2. re 트랜지스터(공통 베이스, 공통 이미터) 모델과 하이브리드-파이 모델

2. re 트랜지스터(공통 베이스, 공통 이미터) 모델과 하이브리드-파이 모델

◆공통 이미터(Common Emitter, CE) 회로

위의 그림은 맨 왼쪽의 (npn형) BJT에서 입력단 부분(be)을 다이오드, 컬렉터 부분(ce)을 종속전류원을 이용한 등가회로로 나타낸 것이다. 여기서 다이오드는 항상 on상태가 유지된다.

위의 그래프에서 왼쪽과 중간은 각각 \(V_{CE}\)의 다양한 값, \(V_{CE}\)의 평균값에 대한 입력특성곡선을 나타낸 것이고 오른쪽은 \(\beta\)값에 따른 출력특성곡선을 나타낸 것이다. 입력 부분(be)의 등가회로는 맨 위의 (2)의 회로에서 전류 \(I_{e}\)가 흐르는 단일 다이오드와 같고, 오른쪽 그래프에 있는 출력특성곡선은 식 \(I_{c}=\beta I_{b}\)으로부터 그려지는 그래프이고 이상적인 경우를 나타낸 것이다. 

다이오드가 포함되는 등가회로 (2)는 입력과 출력회로 사이의 직접연결문제로 인해 해석을 하기가 복잡하다. 그래서 다이오드가 항상 on상태이기 때문에 다이오드 저항을 이용하여 (3)으로 나타낼 수 있다. 다이오드는 다이오드 저항 \(\displaystyle r_{e}=\frac{26\text{mV}}{I_{E}}\)(\(26\text{mV}\)는 열전압, 첨자 \(e\)는 이미터의 첫 스펠링 e에서 딴 것이다, \(I_{E}\)는 직류 이미터 전류)으로 대치한다. 이는 이미터 전류가 다이오드 저항 \(r_{e}\)에 의해 결정됨을 뜻한다. 

(3)의 회로에서 입력전압 \(V_{i}\)를 구하면$$V_{i}=V_{be}=I_{e}r_{e}=(I_{b}+I_{c})r_{e}=(I_{b}+\beta I_{b})r_{e}=(1+\beta)I_{b}r_{e}$$이고 \(Z_{i}\)를 구하면 테브난 등가 임피던스를 구하는 방법으로부터$$Z_{i}=\frac{V_{i}}{I_{i}}=\frac{(1+\beta)I_{b}r_{e}}{I_{b}}=(1+\beta)r_{e}\approx\beta r_{e}$$이고 \(Z_{i}\neq r_{e}\)라는 점에 유의한다. 보통 \(\beta\)의 값이 크기 때문에 \(1\)을 생략하여 \(Z_{i}=\beta r_{e}\)로 나타낸다.

위 (4)의 회로는 앞에서 구한 입력저항과 출력전류를 고려한 BJT 등가회로다. 출력저항이 없는 이유는 이상적인 출력특성곡선(\(V_{CE}-I_{c}\)그래프)의 기울기가 \(0\)이기 때문이다. 그러나 실제 출력특성곡선은 다음과 같다.

위의 곡선은 실제의 출력특성곡선이고 \(\displaystyle i_{C}=I_{S}e^{\frac{V_{BE}}{V_{T}}}\left(1+\frac{v_{CE}}{V_{A}}\right)\)(\(V_{T}=26\text{mV}\))으로 주어진다. 기울기가 있기 때문에 출력저항 \(\displaystyle r_{o}=\frac{V_{A}+V_{CE_{Q}}}{I_{C_{Q}}}\approx\frac{V_{A}}{I_{C_{Q}}}\)(보통 \(50\text{k}\Omega\))를 고려해야 한다(출력저항을 \(\displaystyle\frac{1}{r_{o}}=\frac{\partial i_{C}}{\partial v_{CE}}|_{Q-\text{point}}=\frac{1}{V_{A}}I_{S}e^{\frac{V_{BE}}{V_{T}}}=\frac{I_{C_{Q}}}{V_{A}}\)를 이용하여 구할 수 있다). 여기서 \(V_{A}\)를 Early전압이라고 한다. 위 곡선에서이고 \(V_{CE}\)가 증가하면 \(J_{C}\)(pn접합부분)의 공핍영역이 늘어나고, 또한 유효 베이스 폭이 줄어들어 베이스 영역에서의 농도의 기울기가 증가한다. 그렇게 되면 확산전류가 증가하고 \(I_{C}\)도 증가한다. 

이 위의 회로는 (4)의 회로에서 출력저항 \(r_{o}\)를 추가한 실제 BJT등가회로이다. 이 등가회로를 정리하자면 다음과 같다.$$Z_{i}=(1+\beta)r_{e}\approx\beta r_{e},\,I_{c}=\beta I_{b},\,Z_{o}=r_{o}$$◆공통 이미터(CE) \(r_{e}\)모델과 하이브리드-\(\pi\)모델의 비교

 왼쪽 회로는 공통 이미터 \(r_{e}\)등가회로이고 오른쪽 회로는 하이브리드-\(\pi\)모델이다. 하이브리드-\(\pi\)모델에서 \(r_{\pi}=(1+\beta)r_{e}\approx\beta r_{e}\)이고 \(\displaystyle i_{C}=I_{S}e^{\frac{v_{BE}}{V_{T}}}\)인데 \(i_{C}=\beta i_{B}\)이므로$$\frac{1}{r_{\pi}}=\frac{\partial i_{B}}{\partial v_{BE}}|_{Q-\text{point}}=\frac{\partial}{\partial v_{BE}}\left(\frac{1}{\beta}I_{S}e^{\frac{v_{BE}}{V_{T}}}\right)=\frac{1}{V_{T}}\frac{1}{\beta}I_{S}e^{\frac{v_{BE}}{V_{T}}}=\frac{I_{BQ}}{V_{T}}$$이고 \(\displaystyle r_{\pi}=\frac{V_{T}}{I_{BQ}}=\frac{26\text{mV}}{I_{BQ}}\)이다.(참고: \(\displaystyle r_{e}=\frac{V_{T}}{I_{E}}=\frac{V_{T}}{(1+\beta)I_{B}}\approx\frac{V_{T}}{\beta I_{B}}\)이므로 \(\displaystyle r_{\pi}=\beta r_{e}=\beta\frac{V_{T}}{\beta I_{B}}=\frac{V_{T}}{I_{B}}\))

\(\displaystyle g_{m}=\frac{\partial i_{C}}{\partial v_{BE}}|_{Q-\text{point}}=\frac{1}{V_{T}}I_{S}e^{\frac{v_{BE}}{V_{T}}}=\frac{I_{CQ}}{V_{T}}\)의 단위는 컨덕턴스이고 이때 \(\displaystyle g_{m}r_{\pi}=\frac{I_{C_{Q}}}{V_{T}}\frac{V_{T}}{I_{B_{Q}}}=\frac{I_{C_{Q}}}{I_{B_{Q}}}=\beta\), \(g_{m}v_{\pi}=g_{m}I_{b}r_{\pi}=g_{m}r_{\pi}I_{b}=\beta I_{b}\)이므로$$r_{e}=\frac{V_{T}}{I_{E_{Q}}}=\frac{V_{T}}{(1+\beta)I_{B_{Q}}}=\frac{r_{\pi}}{1+\beta}=\alpha\frac{V_{T}}{I_{C_{Q}}}=\frac{\alpha}{g_{m}}$$이고 \(\alpha=g_{m}r_{e}\), \(\beta=g_{m}r_{e}\), \(r_{\pi}=(1+\beta)r_{e}\)이다.(\(\displaystyle\alpha=\frac{\beta}{1+\beta},\,\beta=\frac{\alpha}{1-\alpha}\))

◆공통 베이스(Common Base: CB) 회로

이 회로의 BJT는 공통 베이스 회로로 pnp형 트랜지스터이다. 오른쪽 회로에서 이미터(E)와 베이스(B)사이의 다이오드는 항상 on이기 때문에 이를 저항으로 대치할 수 있고 그 저항값은 \(\displaystyle r_{e}=\frac{26\text{mV}}{I_{E}}\)이다.(다이오드의 교류저항은 \(\displaystyle r_{ac}=\frac{26\text{mV}}{I_{D}}\))

위 곡선은 공통 베이스 트랜지스터 증폭기의 출력을 나타낸 것이다. 곡선에는 기울기가 있고 그 기울기는 \(\displaystyle\frac{1}{r_{o}}\)이다. 그러면 공통 베이스 \(r_{e}\)등가회로는 다음과 같다.

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson