7. 컬렉터 피드백 회로, 컬렉터 직류 피드백 회로

7. 컬렉터 피드백 회로, 컬렉터 직류 피드백 회로

◆컬렉터 피드백 회로

컬렉터 피드백 회로는 시스템의 안정도를 개선하기 위해 컬렉터에서 베이스로 피드백 경로를 형성한 것이다.

위의 왼쪽 회로는 컬렉터 피드핵 회로고 오른쪽 회로는 왼쪽 회로의 교류해석을 위해 대체된 등가회로다. 위의 오른쪽 회로에서 $I'=I_{1}$라고 하자.

$I_{o}=\beta I_{b}+I_{1}$, $\displaystyle I_{1}=\frac{V_{o}-V_{i}}{R_{F}}$, $\displaystyle I_{b}=\frac{V_{i}}{\beta r_{e}}$이고 $$\begin{align*}V_{o}&=-I_{o}R_{C}=-\left(\beta\frac{V_{i}}{\beta r_{e}}+\frac{V_{o}-V_{i}}{R_{F}}\right)R_{C}\\&=-\left(\frac{1}{r_{e}}-\frac{1}{R_{F}}\right)V_{i}R_{C}-\frac{V_{o}}{R_{F}}R_{C}\end{align*}$$ 이므로 $\displaystyle V_{o}\left(1+\frac{R_{C}}{R_{F}}\right)R_{C}V_{i}$이고 전압이득은 $\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=-\frac{\frac{1}{r_{e}}-\frac{1}{R_{F}}}{1+\frac{R_{C}}{R_{F}}}R_{C}$이다. $R_{F}\gg R_{C}$인 경우, $\displaystyle A_{v}=-\frac{R_{C}}{r_{e}}$.

$I_{b}=I_{i}+I_{1}$, $I_{1}=I_{o}-\beta I_{b}$이므로 $I_{b}=I_{i}+(I_{o}-\beta I_{b})$이고 $\displaystyle I_{b}=\frac{I_{i}+I_{o}}{1+\beta}$이다. $V_{o}=V_{R_{F}}+V_{i}=I_{1}R_{F}+I_{b}\beta r_{e}$에서 $$\begin{align*}-I_{o}R_{C}&=(I_{b}-I_{i})R_{F}+I_{b}\beta r_{e}=-I_{i}R_{F}+I_{b}(R_{F}+\beta r_{e})\\&=-I_{i}R_{F}+\frac{I_{i}+I_{o}}{1+\beta}(R_{F}+\beta r_{e})\end{align*}$$ 이므로 $\displaystyle I_{i}\left(R_{F}-\frac{R_{F}+\beta r_{e}}{1+\beta}\right)=I_{o}\left(R_{C}+\frac{R_{F}+\beta r_{e}}{1+\beta}\right)$이고 전류이득은 $\displaystyle A_{i}=\frac{I_{o}}{I_{i}}=\frac{R_{F}-\frac{R_{F}+\beta r_{e}}{1+\beta}}{R_{C}+\frac{R_{F}+\beta r_{e}}{1+\beta}}=\frac{\beta R_{F}-\beta r_{e}}{(1+\beta)R_{C}+R_{F}+\beta r_{e}}$이다. $R_{F}\gg\beta r_{e}$인 경우는 $\displaystyle A_{i}=\frac{\beta R_{F}}{\beta R_{C}+R_{F}}$.

$\displaystyle I_{b}=I_{i}+I_{1}=I_{i}=I_{i}+\frac{V_{o}-V_{i}}{R_{F}}$이므로 $\displaystyle V_{i}=I_{b}\beta r_{e}=\left(I_{i}+\frac{V_{o}-V_{i}}{R_{F}}\right)\beta r_{e}=I_{i}\beta r_{e}+\frac{(A_{v}-1)V_{i}}{R_{F}}\beta r_{e}$이고 입력 임피던스는 $\displaystyle Z_{i}=\frac{V_{i}}{I_{i}}=\frac{\beta r_{e}}{1-\frac{(A_{v}-1)\beta r_{e}}{R_{F}}}=(\beta r_{e})||\left(-\frac{R_{F}}{A_{v}-1}\right)=(\beta r_{e})||\frac{R_{F}}{|A_{v}-1|}$이다. ($A_{v}<0$)

마지막으로 $V_{i}=0$이라 하면 $V_{i}=I_{b}\beta r_{e}=0$이므로 $I_{b}=0$이고 따라서 출력 임피던스는 $Z_{o}=R_{C}||R_{F}$이다.(아래의 회로를 참고)

     ($Z_{o}$를 구하기 위한 회로)

다음의 회로는 컬렉터 피드백 회로에서 이미터 부분에 저항이 연결된 경우를 나타낸 회로다. 아래의 오른쪽 회로에서 $I'=I_{1}$이라고 하자.

$\displaystyle I_{o}=\beta I_{b}+I_{1}=\beta I_{b}+\frac{V_{o}-V_{i}}{R_{F}}$이므로 $V_{i}=I_{b}\beta r_{e}+(1+\beta)I_{b}R_{E}=[\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}]I_{b}$이고 $\displaystyle I_{b}=\frac{V_{i}}{\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}}$이다. $$\begin{align*}V_{o}&=-I_{o}R_{C}=-\left(\beta\frac{V_{i}}{\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}}+\frac{V_{o}-V_{i}}{R_{F}}\right)R_{C}\\&=-\left(\frac{\beta}{\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}}-\frac{1}{R_{F}}\right)V_{i}R_{C}\end{align*}$$ 이므로 $\displaystyle V_{o}\left(1+\frac{R_{C}}{R_{F}}\right)=-\left(\frac{\beta}{\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}}-\frac{1}{R_{F}}\right)R_{C}V_{i}$이고 따라서 전압이득은 $\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=-\frac{\frac{\beta}{\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}}-\frac{1}{R_{F}}}{1+\frac{R_{C}}{R_{F}}}R_{C}$이고 $R_{F}\gg R_{C}$인 경우에는 $\displaystyle A_{v}\approx-\frac{\beta R_{C}}{\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}}\approx-\frac{R_{C}}{R_{E}}$.

$I_{b}=I_{i}+I_{1}$, $I_{1}=I_{o}-\beta I_{b}$이므로 $I_{b}=I_{i}+(I_{o}-\beta I_{b})$이고 $\displaystyle I_{b}=\frac{I_{o}+I_{i}}{1+\beta}$이다. $V_{o}=V_{R_{F}}+V_{i}=I_{1}R_{F}+V_{i}$에서 $$\begin{align*}-I_{o}R_{C}&=(I_{b}-I_{i})R_{F}+I_{b}\beta r_{e}+(1+\beta)I_{b}R_{E}\\&=-I_{i}R_{F}+I_{b}[R_{F}+\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}]\\&=-I_{i}R_{F}+\frac{I_{i}+I_{o}}{1+\beta}[R_{F}+\beta r_{e}+(1+\beta)R_{e}]\end{align*}$$ 이므로 $\displaystyle I_{i}\left[R_{F}-\frac{R_{F}+\beta r_{e}+(1+\beta)R_{e}}{1+\beta}\right]=I_{o}\left[R_{C}+\frac{R_{F}+\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}}{1+\beta}\right]$이고 따라서 전류이득은 $$\begin{align*}A_{i}&=\frac{I_{o}}{I_{i}}=\frac{R_{F}-\frac{R_{F}+\beta r_{e}}{1+\beta}-R_{E}}{R_{C}+\frac{R_{F}+\beta r_{e}}{1+\beta}+R_{E}}\\&=\frac{\beta R_{F}-\beta r_{e}-(1+\beta)R_{E}}{(1+\beta)R_{C}+R_{F}+\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}}\end{align*}$$ 이다. $R_{F}\gg R_{E},\,r_{e}$인 경우, $\displaystyle A_{i}\approx\frac{\beta R_{F}}{R_{F}+\beta(R_{C}+R_{E})}$.

$\displaystyle I_{b}=I_{i}+I_{1}=I_{i}+\frac{V_{o}-V_{i}}{R_{F}}$이므로 $$\begin{align*}V_{i}&=I_{b}\beta r_{e}+(1+\beta)I_{b}R_{E}=I_{b}[\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}]\\&=\left(I_{i}+\frac{V_{o}-V_{i}}{R_{F}}\right)[\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}]+\frac{(A_{v}-1)V_{i}}{R_{F}}[\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}]\end{align*}$$ 이고 따라서 입력 임피던스는 $$\begin{align*}Z_{i}&=\frac{V_{i}}{I_{i}}=\frac{\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}}{1-\frac{(A_{v}-1)V_{i}[\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}]}{R_{F}}}\\&=[\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}]||\left(-\frac{R_{F}}{A_{v}-1}\right)\\&=[\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}]||\frac{R_{F}}{|A_{v}|+1}\end{align*}$$ 이다.($A_{v}<0$) 마지막으로 $V_{i}=0$이라 하면 $V_{i}=I_{b}\beta r_{e}=0$이므로 $I_{b}=0$이고 따라서 출력 임피던스는 $Z_{o}=R_{C}||R_{F}$이다.

◆컬렉터 직류 피드백 회로

위의 왼쪽 회로는 컬렉터 직류회로이고 오른쪽 회로는 왼쪽 회로의 교류해석을 위한 회로이다. 이 회로에서 입력 임피던스 $Z_{i}=R_{F_{1}}||\beta r_{e}$, 출력 임피던스 $Z_{o}=R_{C}||r_{o}||R_{F_{2}}$($V_{i}=0$으로 놓고 구한다), 전압이득 $\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{-\beta I_{b}(R_{C}||r_{o}||R_{F_{2}})}{I_{b}\beta r_{e}}=-\frac{R_{C}||r_{o}||R_{F_{2}}}{r_{e}}$이다. 마지막으로 전류이득을 구하면 $\displaystyle I_{o}=\frac{r_{o}||R_{F_{2}}}{R_{C}+r_{o}||R_{F_{2}}}$, $\displaystyle I_{b}=\frac{R_{F_{1}}}{R_{F_{1}}+\beta r_{e}}I_{i}$이므로 $\displaystyle A_{i}=\frac{I_{o}}{I_{i}}=\frac{I_{o}}{I_{b}}\frac{I_{b}}{I_{i}}=\frac{\beta(r_{o}||R_{F_{2}})R_{F_{1}}}{(R_{C}+(r_{o}||R_{F_{2}}))(R_{F_{1}}+\beta r_{e})}$이다.  

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson