}=\left[\frac{1}{R_{C}}+\frac{\beta_{2}}{r_{e_{1}}}+\frac{1}{r_{e_{1}}}+\frac{1}{\beta_{1}r_{e_{1}}}\right]V_{x}\)이고 \(\displaystyle Z_{o}=\frac{V_{x}}{I_{x}}=R_{C}||\beta_{1}r_{e_{1}}||r_{e_{1}}||\frac{r_{e_{1}}}{\beta_{2}}\simeq\frac{r_{e_{1}}}{\beta_{2}}\)이다. 출력임피던스의 값이 낮다.

다시 원래의 교류등가회로로 돌아와서 전압이득을 구하면 \(V_{o}=-I_{c}R_{C}=(\beta_{1}\beta_{2}+\beta_{1}+1)I_{b_{1}}R_{C}\), \(V_{i}=I_{b_{1}}\beta_{1}r_{e_{1}}+(\beta_{1}\beta_{2}+\beta_{1}+1)I_{b_{1}}R_{C}=[\beta_{1}r_{e_{1}}+(\beta_{1}\beta_{2}+\beta_{1}+1)R_{C}]I_{b_{1}}\)이므로 \(\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{(\beta_{1}\beta_{2}+\beta_{1}+1)R_{C}}{\beta_{1}r_{e_{1}}+(\beta_{1}\beta_{2}+\beta_{1}+1)R_{C}}\simeq1\)이고 전압이득도 낮다.

결론은 달링턴 회로와 피드백 쌍 회로 둘 다 큰 전류이득, 입력저항, 낮은 전압이득, 출력저항을 갖는다.

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson