[일반물리학] 6. 양자수의 물리적 해석

[일반물리학] 6. 양자수의 물리적 해석

궤도 양자수 \(\ell\)(The orbital quantum number \(\ell\)) 

전자가 반지름 \(r\)인 원운동을 할 때, 원의 중심에 대한 각운동량의 크기는 \(|\vec{L}|=L=m_{e}vr\)(\(\vec{L}\)의 방향은 원의 평면에 수직이다)이다. 고전역학에 의하면 \(L=|\vec{L}|\)은 어떤 값이라도 가질 수 있으나 보어의 수소원자모형에 의하면 \(L=n\hslash\)이다. 이는 수소의 바닥상태가 \(L=\hslash\)를 갖는다고 예측하기 때문에 수정해야 한다. \(L=0\)이라 하면 전자는 핵을 통과하여 직선을 따라 진동하는 입자여야 하는데 이는 물리적으로 불가능하다. 이 문제점은 원자의 양자역학모형으로 해결할 수 있다. 양자역학에 따르면 주양자수가 \(n\)인 원자는 궤도 각운동량은 다음과 같다.$$L=\sqrt{\ell(\ell+1)\hslash}\,(\ell=0,\,1,\,2,\,\cdots,\,n-1)$$이는 \(L=0\,(\ell=0)\)도 가능한 각운동량의 크기이다(전자구름은 구면대칭이어서 뚜렷이 내세울 회전축이 없다)

자기 궤도 양자수(The orbital magnetic quantum number \(m_{\ell}\))

각운동량은 벡터이기 때문에 방향이 언급되어야 한다. 전류고리는 자기모멘트 \(\vec{\mu}=I\vec{A}\)를 갖는다. 여기서 \(I\)는 고리에 흐르는 전류이고, \(\vec{A}\)는 벡터로서 고리에 수직방향이고 크기는 고리의 면적이다. 이 자기모멘트가 자기장 \(\vec{B}\)안쪽에 놓여있을 때, 자기장과 상호작용하고 이때의 퍼텐셜에너지는 \(U=-\vec{\mu}\cdot\vec{B}\)이다. 고전역학에서는 \(-\mu B\)와 \(\mu B\)사이의 어떤 에너지든 모두 허용되나 양자역학에서는 \(\vec{B}\)에 대해 \(\vec{\mu}\)는 허용된 불연속적인 방향을 갖는다. \(\vec{\mu}\)의 불연속적인 방향은 \(\vec{L}\)의 방향이 양자화된 것을 의미한다. \(\vec{L}\)의 \(z\)성분 \(L_{z}\)의 양자화는 불연속적인 값을 갖는 것이다.(각운동량은 두 벡터의 곱으로 나타내어진다는 점을 참고할 것)

궤도 자기 양자수 \(m_{\ell}\)은 \(L_{z}\)가 가질 수 있는 허용된 값을 \(L_{z}=m_{\ell}\hslash\)로 지정한다. 이는 슈뢰딩거 방정식과 경계 조건을 만족하는 해로부터 얻어진 것이다.

\(m_{\ell}\)은 \(-\ell\)부터 \(\ell\)까지의 값을 가진다. 그러면 \(\ell=0\)이면, \(m_{\ell}=0\)이고 \(L_{z}=0\)이다. \(\ell=2\)이면, \(m_{\ell}=-2,\,-1,\,0,\,1,\,2\)이고 \(L_{z}=-2\hslash,\,-\hslash,\,0,\,\hslash,\,2\hslash\)이다.

외부 자기장에 대한 \(\vec{L}\)의 가능한 방향의 양자화를 공간 양자화(square quantization)라고 한다. 

왼쪽 그림은 \(\ell=2\)인 경우의 공간 양자화를 벡터모형(vector model)으로 나타낸 것이다.

\(\vec{L}\)은 \(\vec{B}\)에 대하여 평행 또는 반평행으로 정렬할 수 없다. 그 이유는$$L_{z}=\ell\hslash\leq\sqrt{\ell(\ell+1)}\hslash=L$$이기 때문이다. 그러면 \(\vec{L}\)은 \(\vec{B}\)에 대해 수직이 되도록 허용하며 \(L_{z}=0\), \(\ell=0\)인 경우에 해당된다.

\(z\)축이 고정되어있더라도 \(\vec{L}\)은 특정한 한쪽 방향을 향할 수 없다. 그 이유는 \(\vec{L}\)을 정확히 알면 \(L_{x}\), \(L_{y}\), \(L_{z}\)를 알 수 있으나 그렇게 되면 불확정성 원리에 위배되기 때문이다.

\(L_{x}\), \(L_{y}\)가 정확히 확정되어있지 않아서 \(\vec{L}\)은 \(z\)축과 \(\theta\)의 각도를 이루는 원뿔의 표면 어디엔가에는 놓여 있어야 한다. 또한 \(\theta\)도 역시 양자화되며$$\cos\theta=\frac{L_{z}}{L}=\frac{m_{\ell}}{\sqrt{\ell(\ell+1)}}$$를 만족하는 값만 허용된다. 

원자가 자기장에 놓여있을때의 에너지는$$E=-\left(\frac{k_{e}e^{2}}{2a_{0}}\right)\frac{1}{n^{2}}-\vec{\mu}\cdot\vec{B}$$이다. \(\vec{\mu}\)의 방향이 양자화되어있기 때문에, 원자의 불연속적인 전체에너지는 \(m_{\ell}\)에 대하여 서로 다른 값을 가져야 한다.

  

위의 그림에서 \(\Delta f\)는 자기장에 의한 방출 진동수 이동을 나타내고, 위의 오른쪽 그림에서 \(\ell=1\)인 준위는 서로 다른 \(\vec{\mu}\)의 방향에 해당되는 세개의 준위로 나누어진다. 

자기장이 있을 때 \(\ell=1\)인 부껍질에서 \(\ell=0\)인 부껍질로 한개의 스펙트럼 선이 세개의 스펙트럼 선으로 나누어지는 현상이 발생한다. 이러한 현상을 제만 효과(Zeeman effect)라고 한다. 제만효과는 보어의 모형으로는 설명이 불가능하나 원자의 양자 모형으로는 설명가능하다. 

스핀 자기 양자수(The spin magnetic quantum number \(m_{s}\))

\(n\), \(\ell\), \(m_{\ell}\)은 슈뢰딩거 방정식의 해를 구할 때, 경계조건을 이용해서 얻었지만 전자스핀(electron spin)은 슈뢰딩거 방정식을 통해 얻은 것이 아니다. \(n=2\)일 때, 네가지 양자상태가 도출되지만 실제로는 여덟가지의 상태가 생긴다. 이 문제를 해결하기 위해 스핀 자기 양자수 \(m_{s}\)를 도입하게 되었다. 

나트륨(\(\text{Na}\))의 방출 스펙트럼을 분석한 결과 한개로 알려져 있던 선이 간격이 매우 가까운 이중선(doublet)으로 구성되어 있다(스핀에 대한 제만 효과이다). 

1925년에 처음으로 이중선이 발견되었고, 이것은 기존의 원자이론으로 설명이 불가능했다. 이를 해결하기 위해 호우트스미트(Samuel Goudsmit)와 윌렌베크(George Uhlenbeck)는 스핀 양자수를 제안했다.

전자 스핀은 오직 두 가지 방향만 존재한다. 자기장이 존재할 때, 전자의 에너지는 스핀의 두 방향에 따라 약간 다르게 되며 그 에너지 차이로 인해 나트륨의 이중선 현상이 발생한다.

  

1921년 슈테른(Otto Stern), 게를라흐(Walter Gerlach)는 공간 양자화를 증명하는 실험을 했다(왼쪽 그림). 실험결과 그 당시 존재하던 원자이론과 일치하지 않는다. 불균일한 자기장을 통과한 은 원자빔이 두 개 이상의 성분으로 분리되었다. 이 현상을 고전역학적으로 해석하면 \(\vec{\mu}\)는 어떻나 방향도 가능하기 때문에 빔의 편향각은 연속이라는 결론을 얻는다. 반면 양자역학적으로 해석하면 편향된 빔은 자연수 개수의 불연속적인 성분을 갖게 되고, 이러한 성분의 수가 \(\mu_{z}\)(\(\vec{\mu}\)의 \(z\)성분)의 가능한 값의 수를 결정한다. 양자역학적 해석의 결과로 적어도 공간 양자화가 정성적으로 증명되었다.

\(\vec{\mu}\)가 각운동량에 의존한다고 하자. \(\mu_{z}\)는 \(m_{\ell}\)에 비례하므로 \(\mu_{z}\)의 가능한 경우는 \(2\ell+1\)(홀수)이고 이것은 원자빔이 두가지 성분으로 분리된 슈테른과 게를라흐의 실험과 불일치하다. 이렇게 되면 양자역학이 불완전하거나 해당 모형이 더 보강되어야 한다는 결론을 얻게 된다. 

1927년 핍스(T. E. Pipps)와 테일러(J. B. Taylor)는 수소 원자 빔을 이용하여 슈테른과 게를라흐의 실험을 반복했다(바닥상태에서 한개의 전자를 가진 원자를 취급). 바닥상태에서 \(\ell=0\)이므로 \(m_{\ell}=0\)이고 \(\vec{\mu}=\vec{0}\)이고 따라서 자기장에 의해 빔이 휘어지지 않을 것으로 기대했다. 그러나 빔은 두개의 성분으로 분리되었고 이는 전자의 궤도운동이 원자 자기모멘트에 기여한다는 것 외에도 다른 무언가가 존재함을 뜻한다. 특정한 전자 상태에 있는 전자의 전체 각운동량은 궤도성분 \(\vec{L}\)과 스핀성분 \(\vec{S}\)를 둘 다 포함한다. 핍스와 테일러의 결과는 호우트스미트와 윌렌베크의 가정을 확인한 것이다. 

1929년 디락은 계의 전체에너지의 상대론적 형태를 이용하여 퍼텐셜에너지 우물 안에 있는 전자에 대한 상대론적 파동방정식을 풀었다(전자스핀의 기본성질을 증명). 스핀은 질량과 전하처럼 입자의 고유한 특성이고, 주위환경과 독립적이다. 더 나아가 전자의 스핀(각운동량)은 양자수 \(s\)로 설명할 수 있고, 이 값은 \(\displaystyle s=\frac{1}{2}\)만 가질 수 있다. 

*전자의 스핀은 고전적인 형태로는 설명할 수 없는 양자량이다.

전자에 대한 스핀 각운동량(spin angular momentum) \(\vec{S}\)의 크기는$$S=\sqrt{s(s+1)}\hslash=\frac{\sqrt{3}}{2}\hslash$$이다. \(\vec{L}\)과 같이 스핀 각운동량 \(\vec{S}\)는 공간 양에 양자화되어 있고(\(z\)축에 대해 두개의 방향) 스핀 자기 양자수(spin magnetic quantum number)는 \(\displaystyle m_{s}=\pm\frac{1}{2}\)로 나타낸다. 이때 \(\vec{S}\)의 \(z\)성분은$$S_{z}=m_{s}\hslash=\pm\frac{1}{2}\hslash$$이고 여기서 \(\displaystyle m_{s}=+\frac{1}{2}\)는 스핀업, \(\displaystyle m_{s}=-\frac{1}{2}\)는 스핀 다운을 나타낸다. 이 결과는 스핀벡터가 \(z\)축에 있을 수 없음을 보여준다. 

전자의 스핀 자기 모멘트 \(\vec{\mu_{\text{spin}}}\)과 스핀 각운동량 \(\vec{S}\)의 관계는 다음과 같다.$$\vec{\mu}_{\text{spin}}=-\frac{e}{m}\vec{S}$$여기서 \(e\)는 전자의 전하, \(m_{e}\)는 전자의 질량이다. \(\displaystyle S_{z}=\pm\frac{1}{2}\hslash\)이므로 \(\vec{\mu}_{\text{spin}}\)의 \(z\)성분 \(\mu_{\text{spin},\,z}\)는 다음과 같다.$$\mu_{\text{spin},\,z}=\pm\frac{e\hslash}{2m_{e}}$$여기서 \(\displaystyle\frac{e\hslash}{2m_{e}}=\mu_{B}=9.27\times10^{-24}\text{J/T}\)는 보어 마그네톤이다.

이 결과는 은과 수소원자에 대하여 관측된 자기모멘트는 궤도 각운동량이 아니라 스핀 각운동량에 기인한 것이다. 스핀 \(\displaystyle\pm\frac{1}{2}\)를 가진 전자는 아래로 편향되어 있고, 스핀 \(\displaystyle-\frac{1}{2}\)을 가진 전자는 위로 편향되어 있다. 다음은 슈테판-게를라흐 실험에서 얻은 두 가지 결과이다.

1. 공간 양자화 개념입증.

2. 스핀 각운동량의 존재를 보임

  

수소 원자에는 \(n=2\)에 대응하는 \(8\)개의 양자 상태가 존재한다.

\(n\)	\(\ell\)	\(m_{\ell}\)	\(m_{s}\)	부껍질	껍질	부껍질에서의 상태 수
\(2\)	\(0\)	\(0\)	\(\displaystyle\frac{1}{2}\)	\(2s\)	\(\text{L}\)	\(2\)
\(2\)	\(0\)	\(0\)	\(\displaystyle-\frac{1}{2}\)
\(2\)	\(1\)	\(1\)	\(\displaystyle\frac{1}{2}\)	\(2p\)	\(\text{L}\)	\(6\)
\(2\)	\(1\)	\(1\)	\(\displaystyle-\frac{1}{2}\)
\(2\)	\(1\)	\(0\)	\(\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(2\)	\(1\)	\(0\)	\(\displaystyle-\frac{1}{2}\)
\(2\)	\(1\)	\(-1\)	\(\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(2\)	\(1\)	\(-1\)	\(\displaystyle-\frac{1}{2}\)

참고자료:

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning