12. 하이브리드 등가 모델

12. 하이브리드 등가 모델

$r_{e}$모델은 파라미터(변수)들이 실제 동작 조건에 의해 결정되는 장점을 가지고 있으나 반면 하이브리드 등가회로의 파라미터들은 임의의 동작 조건에서 일반적으로 결정된다. $r_{e}$모델은 출력 임피던스와 피드백 성분 정보를 규격표에서 바로 얻을 수 없으나 하이브리드 파라미터는 사양서 상에 전체 세트를 제공하고 있다. 

위의 하이브리드 파라미터들은 2N4400트랜지스터(BJT)에 대한 사양서에서 얻은 것이고 직류 컬렉터 전류($I_{C}$)가 $1\text{mA}$, 컬렉터와 이미터 사이의 전압($V_{CE}$)이 $10\text{V}$인 조건에서 얻어진 값들이다.

BJT를 선형으로 가정하고 위의 2포트 시스템에서 독립변수 $I_{i}$, $V_{o}$를 사용하면 $$\begin{align*}V_{i}&=h_{11}I_{i}+h_{12}V_{o}\\ I_{o}&=h_{21}I_{i}+h_{22}V_{o}\end{align*}$$ 로 나타낼 수 있다. 여기서

$\displaystyle h_{11}=\frac{V_{i}}{I_{i}}|_{V_{o}=0}$은 출력 단락시 입력저항(단위: $\Omega$)

$\displaystyle h_{12}=\frac{V_{i}}{V_{o}}|_{I_{i}=0}$은 입력 개방시 입력전압 대 출력전압(역방향 전달 전압비)(단위없음)

$\displaystyle h_{21}=\frac{I_{o}}{I_{i}}|_{V_{o}=0}$은 출력 단락시 전류이득(순방향 전달 전류비)(단위없음)

$\displaystyle h_{22}=\frac{I_{o}}{V_{o}}|_{I_{i}=0}$은 입력 개방시 출력컨덕턴스(단위: $S$(지멘스))

위의 변수들을 보면 $h_{xy}$($x$는 분자, $y$는 분모, $x$, $y$는 1(입력) 또는 2(출력)를 의미한다.

  

이 회로는 하이브리드 입력 등가회로(테브난 등가회로)로 식은 

$V_{i}=h_{11}I_{i}+h_{12}V_{o}$이고

$h_{11}$은 입력저항으로 $h_{o}$로 나타내고, 

$h_{12}$는 역방향 전압 전달비로 $h_{r}$로 나타낸다. 

이 회로는 하이브리드 출력 등가회로(노턴 등가회로)로 식은

$I_{o}=h_{21}I_{i}+h_{22}V_{o}$이고

$h_{21}$은 순방향 전류 전달비로 $h_{f}$로 나타내고

$h_{22}$는 출력컨덕턴스로 $h_{o}$로 나타낸다.

$h_{o}$가 저항이 아닌 컨덕턴스라는 점에 주의해야 한다.

위의 회로는 앞에서 다룬 하이브리드 입력, 출력 등가회로를 합쳐서 나타낸 완전한 하이브리드 등가회로다. 이 회로에서 주의할 점은 $V_{o}$가 $h_{o}$양단의 전압이고, $I_{i}$가 $h_{i}$에 흐르는 전류라는 점이다. 이 회로를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}V_{i}&=h_{i}I_{i}+h_{r}V_{o}\\I_{o}&=h_{f}I_{i}+h_{o}V_{o}\end{align*}$$ 다음은 CE(공통 이미터), CB(공통 베이스)구조의 완전한 하이브리드 등가회로를 나타낸 것이다.

CE(공통이미터) 구조로 왼쪽은 원래의 회로, 오른쪽은 하이브리드 등가회로다. 

CB(공통베이스) 구조로 왼쪽은 원래의 회로, 오른쪽은 하이브리드 등가회로다.

위의 CE, CB구조에서 $h_{r}$과 $h_{o}$를 통상적으로 무시한다. 즉 $h_{r}\simeq0\,(h_{r}V_{o}=0)$(피드백 성분이 단락), $\displaystyle h_{o}\simeq0\,\left(\frac{1}{h_{o}}\simeq\infty\right)$($h_{o}$가 개방)

이 위의 회로는 $h_{r}$과 $h_{o}$를 무시했을 때의 근사 등가 모델로 $r_{e}$모델에서 출력저항 $r_{o}$를 무시했을때와 같다.

이 회로는 하이브리드 근사 등가모델과 $r_{e}$모델을 비교한 것이다. 맨 위의 회로는 CE(공통 이미트)구조이고 아래의 회로는 CB(공통 베이스)구조이다.

CE구조에서 $\displaystyle h_{ie}=\beta r_{e}\,\left(r_{e}=\frac{h_{ie}}{h_{fe}}\right)$, $h_{fe}=\beta$이고 CB구조에서 $h_{ie}=\beta r_{e}$, $h_{fb}=-\alpha\simeq-1$이다.

$I_{E}=2.5\text{mA}$, $h_{fe}=140$, $h_{oe}=20\mu\text{S}$, $h_{ob}=0.5\mu\text{S}$일 때 $\displaystyle r_{e}=\frac{26\text{mV}}{I_{E}}=\frac{26\text{mV}}{2.5\text{mA}}=10.4\Omega$이고 $h_{ie}=\beta r_{e}=(140)(10.4\Omega)=1.456\text{k}\Omega$, $\displaystyle r_{o}=\frac{1}{h_{oe}}=\frac{1}{20\mu\text{S}}=50\text{k}\Omega$(CE)

$\alpha\simeq1$, $\displaystyle r_{o}=\frac{1}{h_{ob}}=\frac{1}{0.5\mu\text{S}}=2\text{M}\Omega$이다.(CB)

(CE)

(CB)

여기서부터는 $h_{r}=0$인 경우를 다룰 것이다.

위의 왼쪽 회로는 CE(공통 이미터) 근사 하이브리드 등가회로이고 오른쪽 회로는 CB(공통 베이스) 근사 하이브리드 등가회로다. 이 두 회로 모두 $r_{e}$모델에서 출력저항 $r_{o}$를 고려한 것과 같다.

$r_{e}$모델 성분과 하이브리드 변수의 관계는 다음과 같다.

$h_{ie}=\beta r_{e}$, $h_{fe}=\beta$, $\displaystyle h_{oe}=\frac{1}{r_{o}}$, $h_{ib}=r_{e}$, $h_{fb}=-\alpha$, $\displaystyle h_{ob}=\frac{1}{r_{o}}$

이 위의 회로는 고정 바이어스 회로고 오른쪽은 왼쪽 회로의 근사 하이브리드 등가회로이며 출력저항 $\displaystyle\frac{1}{h_{oe}}$가 고려되었다.

$Z_{i}=R_{B}||h_{ie}$이고 $Z_{o}$를 구하기 위해 $V_{i}=0$이라 하자. 그러면 $I_{b}=0$이 되어 $h_{fe}I_{b}=0$이 되고 따라서 $\displaystyle Z_{o}=\frac{1}{h_{oe}}||R_{C}$이다.

$V_{i}=I_{b}h_{ie}$, $\displaystyle V_{o}=-h_{fe}I_{b}\left(\frac{1}{h_{oe}}||R_{C}\right)$이므로 $\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{-h_{fe}I_{b}\left(\frac{1}{h_{oe}}||R_{C}\right)}{I_{b}h_{fe}}=-\frac{h_{fe}}{h_{ie}}\left(\frac{1}{h_{oe}}||R_{C}\right)$이다.

$\displaystyle I_{o}=\frac{1/h_{oe}}{1/h_{oe}+R_{C}}h_{fe}I_{b}=\frac{h_{fe}}{1+h_{oe}R_{C}}I_{b}$, $\displaystyle I_{b}=\frac{R_{B}}{R_{B}+h_{ie}}I_{i}$이므로 $\displaystyle A_{i}=\frac{I_{o}}{I_{i}}=\frac{I_{o}}{I_{b}}\frac{I_{b}}{I_{i}}=\frac{h_{fe}}{1+h_{oe}R_{C}}\frac{R_{B}}{R_{B}+h_{ie}}$이다.

위의 회로는 전압분배기 회로다. 이 회로에서 $r_{e}$모델을 이용해서 구한 $Z_{i}$, $Z_{o}$, $A_{v}$, $A_{i}$는 $Z_{i}=R_{1}||R_{2}||\beta r_{e}$, $Z_{o}=R_{C}$, $\displaystyle A_{v}=-\frac{R_{C}}{r_{e}}$, $\displaystyle A_{i}=\frac{\beta(R_{1}||R_{2})}{R_{1}||R_{2}+\beta r_{e}}$이고 이를 근사 하이브리드 모델의 파라미터로 나타내면 $Z_{i}=R_{1}||R_{2}||h_{ie}$, $Z_{o}=R_{C}$, $\displaystyle A_{v}=-\frac{h_{fe}R_{C}}{h_{ie}}$, $\displaystyle A_{i}=\frac{h_{fe}(R_{1}||R_{2})}{R_{1}||R_{2}+\beta r_{e}}$이다.

아래의 회로에서 왼쪽은 바이패스가 없는 이미터 바이어스 회로, 오른쪽은 이미터 팔로워 회로다.

$Z_{i}=R_{B}||Z_{b}\,(Z_{b}\simeq h_{fe}R_{E})$ $Z_{o}=R_{C}$ $\displaystyle A_{v}=-\frac{h_{fe}R_{C}}{Z_{b}}\simeq-\frac{h_{fe}R_{C}}{h_{fe}R_{E}}=-\frac{R_{C}}{R_{E}}$ $\displaystyle A_{i}=-\frac{h_{fe}R_{B}}{R_{B}+Z_{b}}=-A_{v}\frac{Z_{i}}{R_{C}}$	$Z_{i}=R_{B}||Z_{b}\,(Z_{b}\simeq h_{fe}R_{E})$ $\displaystyle Z_{o}=R_{E}||\frac{h_{ie}}{1+h_{fe}}\simeq R_{E}||\frac{h_{ie}}{h_{fe}}$ $\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}\simeq\frac{R_{E}}{R_{E}+\frac{h_{ie}}{h_{fe}}}$ $\displaystyle A_{i}=\frac{h_{fe}R_{B}}{R_{B}+Z_{b}}=-A_{v}\frac{Z_{i}}{R_{E}}$

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson