3. 공통 이미터 고정 바이어스 회로, 전압 분배기 바이어스

3. 공통 이미터 고정 바이어스 회로, 전압 분배기 바이어스

◆공통 이미터 고정 바이어스 회로

위에서 왼쪽의 회로는 공통 이미터 고정 바이어스 회로이다. 중간의 회로는 교류해석을 하기 위해 왼쪽 회로에서 직류성분인 \(V_{CC}\)를 제거하고 커패시터를 단락한 회로이다. 오른쪽의 회로는 교류해석을 위해 BJT를 \(r_{e}\)모델로 대치한 회로이다. 이 오른쪽 회로를 해석해서 \(Z_{i}\)(입력 임피던스), \(Z_{o}\)(출력 임피던스), \(A_{v}\)(전압이득), \(A_{i}\)(전류이득)를 구한다.

먼저 입력전압이 \(V_{i}=I_{i}(R_{B}||\beta r_{e})\)이므로 테브난 등가 임피던스를 구하는 과정으로부터 \(\displaystyle Z_{i}=\frac{V_{i}}{I_{i}}=\frac{I_{i}(R_{B}||\beta r_{e})}{I_{i}}=R_{B}||\beta r_{e}\)이다.

(\(R_{B}\gg\beta r_{e}\)인 경우, \(Z_{i}\approx\beta r_{e}\))

   

\(Z_{o}\)는 \(V_{i}=0\)으로 설정한 다음에 구한다. \(V_{i}=0\)이라 하면 \(I_{b}=0\)이 되어 \(\beta I_{b}=0\)이 되고 따라서 \(Z_{o}=r_{o}//R_{C}\)이다.(왼쪽그림 참고)

이제 전압이득을 구하자. 입력전압이 \(V_{i}=I_{b}\beta r_{e}\), 출력전압이 \(V_{o}=-I_{o}R_{C}=-\beta I_{b}(r_{o}||R_{C})\)이므로 전압이득은 \(\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{-\beta I_{b}(r_{o}||R_{C})}{I_{b}\beta r_{e}}=-\frac{r_{o}||R_{C}}{r_{e}}\)이다. 

마지막으로 전류이득을 구하자. 출력전류가 \(\displaystyle I_{o}=\frac{r_{o}}{r_{o}+R_{C}}\beta I_{b}\), \(\displaystyle I_{b}=\frac{R_{B}}{R_{B}+\beta r_{e}}I_{i}\)이므로 전류이득은 \(\displaystyle A_{i}=\frac{I_{o}}{I_{i}}=\frac{I_{o}}{I_{b}}\frac{I_{b}}{I_{i}}=\frac{r_{o}\beta}{r_{o}+R_{C}}\frac{R_{B}}{R_{B}+\beta r_{e}}\)이다.  

위의 그림은 전압의 입력에 대한 출력의 위상이 반대가 됨을 나타낸 것이다. 위상이 반대가 된 이유는 앞에서 구한 전압이득에 -부호가 붙었기 때문이다. 

위 회로에서 \(r_{e}\)를 구하기 위해서는 직류해석을 해서 \(I_{E}\)의 값을 구해야 한다. \(\displaystyle I_{B}=\frac{(12-0.7)\text{V}}{470\text{k}\Omega}=24.04\mu\text{A}\), \(I_{E}=I_{C}+I_{B}=(\beta+1)I_{B}=101\times(24.04\mu\text{A})=2.428\text{mA}\)이므로 \(\displaystyle r_{e}=\frac{26\text{mV}}{I_{E}}=\frac{26\text{mV}}{2.428\text{mA}}=10.71\Omega\)이다.

\(r_{e}\)를 구했기 때문에 이제 교류해석을 하면 된다.

(1: \(r_{o}=\infty\)일 때) \(\beta r_{e}=100\times(10.71\Omega)=1.071\text{k}\Omega\)이므로 \(Z_{i}=(470\text{k}\Omega||1.071\text{k}\Omega)=1.07\text{k}\Omega\), \(Z_{o}=3\text{k}\Omega\)이고 \(\displaystyle A_{v}=-\frac{3\text{k}\Omega}{10.71\Omega}=-280.11\)이다.

 

(2: \(r_{o}=50\text{k}\Omega\)일 때) \(\beta r_{e}=1.071\text{k}\Omega\)이므로 \(Z_{i}=(470\text{k}\Omega||1.071\text{k}\Omega)=1.07\text{k}\Omega\), \(Z_{o}=(50\text{k}\Omega||3\text{k}\Omega)=2.83\text{k}\Omega\)이고 \(\displaystyle A_{v}=-\frac{(50\text{k}\Omega||3\text{k}\Omega)}{10.71\Omega}=-264.24\)이다.  

◆전압 분배기 바이어스

위의 회로는 입력 쪽의 직류전압 \(V_{B}\)의 값을 결정하는 전압 분배기에서 유래한 전압 분배기 바이어스 회로이다.

이 회로는 전압 분배기 바이어스 회로의 교류해석을 위해 직류성분을 제거하고 BJT를 \(r_{e}\)모델로 대체한 회로다. \(\displaystyle R'=R_{1}||R_{2}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\)이고 \(V_{i}=I_{i}(R'||\beta r_{e})\)이므로 \(\displaystyle Z_{i}=\frac{V_{i}}{I_{i}}=R'||\beta r_{e}\)이고 \(Z_{o}\)를 구하기 위해 \(V_{i}=0\)이라 한다. 그러면 \(I_{b}=0\)이 되어 \(\beta I_{b}=0\)이 되므로 \(Z_{o}=r_{o}||R_{C}\)이다. 전압이득을 구하자. \(V_{i}=I_{b}\beta r_{e}\), \(V_{o}=-\beta I_{b}(r_{o}||R_{C})\)이므로 \(\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{i}}=-\frac{r_{o}||R_{C}}{r_{e}}\)이고 마지막으로 전류이득을 구하면 \(\displaystyle I_{o}=\frac{r_{o}}{r_{o}+R_{C}}\beta I_{b}\), \(\displaystyle I_{b}=\frac{R'}{R'+\beta r_{e}}I_{i}\)이므로$$\begin{align*}A_{i}&=\frac{I_{o}}{I_{i}}=\frac{I_{o}}{I_{b}}\frac{I_{b}}{I_{i}}=\frac{r_{o}\beta}{r_{o}+R_{C}}\frac{R'}{R'+\beta r_{e}}=\frac{r_{o}\beta}{r_{o}+R_{C}}\frac{R'}{R'+\beta r_{e}}\frac{R_{C}}{R_{C}}\frac{\beta r_{e}}{\beta r_{e}}\\&=\frac{r_{o}R_{C}}{r_{o}+R_{C}}\frac{R'\beta r_{e}}{R'+\beta r_{e}}\frac{1}{R_{C}}\frac{1}{r_{e}}\\&=\frac{r_{o}||R_{C}}{R_{C}}\frac{R'||\beta r_{e}}{r_{e}}=-A_{v}\frac{Z_{i}}{R_{C}}\end{align*}$$이다.   

\(r_{e}\)의 값을 구하기 위해서는 직류해석을 먼저 해야 한다. 그 전에 \((\beta+1)R_{E}>10R_{2}\)가 성립하는지 확인하자. \((\beta+1) R_{E}=91\times(1.5\text{k}\Omega)=136.5\text{k}\Omega\)이고 \(10R_{2}=10\times(8.2\text{k}\Omega)=82\text{k}\Omega\)이므로 \(\beta R_{E}>10R_{2}\)가 성립한다. 그러면 근사방법을 사용할 수 있고 \(\displaystyle V_{B}=\frac{8.2\text{k}\Omega}{(56+8.2)\text{k}\Omega}\times22\text{V}=2.81\text{V}\), \(V_{E}=V_{B}-V_{BE}=2.81-0.7=2.11\text{V}\)이므로 \(\displaystyle I_{E}=\frac{V_{E}}{R_{E}}=\frac{2.11\text{V}}{1.5\text{k}\Omega}=1.41\text{mA}\)이고 \(\displaystyle r_{e}=\frac{26\text{mV}}{I_{E}}=\frac{26\text{mV}}{1.41\text{mV}}=18.44\Omega\)이다. \(r_{e}\)를 구했기 때문에 교류해석만 하면 된다.

(1: \(r_{o}=\infty\)일 때) \(\displaystyle R'=(56\text{k}\Omega||8.2\text{k}\Omega)=\frac{56\times8.2}{56+8.2}=7.15\text{k}\Omega\), \(\beta r_{e}=90\times(18.44\Omega)=1.66\text{k}\Omega\)이므로 \(Z_{i}=(7.15\text{k}\Omega||1.66\text{k}\Omega)=1.35\text{k}\Omega\), \(Z_{o}=6.8\text{k}\Omega\)이고, \(\displaystyle A_{v}=-\frac{R_{C}}{r_{e}}=-\frac{6.8\text{k}\Omega}{18.44\Omega}=-368.76\)이다.

(2: \(r_{o}=50\text{k}\Omega\)일 때) \(R'=7.15\text{k}\Omega\), \(\beta r_{e}=1.66\text{k}\Omega\)이므로 \(Z_{i}=(7.15\text{k}\Omega||1.66\text{k}\Omega)=1.35\text{k}\Omega\), \(\displaystyle Z_{o}=(50\text{k}\Omega||6.8\text{k}\Omega)=\frac{50\times6.8}{50+6.8}=5.98\text{k}\Omega\)이고 \(\displaystyle A_{v}=-\frac{R_{C}||r_{o}}{r_{e}}=-\frac{5.98\text{k}\Omega}{18.44\Omega}=-324.3\)이다.

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson