[일반물리학] 2. 양자역학(1)

[일반물리학] 2. 양자역학(1)

주어진 시간과 공간에서 단위부피당 광자 하나를 찾을 수 있는 확률은 주어진 시간 동안 단위부피당 광자수 \(N\)에 비례하고\(\displaystyle\left(\frac{\text{Probability}}{V}\varpropto\frac{N}{V}\right)\) 단위부피당 광자의 수는 복사의 세기에 비례한다\(\displaystyle\left(\frac{N}{V}\varpropto I\right)\).

\(\displaystyle I=\frac{E^{2}}{2\mu_{0}c}\)이므로 \(I\varpropto E^{2}\)이고 \(\displaystyle\frac{\text{Probability}}{V}\varpropto E^{2}\)이다. 이는 입자를 발견할 파동 진폭의 제곱은 물질을 발견할 단위부피당의 확률에 비례함을 뜻하고 입자와 관련된 파동의 진폭을 확률진폭(probability amplitude) 또는 파동함수(wave function)라 하고 \(\Psi\)로 나타낸다.

일반적으로 어떤 계에 관련된 완전한 파동함수는$$\Psi=\Psi\left(\vec{r_{1}},\,\vec{r_{2}},\,\cdots,\,\vec{r_{j}},\,\cdots,\,t\right)$$이고 여기서 \(\vec{r_{j}}\)는 계의 \(j\)번째 입자의 위치이다.$$\Psi\left(\vec{r_{1}},\,\vec{r_{2}},\,\vec{r_{3}},\,\cdots,\,\vec{r_{j}},\,\cdots,\,t\right)=\psi\left(\vec{r_{j}}\right)e^{-i\omega t}$$이고 여기서$$i=\sqrt{-1},\,e^{i\omega t}=\cos\omega t+i\sin\omega t,\,\omega=2\pi f$$이다. 그러면 \(\psi\)는 복소수이다. 파동함수의 절댓값 제곱 \(|\psi|^{2}=\psi\psi^{*}\)은 양의 실수이고 여기서 \(\psi^{*}\)는 \(\psi\)의 켤레복소수이다. \(|\psi|^{2}\)는 단위부피당 주어진 위치와 시간에서 입자를 발견할 확률에 비례한다(파동함수는 입자의 운동에 관해 필요한 모든 정보를 담고 있다). \(\psi\)를 측정하는 것은 어려우나 \(|\psi|^{2}\)를 측정함으로써 다음과 같이 해석한다:

만약 \(\psi\)가 하나의 입자를 나타낸다면, 확률밀도(probability density)\(|\psi|^{2}\)은 주어진 점에서 그 입자가 발견될 단위 부피당 상대적인 확률이다. 이는 \(dV\)가 어떤 점 주위의 작은 부피요소이면 \(P(x,\,y,\,z)dV=|\psi|^{2}dV\)는 그 부피요소에서 입자가 발견될 확률이다.

어떤 입자가 점 \(x\)부근의 작은 구간에서 발견될 확률은 \(P(x)dx=|\psi|^{2}dx\)이다. 비록 입자의 위치를 완전하게 정하는 것은 불가능하나, \(|\psi|^{2}\)을 확률로서 입자의 위치를 설명하는것은 가능하다.

입자가 임의의 구간 \(a\leq x\leq b\)에서 발견될 확률은$$P_{ab}=\int_{a}^{b}{|\psi|^{2}dx}$$이다. 왼쪽 그림처럼 \(P_{ab}\)는 곡선 \(|\psi|^{2}\)와 직선 \(x=a\), \(x=b\), \(y=0\)사이의 면적이다.  

*확률이 \(0.30\)이라는 것은 입자를 해당 구간에서 발견할 확률이 \(30\text{%}\)임을 뜻한다.      

 

입자가 \(x\)축을 따라 어디엔가에는 존재해야 하므로 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{|\psi|^{2}dx}=1\)이어야 한다. 이 식을 만족하는 모든 파동함수를 규격화(normalized: 그 입자가 그 공간의 어디엔가에 존재)되었다고 한다.

파동함수가 얻어지면 입자가 발견되는 평균위치(\(x\)의 기댓값)를 다음과 같이 구할 수 있다.$$\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}{\psi^{*}x\psi dx}$$이 방법을 이용하여 \(x\)에 대한 함수 \(f(x)\)의 기댓값을 구할 수 있고, 그 기댓값은 \(\displaystyle\langle f(x)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}{\psi^{*}f(x)\psi dx}\)이다.

어떤 입자의 파동함수가 \(\psi(x)=Ae^{-ax^{2}}\)로 주어져있다. 이 파동함수가 규격화되었다고 하면$$\int_{-\infty}^{\infty}{|\psi|^{2}dx}=\int_{-\infty}^{\infty}{A^{2}e^{-2ax^{2}}dx}=1$$이어야 한다. 이때$$\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-2ax^{2}}dx}=\sqrt{\frac{\pi}{2a}}$$이므로 \(\displaystyle A^{2}=\sqrt{\frac{2a}{\pi}}\)이어야 하고 따라서 \(\displaystyle A=\left(\frac{2a}{\pi}\right)^{\frac{1}{4}}\)이다. 또한 규격화된 파동함수를 이용하여 \(\langle x\rangle\)를 구하면$$\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}{\psi^{*}x\psi dx}=A^{2}\int_{-\infty}^{\infty}{xe^{-2ax}dx}=0$$이다.

  

왼쪽의 그림은 거리 \(L\)만큼 떨어진 투과할 수 없는 벽 사이에서 \(x\)방향을 따라 앞뒤로 진행하면서 탄성충돌하는것을 나타낸 것이다. 이 왼쪽 그림을 고전역학과 양자역학에서는 다음과 같이 해석한다:

고전역학: 운동량과 에너지의 값에 아무런 제한을 갖지 않음

양자역학: 주어진 상황과 조건에 맞는 적당한 파동함수를 찾아야 한다.

벽을 투과할 수 없기 때문에 상자 밖에서 입자를 발견할 확률은 \(0\)이다. 즉, \(x<0\), \(x>L\)의 영역에서 파동함수의 값은 \(0\)이 되어야 한다. 또한 파동함수는 연속이어야 한다(불연속적으로 점프해서는 안된다). 그러면 파동함수의 경계조건 \(\psi(0)=0\), \(\psi(L)=0\)을 얻는다.

입자가 상자 안에 있을 때 퍼텐셜 에너지는 입자의 위치에 관계없이 \(0\)이고 상자 바깥에서는 무한대이다. 따라서 상자 바깥에서의 파동함수는 \(0\)이다.

상자 안에서의 파동함수는$$\psi(x)=A\sin\left(\frac{2\pi}{\lambda}x\right)$$이고 여기서 \(\lambda\)는 드 브로이 파장이다. \(\psi(0)=0\)이고$$\psi(L)=A\sin\left(\frac{2\pi L}{\lambda}\right)=0$$이어야 하므로 \(\displaystyle\frac{2\pi L}{\lambda}=n\pi\)(\(n\)은 자연수(양의 정수))이고 따라서 \(\displaystyle\lambda=\frac{2L}{n}\)이다. 그러면$$\psi(x)=A\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)$$이고 파동함수를 규격화하면$$1=\int_{-\infty}^{\infty}{|\psi(x)|^{2}dx}=\int_{0}^{L}{\left[A\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\right]^{2}dx}=A^{2}\int_{0}^{L}{\frac{1-\cos\left(\frac{2n\pi}{L}dx\right)}{2}dx}=A^{2}\frac{L}{2}$$이므로 \(\displaystyle A=\sqrt{\frac{2}{L}}\)이고 따라서 상자 안의 입자의 규격화된 파동함수는 \(\displaystyle\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\)이다. 

이 결과로부터 입자의 파장은 \(\displaystyle\lambda=\frac{2L}{n}\), 입자의 운동량은 \(\displaystyle p=\frac{h}{\lambda}=\frac{nh}{2L}\), 상자 안의 퍼텐셜에너지는 \(0\)이고 이는 입자가 운동에너지만을 가짐을 뜻한다. 그러면 이 입자의 운동에너지는$$E_{n}=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{p^{2}}{2m}=\frac{1}{2m}\left(\frac{nh}{2L}\right)^{2}=\frac{h^{2}}{8mL^{2}}n^{2}$$(\(n\)은 자연수)이고 이는 입자의 에너지가 양자화되어있음을 뜻한다.

앞에서 구한 입자의 에너지 \(\displaystyle E_{n}=\left(\frac{h^{2}}{8mL^{2}}\right)n^{2}\)에 대하여 바닥상태(ground state)를 가장 에너지가 낮은 상태라 하고 이 때의 에너지는 \(n=1\)일 때의 \(\displaystyle E_{1}=\frac{h^{2}}{8mL^{2}}\)이다.  

들뜬 상태(excited state)를 \(n=2,\,3,\,4,\,\cdots\)에 대응하는 상태라 한다. \(E_{n}=n^{2}E_{1}\)이므로$$E_{2}=4E_{1},\,E_{3}=9E_{1},\,E_{4}=16E_{1}$$이다. 상자 안의 입자의 가장 낮은 에너지가 \(0\)이 아니기 때문에 양자역학에서 입자는 절대로 정지해 있을 수 없다. \(E_{1}\)을 바닥상태에너지(ground-state energy)라 하고 이는 \(E=0\)인 상태가 가능한 고전역학적인 관점과는 모순이 된다. 마지막으로 위에서 구한 파동함수 \(\psi\)의 기댓값은$$\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}{\psi_{n}^{*}x\psi_{n}dx}=\int_{0}^{L}{x\left[\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\right]^{2}dx}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}{x\sin^{2}\left(\frac{n\pi}{L}x\right)dx}=\frac{L}{2}$$이다.

입자의 일반적인 경계조건(Boundary conditions on particle in general): 상자안의 입자는 줄의 정상파와 유사하다.

줄의 경계에서 파동함수는 \(0\)(줄의 끝은 마디)	경계에서 입자의 파동함수는 \(0\) (상자 밖에서 입자가 존재할 수 없다)
진동하는 줄의 경계조건으로부터 양자화된 진동수와 파장을 얻음	파동함수의 경계조건으로부터 양자화된 진동수와 파장을 얻음

경계조건 하의 양자역학에서 입자모형은 몇가지 점에서 경계조건하의 파동과 다르다.

(1) 줄의 파동함수는 단순한 사인함수이나 양자입자의 파동함수는 일반적으로 복소함수이다.

(2) 양자역학에서 에너지는 \(E=hf\)이므로 양자화된 진동수로부터 에너지를 얻게 된다.

(3) 경계조건하의 양자입자의 파동함수와 관련된 정상상태의 마디는 없을 수도 있다. 이는 어떤 경계조건은 파동함수를 어떤 고정점에서도 \(0\)으로 만들지 않는다는것을 뜻한다.

일반적으로 경계조건하의 입자의 경우, 입자의 주변과의 상호작용은 하나 또는 그 이상의 경계조건을 의미하고 만약 상호작용이 입자를 일정한 공간에 제한되게 하면, 계의 에너지는 양자화된다.

참고자료:

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning