5. 이미터 팔로워 회로

5. 이미터 팔로워 회로

아래의 회로는 이미터 단자를 출력으로 하고 입력신호 \(V_{i}\)와 출력신호 \(V_{o}\)의 위상이 같은 이미터 팔로워 회로다.   

왼쪽 회로는 원래의 이미터 팔로워 회로이고 오른쪽의 회로는 왼쪽 회로의 BJT부분을 \(r_{e}\)모델로 교체한 회로다.

\(V_{i}=I_{b}\beta r_{e}+(I_{b}+\beta I_{b})R_{E}=[\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}]I_{b}\), \(\displaystyle Z_{b}=\frac{V_{i}}{I_{b}}=\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}\)이므로 \(Z_{i}=R_{B}||Z_{b}\)이다.

위의 회로는 \(Z_{o}\)를 구하기 위해 \(V_{i}=0\)으로 설정하고 출력단자에 전압이 \(V_{x}\)인 독립전압원을 연결한 회로다. \(V_{x}=-I_{b}\beta r_{e}\)에서 \(\displaystyle I_{b}=-\frac{V_{x}}{\beta r_{e}}\)이고$$\begin{align*}V_{x}&=(I_{b}+\beta I_{b}+I_{x})R_{E}=(1+\beta)I_{b}R_{E}+I_{x}R_{E}\\&=(1+\beta)\left(-\frac{V_{x}}{\beta r_{e}}\right)R_{E}+I_{x}R_{E}\end{align*}$$에서 \(\displaystyle V_{x}\left[1+\frac{(1+\beta)}{\beta r_{e}}R_{E}\right]=I_{x}R_{E}\)이고 \(\displaystyle Z_{o}=\frac{V_{x}}{I_{x}}=\frac{R_{E}}{1+\frac{1+\beta}{\beta r_{e}}R_{E}}=R_{E}||\frac{\beta r_{e}}{1+\beta}\)이다. \(\beta\gg1\)(\(\beta\)가 충분히 크면)일 때 \(Z_{o}=R_{E}||r_{e}\)이고 \(\beta\gg1\)이고 \(R_{E}\gg r_{e}\)(\(R_{E}\)가 \(r_{e}\)보다 충분히 크면)일 때 \(Z_{o}=r_{o}\)이다.

(베이스 저항 \(\beta r_{e}\)를 이미터에서 보면 \(\displaystyle\frac{\beta r_{e}}{1+\beta}\)가 되어 \(\displaystyle Z_{o}=R_{E}||\frac{\beta r_{e}}{1+\beta}\))

다시 원래의 회로로 돌아와서 전압이득 \(A_{v}\)와 전류이득 \(A_{i}\)를 구하자. \(V_{i}=I_{b}\beta r_{e}+(1+\beta)I_{b}R_{E}\) , \(V_{o}=(1+\beta)I_{b}R_{E}\)이므로 \(\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{(1+\beta)R_{E}}{\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}}\)이고 \(R_{E}\gg r_{e}\)(\(R_{E}\)가 \(r_{e}\)보다 충분히 크면)인 경우에는 \(A_{v}\approx1\)이다.

마지막으로 전류이득을 구하자. \(I_{o}=-(1+\beta)I_{b}\), \(\displaystyle I_{b}=\frac{R_{B}}{Z_{b}+R_{B}}I_{i}\)이므로 \(\displaystyle A_{v}=\frac{I_{o}}{I_{i}}=\frac{I_{o}}{I_{b}}\frac{I_{b}}{I_{i}}=-\frac{(1+\beta)R_{B}}{R_{B}+Z_{b}}\)이다.

위의 이미터 팔로워 회로는 출력저항 \(r_{o}\)를 고려하지 않은 회로다. 이제 그 출력저항을 고려해서 해석하겠다.

위의 회로는 이미터 팔로워 등가회로에서 출력저항 \(r_{o}\)를 고려한 회로다. \(-I_{o}R_{E}=(\beta I_{b}+I_{b}+I_{o})r_{e}\)에서 \(\displaystyle I_{o}=-\frac{(1+\beta)r_{e}}{r_{o}+R_{E}}I_{b}\)이고 \(\displaystyle V_{i}=I_{b}\beta r_{e}-I_{o}R_{E}=I_{b}\left[\beta r_{e}+R_{E}\frac{(1+\beta)r_{o}}{r_{o}+R_{E}}\right]\)이므로 \(\displaystyle Z_{b}=\frac{V_{i}}{I_{b}}=\beta r_{e}+\frac{(1+\beta)r_{o}R_{E}}{r_{o}+R_{E}}=\beta r_{e}+(1+\beta)(r_{o}||R_{E})\)이고 \(Z_{i}=R_{B}||Z_{b}\)이다.

\(Z_{o}\)를 구하기 위해 원래의 회로에서 \(V_{i}=0\)으로 놓고 출력단자에 전압이 \(V_{x}\)인 독립전압원을 연결한 회로다. 위의 회로에서 

\(V_{x}=(-I_{b})\beta r_{e}\)이므로 \(\displaystyle I_{b}=-\frac{V_{x}}{\beta r_{e}}\)이고 \(\displaystyle I_{x}=-I_{b}+\frac{V_{x}}{R_{E}}-\beta I_{b}+\frac{V_{x}}{r_{o}}=\left[\frac{1+\beta}{\beta r_{e}}+\frac{1}{R_{E}}+\frac{1}{r_{o}}\right]V_{x}\)이므로 \(\displaystyle Z_{o}=\frac{V_{x}}{I_{x}}=\frac{\beta r_{e}}{1+\beta}||r_{o}||R_{E}\)이다.

다시 원래의 회로로 돌아와서 전압이득 \(A_{v}\)와 전류이득 \(A_{i}\)를 구하자. \(\displaystyle V_{i}=I_{b}\left[\beta r_{e}+R_{E}\frac{(1+\beta)r_{o}}{r_{o}+R_{E}}\right]\), \(V_{o}=-I_{o}R_{E}\), \(\displaystyle I_{o}=-\frac{(1+\beta)r_{o}}{r_{o}+R_{E}}I_{b}\)이므로$$\begin{align*}A_{v}&=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{V_{o}}{I_{o}}\frac{I_{o}}{I_{b}}\frac{I_{b}}{V_{i}}=(-R_{E})\left[-\frac{(1+\beta)r_{o}}{r_{o}+R_{E}}\right]\frac{1}{\beta r_{e}+R_{E}\frac{(1+\beta)r_{o}}{r_{o}+R_{E}}}\\&=\frac{(1+\beta)(r_{o}||R_{E})}{Z_{b}}\end{align*}$$이다.(참고: \(\displaystyle Z_{b}=\beta r_{e}+\frac{(1+\beta)r_{o}R_{E}}{r_{o}+R_{E}}\))    

마지막으로 전류이득을 구하자. \(\displaystyle I_{b}=\frac{R_{B}}{R_{B}+Z_{b}}I_{i}\), \(\displaystyle I_{o}=-\frac{(1+\beta)r_{o}}{r_{o}+R_{E}}I_{b}\)이므로 \(\displaystyle A_{i}=\frac{I_{o}}{I_{i}}=\frac{I_{o}}{I_{b}}\frac{I_{b}}{I_{o}}=-\frac{R_{B}}{R_{B}+Z_{b}}\frac{(1+\beta)r_{o}}{r_{o}+R_{E}}\)이다.

위의 왼쪽 회로는 이미터 팔로워 회로의 컬렉터에 저항 \(R_{C}\)가 연결된 회로이고 오른쪽 회로는 왼쪽 회로의 교류해석을 위해 BJT를 \(r_{e}\)모델로 대체한 등가회로다.   

위의 오른쪽 회로에서 \(-I_{o}R_{E}=(I_{b}+\beta I_{b}+I_{o})r_{o}+(I_{b}+I_{o})R_{C}\)이므로 \(-(R_{E}+R_{C}+r_{o})I_{o}=[(1+\beta)r_{o}+R_{C}]I_{b}\)이고 \(\displaystyle I_{o}=-\frac{(1+\beta)r_{o}+R_{C}}{R_{E}+R_{C}+r_{o}}I_{b}\)이다. 또한 \(\displaystyle V_{i}=I_{b}\beta r_{e}-I_{o}R_{E}=\left[\beta r_{e}+\frac{(1+\beta)r_{o}+R_{C}}{R_{E}+R_{C}+r_{o}}R_{E}\right]I_{b}\)이므로 \(\displaystyle Z_{b}=\frac{V_{i}}{I_{i}}=\beta r_{e}+R_{E}\frac{(1+\beta)r_{o}+R_{C}}{r_{o}+R_{C}+R_{E}}\)이고 \(Z_{i}=R'||Z_{b}\)이다(\(R'=R_{1}||R_{2}\)).

위의 회로는 \(Z_{o}\)를 구하기 위해 \(V_{i}=0\)으로 놓고 출력단자에 전압이 \(V_{x}\)인 독립전압원을 연결한 회로다. \(V_{x}=-I_{b}\beta r_{e}\)이므로 \(\displaystyle I_{b}=-\frac{V_{x}}{\beta r_{e}}\)이고 \(\displaystyle-I_{b}+\frac{V_{x}}{R_{E}}-I_{x}=-\frac{V_{x}-\beta I_{b}r_{o}}{r_{o}+R_{C}}\)이므로(\(\beta I_{b}\)의 값을 갖는 종속전류원과 \(r_{o}\)저항을 전원변환함) \(\displaystyle V_{x}\left(\frac{1}{\beta r_{e}}+\frac{1}{R_{E}}\right)-I_{x}=-\frac{1}{r_{o}+R_{C}}V_{x}-\frac{r_{o}}{r_{e}(r_{o}+R_{C})}V_{x}\)이고 \(\displaystyle I_{x}=\left[\frac{1}{\beta r_{e}}+\frac{1}{R_{E}}+\frac{r_{e}+r_{o}}{r_{e}(r_{o}+R_{C})}\right]V_{x}\)이므로 따라서 \(\displaystyle Z_{o}=\frac{1}{\frac{1}{\beta r_{e}}+\frac{1}{R_{E}}+\frac{r_{e}+r_{o}}{r_{e}(r_{o}+R_{C})}}\)이다.

다시 원래의 회로로 돌아가서 전압이득 \(A_{v}\)와 전류이득 \(A_{i}\)를 구하자. \(\displaystyle V_{o}=-I_{o}R_{E}=\frac{(1+\beta)r_{o}+R_{C}}{R_{E}+R_{C}+r_{o}}R_{E}I_{b}\)이고 \(V_{i}=\beta r_{e}I_{b}+R_{E}(1+\beta)I_{b}=[\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}]I_{b}\)이므로 \(\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{[(1+\beta)r_{o}+R_{C}]R_{E}}{[\beta r_{e}+(1+\beta)R_{E}](R_{E}+R_{C}+r_{o})}\)이다.

마지막으로 전류이득 \(A_{i}\)를 구하자. \(\displaystyle I_{o}=-\frac{(1+\beta)r_{o}+R_{C}}{R_{E}+R_{C}+r_{o}}I_{b}\), \(\displaystyle I_{b}=\frac{R'}{R'+Z_{b}}I_{i}\)이므로 \(\displaystyle A_{i}=\frac{I_{o}}{I_{i}}=\frac{I_{o}}{I_{b}}\frac{I_{b}}{I_{i}}=-\frac{[(1+\beta)r_{o}+R_{C}]R'}{(r_{o}+R_{C}+R_{E})(R'+Z_{b})}\)이다.  

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson