12. 하이브리드 등가 모델

12. 하이브리드 등가 모델

\(r_{e}\)모델은 파라미터(변수)들이 실제 동작 조건에 의해 결정되는 장점을 가지고 있으나 반면 하이브리드 등가회로의 파라미터들은 임의의 동작 조건에서 일반적으로 결정된다. \(r_{e}\)모델은 출력 임피던스와 피드백 성분 정보를 규격표에서 바로 얻을 수 없으나 하이브리드 파라미터는 사양서 상에 전체 세트를 제공하고 있다. 

위의 하이브리드 파라미터들은 2N4400트랜지스터(BJT)에 대한 사양서에서 얻은 것이고 직류 컬렉터 전류(\(I_{C}\))가 \(1\text{mA}\), 컬렉터와 이미터 사이의 전압(\(V_{CE}\))이 \(10\text{V}\)인 조건에서 얻어진 값들이다.

BJT를 선형으로 가정하고 위의 2포트 시스템에서 독립변수 \(I_{i}\), \(V_{o}\)를 사용하면$$\begin{align*}V_{i}&=h_{11}I_{i}+h_{12}V_{o}\\ I_{o}&=h_{21}I_{i}+h_{22}V_{o}\end{align*}$$로 나타낼 수 있다. 여기서

\(\displaystyle h_{11}=\frac{V_{i}}{I_{i}}|_{V_{o}=0}\)은 출력 단락시 입력저항(단위: \(\Omega\))

\(\displaystyle h_{12}=\frac{V_{i}}{V_{o}}|_{I_{i}=0}\)은 입력 개방시 입력전압 대 출력전압(역방향 전달 전압비)(단위없음)

\(\displaystyle h_{21}=\frac{I_{o}}{I_{i}}|_{V_{o}=0}\)은 출력 단락시 전류이득(순방향 전달 전류비)(단위없음)

\(\displaystyle h_{22}=\frac{I_{o}}{V_{o}}|_{I_{i}=0}\)은 입력 개방시 출력컨덕턴스(단위: \(S\)(지멘스))

위의 변수들을 보면 \(h_{xy}\)(\(x\)는 분자, \(y\)는 분모, \(x\), \(y\)는 1(입력) 또는 2(출력)를 의미한다.

  

이 회로는 하이브리드 입력 등가회로(테브난 등가회로)로 식은 

\(V_{i}=h_{11}I_{i}+h_{12}V_{o}\)이고

\(h_{11}\)은 입력저항으로 \(h_{o}\)로 나타내고, 

\(h_{12}\)는 역방향 전압 전달비로 \(h_{r}\)로 나타낸다. 

이 회로는 하이브리드 출력 등가회로(노턴 등가회로)로 식은

\(I_{o}=h_{21}I_{i}+h_{22}V_{o}\)이고

\(h_{21}\)은 순방향 전류 전달비로 \(h_{f}\)로 나타내고

\(h_{22}\)는 출력컨덕턴스로 \(h_{o}\)로 나타낸다.

\(h_{o}\)가 저항이 아닌 컨덕턴스라는 점에 주의해야 한다.

위의 회로는 앞에서 다룬 하이브리드 입력, 출력 등가회로를 합쳐서 나타낸 완전한 하이브리드 등가회로다. 이 회로에서 주의할 점은 \(V_{o}\)가 \(h_{o}\)양단의 전압이고, \(I_{i}\)가 \(h_{i}\)에 흐르는 전류라는 점이다. 이 회로를 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}V_{i}&=h_{i}I_{i}+h_{r}V_{o}\\I_{o}&=h_{f}I_{i}+h_{o}V_{o}\end{align*}$$다음은 CE(공통 이미터), CB(공통 베이스)구조의 완전한 하이브리드 등가회로를 나타낸 것이다.

CE(공통이미터) 구조로 왼쪽은 원래의 회로, 오른쪽은 하이브리드 등가회로다. 

CB(공통베이스) 구조로 왼쪽은 원래의 회로, 오른쪽은 하이브리드 등가회로다.

위의 CE, CB구조에서 \(h_{r}\)과 \(h_{o}\)를 통상적으로 무시한다. 즉 \(h_{r}\simeq0\,(h_{r}V_{o}=0)\)(피드백 성분이 단락), \(\displaystyle h_{o}\simeq0\,\left(\frac{1}{h_{o}}\simeq\infty\right)\)(\(h_{o}\)가 개방)

이 위의 회로는 \(h_{r}\)과 \(h_{o}\)를 무시했을 때의 근사 등가 모델로 \(r_{e}\)모델에서 출력저항 \(r_{o}\)를 무시했을때와 같다.

이 회로는 하이브리드 근사 등가모델과 \(r_{e}\)모델을 비교한 것이다. 맨 위의 회로는 CE(공통 이미트)구조이고 아래의 회로는 CB(공통 베이스)구조이다.

CE구조에서 \(\displaystyle h_{ie}=\beta r_{e}\,\left(r_{e}=\frac{h_{ie}}{h_{fe}}\right)\), \(h_{fe}=\beta\)이고 CB구조에서 \(h_{ie}=\beta r_{e}\), \(h_{fb}=-\alpha\simeq-1\)이다.

\(I_{E}=2.5\text{mA}\), \(h_{fe}=140\), \(h_{oe}=20\mu\text{S}\), \(h_{ob}=0.5\mu\text{S}\)일 때 \(\displaystyle r_{e}=\frac{26\text{mV}}{I_{E}}=\frac{26\text{mV}}{2.5\text{mA}}=10.4\Omega\)이고 \(h_{ie}=\beta r_{e}=(140)(10.4\Omega)=1.456\text{k}\Omega\), \(\displaystyle r_{o}=\frac{1}{h_{oe}}=\frac{1}{20\mu\text{S}}=50\text{k}\Omega\)(CE)

\(\alpha\simeq1\), \(\displaystyle r_{o}=\frac{1}{h_{ob}}=\frac{1}{0.5\mu\text{S}}=2\text{M}\Omega\)이다.(CB)

(CE)

(CB)

여기서부터는 \(h_{r}=0\)인 경우를 다룰 것이다.

위의 왼쪽 회로는 CE(공통 이미터) 근사 하이브리드 등가회로이고 오른쪽 회로는 CB(공통 베이스) 근사 하이브리드 등가회로다. 이 두 회로 모두 \(r_{e}\)모델에서 출력저항 \(r_{o}\)를 고려한 것과 같다.

\(r_{e}\)모델 성분과 하이브리드 변수의 관계는 다음과 같다.

\(h_{ie}=\beta r_{e}\), \(h_{fe}=\beta\), \(\displaystyle h_{oe}=\frac{1}{r_{o}}\), \(h_{ib}=r_{e}\), \(h_{fb}=-\alpha\), \(\displaystyle h_{ob}=\frac{1}{r_{o}}\)

이 위의 회로는 고정 바이어스 회로고 오른쪽은 왼쪽 회로의 근사 하이브리드 등가회로이며 출력저항 \(\displaystyle\frac{1}{h_{oe}}\)가 고려되었다.

\(Z_{i}=R_{B}||h_{ie}\)이고 \(Z_{o}\)를 구하기 위해 \(V_{i}=0\)이라 하자. 그러면 \(I_{b}=0\)이 되어 \(h_{fe}I_{b}=0\)이 되고 따라서 \(\displaystyle Z_{o}=\frac{1}{h_{oe}}||R_{C}\)이다.

\(V_{i}=I_{b}h_{ie}\), \(\displaystyle V_{o}=-h_{fe}I_{b}\left(\frac{1}{h_{oe}}||R_{C}\right)\)이므로 \(\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{-h_{fe}I_{b}\left(\frac{1}{h_{oe}}||R_{C}\right)}{I_{b}h_{fe}}=-\frac{h_{fe}}{h_{ie}}\left(\frac{1}{h_{oe}}||R_{C}\right)\)이다.

\(\displaystyle I_{o}=\frac{1/h_{oe}}{1/h_{oe}+R_{C}}h_{fe}I_{b}=\frac{h_{fe}}{1+h_{oe}R_{C}}I_{b}\), \(\displaystyle I_{b}=\frac{R_{B}}{R_{B}+h_{ie}}I_{i}\)이므로 \(\displaystyle A_{i}=\frac{I_{o}}{I_{i}}=\frac{I_{o}}{I_{b}}\frac{I_{b}}{I_{i}}=\frac{h_{fe}}{1+h_{oe}R_{C}}\frac{R_{B}}{R_{B}+h_{ie}}\)이다.

위의 회로는 전압분배기 회로다. 이 회로에서 \(r_{e}\)모델을 이용해서 구한 \(Z_{i}\), \(Z_{o}\), \(A_{v}\), \(A_{i}\)는 \(Z_{i}=R_{1}||R_{2}||\beta r_{e}\), \(Z_{o}=R_{C}\), \(\displaystyle A_{v}=-\frac{R_{C}}{r_{e}}\), \(\displaystyle A_{i}=\frac{\beta(R_{1}||R_{2})}{R_{1}||R_{2}+\beta r_{e}}\)이고 이를 근사 하이브리드 모델의 파라미터로 나타내면 \(Z_{i}=R_{1}||R_{2}||h_{ie}\), \(Z_{o}=R_{C}\), \(\displaystyle A_{v}=-\frac{h_{fe}R_{C}}{h_{ie}}\), \(\displaystyle A_{i}=\frac{h_{fe}(R_{1}||R_{2})}{R_{1}||R_{2}+\beta r_{e}}\)이다.

아래의 회로에서 왼쪽은 바이패스가 없는 이미터 바이어스 회로, 오른쪽은 이미터 팔로워 회로다.

\(Z_{i}=R_{B}||Z_{b}\,(Z_{b}\simeq h_{fe}R_{E})\) \(Z_{o}=R_{C}\) \(\displaystyle A_{v}=-\frac{h_{fe}R_{C}}{Z_{b}}\simeq-\frac{h_{fe}R_{C}}{h_{fe}R_{E}}=-\frac{R_{C}}{R_{E}}\) \(\displaystyle A_{i}=-\frac{h_{fe}R_{B}}{R_{B}+Z_{b}}=-A_{v}\frac{Z_{i}}{R_{C}}\)	\(Z_{i}=R_{B}||Z_{b}\,(Z_{b}\simeq h_{fe}R_{E})\) \(\displaystyle Z_{o}=R_{E}||\frac{h_{ie}}{1+h_{fe}}\simeq R_{E}||\frac{h_{ie}}{h_{fe}}\) \(\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}\simeq\frac{R_{E}}{R_{E}+\frac{h_{ie}}{h_{fe}}}\) \(\displaystyle A_{i}=\frac{h_{fe}R_{B}}{R_{B}+Z_{b}}=-A_{v}\frac{Z_{i}}{R_{E}}\)

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson