[일반물리학] 3. 양자역학(2: 슈뢰딩거 방정식)

[일반물리학] 3. 양자역학(2: 슈뢰딩거 방정식)

슈뢰딩거 방정식은 $x$축을 따라 움직이는 질량이 $m$인 입자를 기술하는 것으로 주변과 퍼텐셜 에너지 $U(x)$로 상호작용하는 것을 기술한다.

시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식(time-independent Schrödinger equation) $$-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+U(x)\psi=E\psi$$ 여기서 $\displaystyle\hslash=\frac{h}{2\pi}$이고 $E$는 계(입자 주변)의 전체 에너지와 같은 상수이다.

슈뢰딩거 방정식은 계의 역학적 에너지 보존원리와 잘 일치한다. 첫째항을 보면 입자의 운동에너지$\displaystyle\left(\frac{\hslash^{2}}{2m}\right)$와 파동함수$\displaystyle\left(\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=-\psi\right)$의 곱이다. 그러면 앞에서 언급한 슈뢰딩거 방정식에 의해 $K\psi+U\psi=E\psi$이고 따라서 $K+U=E$이다. 이는 역학적 에너지 보존을 나타낸다.

슈뢰딩거 방정식의 해는 경계에서 부드럽게(smooth) 만나야 하므로 $\psi(x)$, $\displaystyle\frac{d\psi}{dx}$둘 다 연속이어야 한다.

왼쪽 그림은 상자 안의 입자에 대한 퍼텐셜에너지를 나타낸 것이다. 그래프의 모양 때문에 상자 안의 입자를 네모 우물(square well)이라고 한다. 여기서 우물(well)은 퍼텐셜 에너지의 그래프 모양의 윗부분이 열려있는 형태이고 그 반대인 아래부분이 열려있는 형태를 장벽이라고 한다. 따라서 왼쪽 그림의 그래프는 우물이다.

$0<x<L$의 영역에서 $U(x)=0$이므로 $\displaystyle-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=E\psi$이고 미분방정식 $$\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=-\frac{2mE}{\hslash^{2}}\psi=-k^{2}\psi\,\left(k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash}\right)$$ 의 해는 $$\psi(x)=A\sin kx+B\cos kx$$ 이다. 여기서 상수 $A$, $B$는 경계조건과 규격화 조건으로 결정되는 계수이다.

$\psi(0)=A\sin0+B\cos0=B=0$이어야 하므로 $B=0$이고 $\psi(L)=A\sin kL=0$이어야 하는데 $A=0$이면 $\psi(x)=0$이 되기 때문에 $kL=n\pi$($n$은 정수)이어야 한다. 그러면 $$kL=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash}L=n\pi$$ 이고 정수 $n$의 각 값들은 양자화된 에너지 $E_{n}$의 값에 대응한다.$\displaystyle\left(E_{n}=\left(\frac{h^{2}}{8mL^{2}}\right)n^{2}\right)$ 따라서 허용에너지 $E_{n}$은 앞에서 구한것처럼 $\displaystyle E_{n}=\left(\frac{h^{2}}{8mL^{2}}\right)n^{2}$이고 파동함수는 $\displaystyle\psi_{n}(x)=A\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)$이다. 이때 파동함수를 규격화하면 $$\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,\left(A=\sqrt{\frac{2}{L}}\right)$$ 이다.

왼쪽 그림은 유한한 높이를 갖는 우물(퍼텐셜 에너지가 유한)을 나타낸 것이다. 고전역학의 입장에서 $E<U$

($E$는 전체에너지)이면, 입자는 퍼텐셜 우물 안쪽에 같혀있게 되고 입자가 우물 바깥에 있다면, $K<0$

($K$는 운동에너지)이 되어 전혀 가능성이 없게 된다. 그러나 양자역학에서는 $E<U$일 지라도 유한한 확률값을 가지면서 우물 바깥에도 존재할 수 있다(영역 I과 III에서 $\psi\neq0$). 그래서 $|\psi|^{2}$도 이 영역에서 $0$이 아니다.

(불확정성의 우너리는 계의 에너지의 불확정성도 허용하기 때문에 입자가 우물 바깥에 있다고 해도 에너지 보존 법칙의 위배는 없다)

영역 I과 III에서 슈뢰딩거 방정식은 $\displaystyle\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=\frac{2m(U-E)}{\hslash^{2}}\psi=C^{2}\psi\,\left(C=\frac{\sqrt{2m(U-E)}}{\hslash}\right)$이므로 이 슈뢰딩거 방정식의 해는 $\psi(x)=Ae^{Cx}+Be^{-Cx}$이다.

영역 I에서는 $\psi_{\text{I}}=Ae^{Cx}\,(x<0)$이어야 한다. 왜냐하면 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}{Be^{-Cx}}=\infty$이기 때문이다.

영역 II에서는 앞에서 구한대로 $\psi_{\text{II}}=F\sin kx+G\cos kx\,(0<x<L)$이고 여기서 $U=0$, $\displaystyle k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash}$이다.

영역 III에서는 $\psi_{\text{III}}=Be^{-Cx}\,(x>0)$이어야 한다. 왜냐하면 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{Ae^{Cx}}=\infty$이기 때문이다.

완전한 파동함수를 구하기 위해서는 다음의 조건 $$\psi_{\text{I}}(0)=\psi_{\text{II}}(0),\,\frac{d\psi_{\text{I}}}{dx}_{x=0}=\frac{d\psi_{\text{II}}}{dx}_{x=0},\,\psi_{\text{II}}(L)=\psi_{\text{III}}(L),\,\frac{d\psi_{\text{II}}}{dx}_{x=L}=\frac{d\psi_{\text{III}}}{dx}_{x=L}$$ 들을 이용하여 $A$, $B$, $F$, $G$의 값을 구한다.        

폭 $L$의 영역에서 일정한 퍼텐셜 에너지값 $U$를 갖고 다른 영역에서 $0$인 형태(왼쪽그림)를 네모장벽

(square barrier)이라고 하고 $U$를 장벽높이(barrier height)라고 한다. 

$E<U$인 입자가 왼쪽에서 입사하는 경우, 고전역학의 입장에서 이를 해석하면 이 입자는 장벽에서 반사될 것이고 만약 영역 II에 입자가 존재하게 되면 운동에너지는 음(-)의 값을 갖게 된다(허용되지 않음)는 결과를 얻는다. 반면 양자역학의 입장에서 이를 해석하면 에너지에 관계없이 모든 영역에 입자가 존재할 수 있게 된다는 결과를 얻는다(고전적으로 금지된 영역에 있을 확률은 매우 작다).

불확정성 원리에 따르면, 입자가 장벽 안에 있는 시간간격($\Delta t$)이 짧으면 입자가 장벽 안에 존재할 수 있고($\displaystyle\Delta E\Delta t\geq\frac{\hslash}{2}$와 일치), 만약 장벽이 비교적 얇다면 이 짧은 시간동안 입자가 이 장벽을 통과하여 이동하는 것이 가능하다. 

앞의 결과를 참고하자면 영역 I과 III에서는 해가 사인함수이고 영역 II에서는 지수함수이다. 입자를 찾을 확률은 $|\psi|^{2}$에 비례하기 때문에, 영역 III에서 장벽 너머로 입자가 존재할 확률은 $0$이 아니다.

장벽의 반대편으로 입자가 이동하는 현상을 터널링(tunneling, 또는 장벽투과: barrier penetration)이라고 한다. 이때 입자가 장벽의 반대편으로 투과할 확률을 투과계수(transmission coefficient), 반대로 장벽에 의해 입자가 반사될 확률을 반사계수(reflection coefficient)라고 한다. 입사된 모든 입자는 반드시 반사되거나 투과되기 때문에 $T+R=1$($T$: 투과계수, $R$: 반사계수)이다. 

$T\ll1$(폭이 매우 크거나 장벽이 매우 높은 경우($E\ll U$))일 때, $\displaystyle T\approx e^{-2CL}\,\left(C=\frac{\sqrt{2\pi(U-E)}}{\hslash}\right)$이고 이는 $T\neq0$임을 나타낸다. 터널링이라는 현상이 실험적으로 관측되는 것은 양자물리학의 원리들의 맞다는 강력한 증거가 될 수 있다.

선형복원력 $F=-kx$($x$는 평형상태($x=0$)로부터의 입자의 위치, $k$는 힘상수)를 받는 입자에 대한 계의 퍼텐셜에너지는 $\displaystyle U=\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}$이고 진동의 각진동수는 $\displaystyle\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$이다.

고전적으로 입자를 평형위치로부터 변위시켰다가 놓으면 $x=-A$와 $x=A$사이를 진동하고 $A$는 진동의 진폭이 된다. 또한 전체에너지는 $$E=K+U=\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}$$ 가 되기 때문에 슈뢰딩거방정식은 $$-\frac{\hslash^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}\psi=E\psi\,\left(U=\frac{1}{2}m^{2}\omega^{2}x^{2}\right)$$ 이고 따라서 이 슈뢰딩거 방정식의 해는 $\psi(x)=Be^{-Cx^{2}}$이고 여기서 $B$는 규격화 조건으로 결정되고 $\displaystyle C=\frac{m\omega}{2\hslash}$, $\displaystyle E=\frac{1}{2}\hslash\omega$이다. $\psi$는 계의 바닥상태이고 $\displaystyle C=\frac{m\omega}{2\hslash}$이므로 에너지값은 $\displaystyle\frac{1}{2}\hslash\omega$이다.

    

조화진동자의 에너지 준위는 양자화되어있다.(진동자가 $x=0$ 근처에서 구속되어 있다)

임의의 양자수 $n$에 대하여 $$E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash\omega\,(n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$$ 이고 $n=0$일때가 바닥상태, 나머지 경우는 들뜬상태이다. 

인접한 준위 사이의 간격은 $\Delta E=\hslash\omega$이다.

참고자료:

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning